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第5讲 二项式定理
复习要点 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关
的简单问题．
一 二项式定理
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋…＋ C a n － k b k ＋…＋ C b n ( n ∈ N * ) 叫做二项式定理．
2．二项展开式的通项
T ＝ C a n － k b k 为展开式的第 k ＋ 1 项．
k＋1
3．二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
二 二项式系数的性质
1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
2．增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，
中间的两项 与 相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于 2 n .
常/用/结/论
若二项展开式的通项为T ＝g(r)xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
r＋1
(1)h(r)＝0 T 是常数项；
r＋1
(2)h(r)是非负整数⇔T 是整式项；
⇔ r＋1
(3)h(r)是负整数⇔T 是分式项；
r＋1
(4)h(r)是整数⇔T 是有理项．
r＋1
1．判断下列结论是否正确．
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()
(2)通项公式T ＝Can－rbr中的a和b不能互换．(√)
r＋1
(3)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二
项式系数不同．(√)
(4)若(3x－1)7＝ax7＋ax6＋…＋ax＋a，则a＋a＋…＋a 的值为128.()
7 6 1 0 7 6 1
2．(2022·天津卷)5展开式中的常数项为________．
解析：由题意知5的展开式的通项为T ＝C·()5－r·r＝C·3r·x，令＝0，即r＝1，则C·3r
r＋1
＝C·3＝15，
所以5展开式中的常数项为15.
故答案为15.
答案：153.8的展开式中的有理项共有________项．
解析：8的展开式的通项为T ＝C()8－rr＝rCx (r＝0,1,2，…，8)，为使T 为有理项，r
r＋1 r＋1
必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．
答案：3
4．(2022·新高考全国Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
解析：(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C－C＝
－28.
答案：－28
5．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，则a ＝
0 1 2 3 4 5 2
________，a＋a＋a＋a＋a＝________.
1 2 3 4 5
解析：∵(x－1)4＝x4－4x3＋6x2－4x＋1，∴a ＝－4＋12＝8，令x＝0，则a ＝2，令x
2 0
＝1，则a＋a＋a＋a＋a＋a＝0，∴a＋a＋a＋a＋a＝－2.
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
答案：8 －2
题型 求展开式中的特定项的多维研讨
维度1 利用通项公式求二项展开式的特定项
典例1(1)(2024·天津南开中学第一次阶段测试)6展开式中的常数项是
( )
A．－135 B．135
C．1 215 D．－1 215
(2)(2023·天津卷)在6的展开式中， x 2 项 的系数为________．
凑：C(2x3)24.
(3)(2024·辽宁名校联考)(－2)7的展开式中第二个有理项为________．
解析：(1)二项展开式的通项T ＝Cx6－r·r＝C(－3)rx6－3r，令6－3r＝0，解得r＝2，所
r＋1
以常数项T＝C(－3)2＝135，故选B．
3
(2)展开式的通项公式T ＝C(2x3)6－k·k＝(－1)k×26－k×C×x18－4k，令18－4k＝2可得，k＝
k＋1
4，则x2项的系数为(－1)4×26－4×C＝4×15＝60.故答案为60.
(3)(－2)7的展开式的通项T ＝C·()7－k·(－2)k＝C·3·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
k＋1
要使 第 k ＋ 1 项为有理数，则 ∈ Z ，则k可取
有理项的求法．
1,4,7，所以(－2)7的展开式中第二个有理项为C·3·(－2)4＝35×3×16＝1 680.
故答案为1 680.
求二项展开式中特定项(或系数)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，把字母和系数分离开
k＋1
(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先
列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；第三步，把k代入通项中，即可求出T ，有时还需要先求n，再求k，才能求出T
k＋1 k＋1
或者其他量.\s\up7( )
对点练1(1)在6的展开式中，若常数项为－20，则实数m的值为( )
A． B．－
C．－2 D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n＋3
－x3的展开式中，x2的系数是________．(用数字作答)
解析：(1)6的展开式的通项为T ＝C(2x)6－rr＝C·26－r·(－m)r·x6－2r，
r＋1
令6－2r＝0，得r＝3，
所以常数项为C·26－3·(－m)3＝－20，解得m＝.
(2)用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五
位数有CA＝20(个)，即n＝20.
当n＝20时，不妨设x≠0，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n＋3－x3＝(1＋x)3＋(1
＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)23－x3＝－x3＝－x3＝－－x3，所以x2的系数是C－C＝2 024－1＝
2 023.
答案：(1)A (2)2 023
维度2 两个多项式积的展开式
典例2(1)(2024·山东青岛一中统考)若5的展开式中常数项是
方法二：凑：x·Cx23＋·Cx32.
10，则m＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(2)(2024·广西柳州、梧州大联考)已知(2－x)·(2x＋1)5＝a＋ax＋
0 1
常数项
ax2＋ax3＋ax4＋ax5＋a x 6 ，则a＋a＝( )
2 3 4 5 6 0 6
a 为x6项的系数，而x6项：(－x)(2x)5.
6
A．34 B．30 C．－34 D．－30
解析：(1) 5 ＝ x 5 ＋ 5 .【会思考】x＋的每一项都要考虑，要注意系数和符号因子不能丢．
5的展开式的通项为
T ＝Cx5－rr＝C(－1)rx5－2r.
r＋1
令5－2r＝－1，解得r＝3，则x5的展开式的常数项为－C＝－10；
令5－2r＝1，解得r＝2，则5的展开式的常数项为mC＝10m.
因为5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2.故选D．
(2)令x＝0，得a ＝2，(2x＋1)5的展开式的通项为T ＝C(2x)5－r·1r＝25－rCx5－r，r＝
0 r＋1
0,1,2,3,4,5，
令r＝0，则T＝25Cx5＝32x5，
1
故a＝－1×32＝－32，所以a＋a＝－30.故选D．
6 0 6
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，
然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－
x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题．
对点练2(1)(2024·重庆巴蜀中学月考)在(x－3y)2(x＋y)5的展开式中，x3y4的系数是( )
A．60 B．35 C．155 D．90
(2)(2024·湖南益阳质量检测)若(1＋2x)·(1－2x)5＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax6，x∈R，则a
0 1 2 6 2
的值为( )
A．－20 B．20 C．40 D．60
解析：(1)(x－3y)2(x＋y)5＝(x2－6xy＋9y2)(x＋y)5＝x2(x＋y)5－6xy(x＋y)5＋9y2(x＋y)5，
且(x＋y)5的通项为T ＝Cx5－ryr.
r＋1
令r＝4，则x2Cxy4＝5x3y4；
令r＝3，则－6xyCx2y3＝－60x3y4；
令r＝2，则9y2Cx3y2＝90x3y4.
综上可得，展开式中x3y4的系数是5－60＋90＝35.故选B．
(2)因为(1＋2x)(1－2x)5＝(1－2x)5＋2x(1－2x)5，故展开式中x2的系数a ＝C(－2)2＋
2
2×C(－2)1＝40－20＝20.
答案：(1)B (2)B
维度3 三项展开式的特定项
典例3(1)(2024·吉林一中、东北师大附中等校联考)(x2－x＋1)5的展开式中，x5的系数为
________．
(2)5的展开式中的常数项为________(用数字作答)．
解析：(1)(x2－x＋1)5可以看作5个盒子，每个盒子中有x2，－x,1三个元素，要想得到
含x5的项，可分三类：
①5个盒子中选2个盒子取x2,1个盒子取－x,2个盒子取1；
②5个盒子中选1个盒子取x2,3个盒子取－x,1个盒子取1；
③5个盒子中都取－x.
所以 展开式中含 x 5 的项为 C·( x 2 ) 2 ·C·( － x )·C·1 2 ＋ C· x 2 ·C·( － x ) 3 ·C·1 ＋ C·( － x ) 5 ＝－ 51 x 5 ，
【指点迷津】直接利用两个计数原理来解决，注意符号因子不能丢．
所以x5的系数为－51.
故答案为－51.
(2)方法一：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝(x＋)10.求原式的展开式中的常数项， 转化为求 ( x ＋ ) 10
的展开式中含 x 5 项的系数 ，即C()5.所以所求的常数项为
体现化简、转化的重要性．
＝.
方法二：要得到常数项，可以 对 5 个括号中的选取情况进行分类 ： 利用计数原理凑．
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为()5；②5个括号中1个选，1个选，3个选，这样得到的常数项为CCC()3；
③5个括号中2个选，2个选，1个选，这样得到的常数项为C2C.
因此展开式中的常数项为()5＋CCC()3＋C2C＝.
故答案为.
求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几
个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.\s\up7( )
对点练3(1)6的展开式中常数项为( )
A．－61 B．－59 C．－57 D．－55
(2)(2024·辽宁沈阳东北育才学校检测)(x－2y＋2z)5的展开式中，xy3z的系数为( )
A．－320 B．320
C．－240 D．240
解析：(1)将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项
为C＋CC(－2)＋CC(－2)2＝－59.
(2)因为(x－2y＋2z)5＝[(x－2y)＋2z]5，所以其通项为T ＝C·(x－2y)5－r·(2z)r，
r＋1
令r＝1，所以T＝C·(x－2y)4·2z＝10(x－2y)4z，
2
二项式(x－2y)4的通项为T′ ＝C·x4－k·(－2y)k，
k＋1
令k＝3，所以T′ ＝C·x·(－2y)3＝－32xy3，因此xy3z项的系数为10×(－32)＝－320.故选
4
A．
答案：(1)B (2)A
题型 展开式的系数和问题
典例4(1)(2024·江苏南通如皋期末)已知(3x－1)(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为
64，则展开式中含x2的项的系数为
赋值：x＝1得n＝5.( )
A．25 B．3 C．5 D．33
(2)已知 (1 － 2 x ) 7 ＝a＋ax＋ax2＋…＋ax7.
0 1 2 7
令f(x)＝(1－2x)7.
求：①a ＋ a ＋…＋ a ；f(1)－f(0)
1 2 7
②a ＋ a ＋ a ＋ a ；
1 3 5 7
③a ＋ a ＋ a ＋ a ；
0 2 4 6
④|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|.
0 1 2 7
(1)解析：令x＝1，可得展开式中所有项的系数之和为2n＋1＝64，故n＝5，又(x＋1)n即
(x＋1)5的展开式的通项T ＝C·x5－r，则展开式中含有 x 2 的项的系数为 3C － C ＝ 5 .故选C．
r＋1
即直接凑：3x·Cx·14＋(－1)Cx2·13.
(2)解：令x＝1，则a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＝－1.(ⅰ)
0 1 2 3 4 5 6 7令x＝－1，则a－a＋a－a＋a－a＋a－a＝37.(ⅱ)
0 1 2 3 4 5 6 7
①∵a＝C＝1，∴a＋a＋a＋…＋a＝－2.
0 1 2 3 7
②[(ⅰ)－(ⅱ)]÷2，得a＋a＋a＋a＝＝－1 094.
1 3 5 7
③[(ⅰ)＋(ⅱ)]÷2，得a＋a＋a＋a＝＝1 093.
0 2 4 6
④∵(1－2x)7的展开式中，a，a，a，a 大于零，而a，a，a，a 小于零，
0 2 4 6 1 3 5 7
∴ | a | ＋ | a | ＋ | a | ＋…＋ | a |
0 1 2 7
方法二：转化成求(1＋2x)7的系数和：令x＝1.
＝(a＋a＋a＋a)－(a＋a＋a＋a)．
0 2 4 6 1 3 5 7
∴由②③即可得其值为2 187.
本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题
时，经常要用到这种方法．
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系
数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可.\s\up7( )
(2)对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即
可．
(3)一般地，若f(x)＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，
0 1 2 n
奇数项系数之和为a＋a＋a＋…＝，偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝.\s\up7( )
0 2 4 1 3 5
对点练4(1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式
的中间项的系数为( )
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
(2)(多选)(2024·广东深圳模拟)已知(2－x)8＝a＋ax＋ax2＋…＋ax8，则( )
0 1 2 8
A．a＝28
0
B．a＋a＋…＋a＝1
1 2 8
C．|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|＝38
1 2 3 8
D．a＋2a＋3a＋…＋8a＝－8
1 2 3 8
(3)已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a＋ax＋ax2＋…＋a x100，则
0 1 2 100
a＋a＋a＋…＋a 的值是( )
1 2 3 99
A．－1 B．－2
C．299－1 D．
解析：(1)根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，
二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，
且T＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.故选C．
5
(2)因为(2－x)8＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax8，令x＝0，则a ＝28，故A正确；令x＝1，则
0 1 2 8 0
a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(2－1)8＝1，所以a ＋a ＋…＋a ＝1－28，故B错误；令x＝－1，则a
0 1 2 8 1 2 8 0
－a ＋a －a ＋…＋a ＝38，所以|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|＝38－28，故C错误；(2－x)8＝a ＋
1 2 3 8 1 2 3 8 0
ax＋ax2＋…＋ax8两边对x求导得－8(2－x)7＝a ＋2ax＋3ax2＋…＋8ax7，再令x＝1得a
1 2 8 1 2 3 8 1
＋2a＋3a＋…＋8a＝－8，故D正确．故选AD．
2 3 8(3)记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x
－1)100－1，
即(x－1)100－1＝a＋ax＋ax2＋…＋a x100，
0 1 2 100
令x＝1，得a＋a＋a＋…＋a ＝－1.令x＝0，得a＝0，
0 1 2 100 0
又易知a ＝1，所以a＋a＋a＋…＋a ＝－2.
100 1 2 3 99
答案：(1)C (2)AD (3)B
题型 展开式系数最大项问题
典例5已知n的展开式中前三项的系数为等差数列．可求出n＝8.
(1)求二项式系数最大的项；展开共9项，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大的项．
解：∵二项展开式的通项公式为T ＝Crx，∴展开式中前三项的系数为C＝1，C1＝，
r＋1
C2＝n(n－1)，
由题设可知2·＝1＋n(n－1)，
即n2－9n＋8＝0，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)二项式系数最大的项为T＝C×4x＝x.
5
(2)设第r＋1项的系数A 最大，显然A >0，
r＋1 r＋1
故有≥1且≤1，
∵＝＝，
由≥1，得r≤3.
又∵＝＝，
原式＝＝×＝.
由≤1，得r≥2.
∴r＝2或r＝3，所求项为T＝7x或T＝7x.
3 4
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)若n是偶数，则中间一项的二项式系数最大．
(2)若n是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大．
2．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式
各项系数分别为A，A，…，A ，且第r项系数最大，应用解出r.
1 2 n＋1
对点练5(1)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项
的系数为( )
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
(2)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求
2n的展开式中：
①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项．
(1)解析：∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，n的展开式的通项为T ＝(－1)kCx(k＝0,1,2，…，8)，
k＋1
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相
应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项
和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
答案：C
(2)解：由题意，知22n－2n＝992，
即(2n－32)(2n＋31)＝0.
∴2n＝32，解得n＝5.
①由二项式系数的性质，知10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T ＝C·(2x)5·5＝
6
－8 064.
②设第r＋1项的系数的绝对值最大，
∵T ＝C·(2x)10－r·r
r＋1
＝(－1)rC·210－r·x10－2r，
∴
得即
解得≤r≤.
∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，T＝－C·27·x4＝－15 360x4.
4
题型 二项式定理的综合应用
典例6(1)计算1.028.(精确到0.001)
(2)1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是多少？
(3)求证：当n∈N且n≥3时，2n－1≥n＋1.
(4)求证：512 022＋12能被13整除．
(1)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023≈1.172.
(2)解： 1 － 90C ＋ 90 2 C － 90 3 C ＋…＋ 90 10 C ＝
二项式定理的逆用．
(1 － 90) 10 ＝ 89 10 ＝ (88 ＋ 1) 10 ＝8810C＋889C＋…
由于除数是88，因此89＝88＋1.
＋88C＋C＝88k＋1(k为正整数)，所以可知余数为1.
(3)证明：当n≥3时，2n＝(1＋1)n＝1＋n＋C＋…＋n＋1≥2＋2n，∴2n－1≥n＋1.
(4)证明：∵ 51 2 022 ＋ 12 ＝ (52 － 1) 2 022 ＋ 12
由于除数是13，则51＝52－1＝13×4－1.
＝C·522 022－C·522 021＋…－C·52＋13＝52k＋13(k为正整数)，52与13均能被13整除，
∴512 022＋12能被13整除．
1．二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1
＋nx.2．在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项
都含有除式(数)的因式．
3．由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到
证明不等式的目的.
对点练6(1)(2024·广东佛山模拟)1.026的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
(2)(2024·湖南湘潭模拟)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的
研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，
记为a＝b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是(
)
A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014
(3)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N)．
(1)解析：1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋
0.006≈1.13.故选B．
答案：B
(2)解析：∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，
∴被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A．
答案：A
(3)证明：当n≥3，n∈N时，
2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立．
