文档内容
十五 万有引力定律
(40分钟 66分)
【基础巩固练】
1.(6分)(自然现象)(2023·武汉模拟)在地球上观察发现,行星并非总向一个方向移动,大多数时
间它相对于太阳由西向东移动,但有时却要停下来,然后向西移动一段时间,随后又向东移动,这
个现象叫作行星的逆行。观察发现每次逆行都发生在火星相对地球距离最小的位置附近。假
设火星与地球在同一平面内朝同一方向绕太阳做匀速圆周运动,已知火星轨道半径约为 1.5
AU(太阳到地球的距离为
1 AU),则连续两次观察到火星逆行现象的时间间隔大约为( )
A.1年 B.2年 C.3年 D.4年
2.(6分)上世纪70年代,苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底
挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为 d时,井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引
力为F,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,质量分布均匀的地球的半径为 R,质
量为M,引力常量为G,则F大小等于( )GMm GMm(R-d) GMmR3 GMm
A. B. C. D.
(R-d)2 R3 R-d R2
3.(6分)(2023·衡阳模拟)近日,某天文学家团队利用空间望远镜,发现了4个迄今已知最古老的
星系,其中一个星系形成于宇宙大爆炸后3.2亿年,当时宇宙尚处于“婴儿”阶段。该星系内每
1
个星球贴近其表面运行的卫星的周期用 T表示,被环绕的星球的平均密度用 ρ表示,若ρ与
T2
的关系图像为直线,斜率为k,则引力常量可表示为( )
3k 3π k
A.3kπ B. C. D. π
π k 3
4.(6分)(多选)(2024·郑州模拟)如图所示为“天问一号”着陆火星前环绕火星运行的椭圆轨道,
O点为火星所在位置,P点为近火点,Q点为远火点,MN为轨道的对称轴,已知OP=x、OQ=y,则
“天问一号”( )
A.由P到N的时间小于由N到Q的时间
B.由P经N到Q的时间小于由Q经M到P的时间
C.在M、P两点的速度大小相等
D.在P、Q两点的速度大小之比为y∶x
5.(6分)(2023·宜春模拟)科幻电影中提到的“洛希极限”即当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离。当两个天体的距离少于洛希极限,天体就会倾向碎散,继而成
为第二个天体的环。1992年苏梅克-列维9号彗星在经过木星时分裂成碎片,最终于1994年落
在木星上就是如此。已知行星与卫星的洛希极限计算式为 d=kR(ρ 1 ,其中k为常数,R为行星
1)3
ρ
2
R
半径,ρ 、ρ 分别为行星和卫星密度。若已知行星半径 R,卫星半径为 ,且表面重力加速度之
1 2
27
比为8∶1,则其“洛希极限”为( )
2 3 1
A. kR B. kR C.6kR D. kR
3 2 6
【加固训练】
(2023·成都模拟)中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动。已知其轨道
距地面的高度为h,运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,由此可得到地球的平均密度为(
)
A. 3π B. 4π C.3π(R+h)3 D.3π2(R-h)3
GT2 GT2 GT2R3 GT2R3
6.(6分) (2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示,该卫
星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻,
沿相同方向经过地球表面 A点正上方,恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴 R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A.(gR2T2 1 -R B.(gR2T2 1
)3 )3
2n2π2 2n2π2
C.(gR2T2 1 -R D.(gR2T2 1
)3 )3
4n2π2 4n2π2
【综合应用练】
7.(6分)(自然现象) (2023·湖北选择考) 2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且
三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一
方向绕太阳做圆周运动,火星与地球的公转轨道半径之比约为 3∶2,如图所示。根据以上信息
可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
8.(6分)(2024·西安模拟)若航天员在地球表面用弹簧秤测量一个物体的重力,弹簧秤的示数为
F ;航天员将同一个弹簧秤和物体带上月球,在月球表面测量时弹簧秤的示数为 F 。地球与月
1 2
球均视为质量分布均匀的球体,其半径分别为R 、R ,P为距地球中心0.5R 的一点,Q为距月球
1 2 1
中心0.5R 的一点,忽略地球和月球的自转,已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0。下
2
列说法正确的是( )
A.地球与月球表面的重力加速度之比为 F
2
F
1
F R2
B.地球与月球的质量之比为 1 2
F R2
2 1
C.地球与月球的密度之比为 F R
1 2
F R
2 1
D.P点和Q点的重力加速度之比为 F R
1 1
F R
2 2
9.(6分)(科技前沿)(2023·保定模拟)“古有司南,今有北斗”,如图甲所示的北斗卫星导航系统入
选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高,线速度v越小,卫
星运行状态视为匀速圆周运动,其v2-r图像如图乙所示,图中R为地球半径,r 为北斗星座GEO
0
卫星的运行轨道半径,图中物理量单位均为国际单位,引力常量为G,忽略地球自转,则( )b
A.地球的质量为
GR
B.地球的密度为 3b2
4πR2
C.GEO卫星的加速度为 bR
r2
0
√ b
D.地球表面的重力加速度为
R
【加固训练】
(多选)(2023·清远模拟)如图所示,天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,周期为
T。已知火星的半径为R,火星的第一宇宙速度为v ,引力常量为G,则( )
1
A.火星的质量为 v2
1
GR
B.火星的密度为
3v2
1
4πGR2
v
C.火星表面的重力加速度为( 1)2
R
D.停泊轨道的半长轴为 √ 3 v 1 2T2R
4π210. (6分)(2024·黄冈模拟)理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。
现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如
图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大
小用F表示,则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
【情境创新练】
11.(6分)太空电梯(图甲)的原理并不复杂,与生活中的普通电梯十分相似,只需在地球同步轨道
上建造一个空间站,并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连。在引力和向心
加速度的相互作用下,绳索会绷紧,航天员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿
绳索直入太空,这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂的航天工具。如乙图所示,假设有一长度
为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站 a,a相对于地球静止,卫星b与同步
空间站a的运行方向相同,此时二者距离最近,经过时间t之后,a、b第一次相距最远。已知地球半径R,自转周期T,下列说法正确的是( )
A.太空电梯各点均处于完全失重状态
2Tt
B.卫星b的周期为
2t-T
C.太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点时,该站点处的重力加速度g=4π2( r2 -3R)
T2 9R2
D.太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成反比
解析版
1.(6分)(自然现象)(2023·武汉模拟)在地球上观察发现,行星并非总向一个方向移动,大多数时
间它相对于太阳由西向东移动,但有时却要停下来,然后向西移动一段时间,随后又向东移动,这
个现象叫作行星的逆行。观察发现每次逆行都发生在火星相对地球距离最小的位置附近。假
设火星与地球在同一平面内朝同一方向绕太阳做匀速圆周运动,已知火星轨道半径约为 1.5
AU(太阳到地球的距离为
1 AU),则连续两次观察到火星逆行现象的时间间隔大约为( )
A.1年 B.2年 C.3年 D.4年
【解析】选B。根据开普勒第三定律 r
火
3 =r3
地
,解得T
火
=√27年,设连续两次观察到火星逆行现
T2 T2 8
火 地2π 2π
象的时间间隔大约为t,则根据行星追赶一周可知( - )t=2π,解得t≈2年,故选B。
T T
地 火
2.(6分)上世纪70年代,苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底
挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为 d时,井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引
力为F,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,质量分布均匀的地球的半径为 R,质
量为M,引力常量为G,则F大小等于( )
GMm GMm(R-d) GMmR3 GMm
A. B. C. D.
(R-d)2 R3 R-d R2
【解题指南】将地球分为半径为(R-d)的球和厚度为d的球壳两部分,球壳对小球的引力为零,
根据质量的关系解得井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力。
【解析】选B。将地球分为半径为(R-d)的球和厚度为d的球壳两部分,球壳对小球的引力为零,
则F等于半径为(R-d)的球对小球的引力,即F= Gm m ;设半径为(R-d)球的质量为m ,由密度
1 1
(R-d)2
公式得M=ρV=ρ4πR3,所以m =(R-d)3,解得,F的大小为F=GMm(R-d),B正确,A、C、D错
1
3 M R3 R3
误。
3.(6分)(2023·衡阳模拟)近日,某天文学家团队利用空间望远镜,发现了4个迄今已知最古老的星系,其中一个星系形成于宇宙大爆炸后3.2亿年,当时宇宙尚处于“婴儿”阶段。该星系内每
1
个星球贴近其表面运行的卫星的周期用 T表示,被环绕的星球的平均密度用 ρ表示,若ρ与
T2
的关系图像为直线,斜率为k,则引力常量可表示为( )
3k 3π k
A.3kπ B. C. D. π
π k 3
4
【解析】选C。设被环绕的星球的半径为R,则该星球的体积V= πR3,设该星球的质量为M,卫
3
星的质量为m,由GMm=m4π2R,ρ=M,可得ρ= 3π ;所以k=3π,解得G=3π,故选C。
R2 T2 V GT2 G k
4.(6分)(多选)(2024·郑州模拟)如图所示为“天问一号”着陆火星前环绕火星运行的椭圆轨道,
O点为火星所在位置,P点为近火点,Q点为远火点,MN为轨道的对称轴,已知OP=x、OQ=y,则
“天问一号”( )
A.由P到N的时间小于由N到Q的时间
B.由P经N到Q的时间小于由Q经M到P的时间
C.在M、P两点的速度大小相等
D.在P、Q两点的速度大小之比为y∶x【解析】选A、D。由开普勒第二定律可知,“天问一号”离火星越近的位置速度越大,越远的
位置速度越小,因此由P到N的时间小于由N到Q的时间,A正确;由对称性可知,由P经N到
Q的时间等于由Q经M到P的时间,B错误;P点为近火点,M点到火星的距离大于P点到火星
的距离,“天问一号”离火星越近的位置速度越大,因此在M、P两点的速度大小不相等,C错误;
1 1
由开普勒第二定律可得 v xΔt= v yΔt
P Q
2 2
整理解得v ∶v =y∶x,D正确。
P Q
5.(6分)(2023·宜春模拟)科幻电影中提到的“洛希极限”即当一个天体自身的引力与第二个天
体造成的潮汐力相等时的距离。当两个天体的距离少于洛希极限,天体就会倾向碎散,继而成
为第二个天体的环。1992年苏梅克-列维9号彗星在经过木星时分裂成碎片,最终于1994年落
在木星上就是如此。已知行星与卫星的洛希极限计算式为 d=kR(ρ 1 ,其中k为常数,R为行星
1)3
ρ
2
R
半径,ρ 、ρ 分别为行星和卫星密度。若已知行星半径 R,卫星半径为 ,且表面重力加速度之
1 2
27
比为8∶1,则其“洛希极限”为( )
2 3 1
A. kR B. kR C.6kR D. kR
3 2 6
GMm gR2
【解析】选A。利用星球表面处物体的重力等于万有引力 =mg得,M= ,星球的密度
R2 G
为ρ=M= 3g ,则 ρ
1
= 8 ,则其“洛希极限”为d=kR(ρ
1)3
1 =2kR,故选A。
V 4GRπ ρ 27 ρ 3
2 2【加固训练】
(2023·成都模拟)中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动。已知其轨道
距地面的高度为h,运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,由此可得到地球的平均密度为(
)
A. 3π B. 4π C.3π(R+h)3 D.3π2(R-h)3
GT2 GT2 GT2R3 GT2R3
GMm 2π
【解析】选C。中国空间站天和核心舱绕地球运行时,由万有引力提供向心力 =m(
(R+
ℎ
)2 T
)2(R+h),可求得地球的质量M=4π2(R+
ℎ
)3,地球可近似看作球体,根据密度的定义式得ρ=M=
GT2 V
4π2(R+
ℎ
)3
GT2 =3π(R+
ℎ
)3,故选C。
4πR3 GT2R3
3
6.(6分) (2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示,该卫
星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻,
沿相同方向经过地球表面 A点正上方,恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴 R,自转周
期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )A.(gR2T2 1 -R B.(gR2T2 1
)3 )3
2n2π2 2n2π2
C.(gR2T2 1 -R D.(gR2T2 1
)3 )3
4n2π2 4n2π2
GMm
【解析】选C。地球表面的重力加速度为g,根据牛顿第二定律得 =mg,解得GM=gR2,根
R2
T
据题意可知,卫星的运行周期为T'= ,根据牛顿第二定律,万有引力提供卫星运动的向心力,则
n
有
GMm =m4π2 (R+h),联立解得h=√gR2T2-R,故选C。
3
(R+ ℎ )2 T'2 4n2π2
【综合应用练】
7.(6分)(自然现象) (2023·湖北选择考) 2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且
三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一
方向绕太阳做圆周运动,火星与地球的公转轨道半径之比约为 3∶2,如图所示。根据以上信息
可以得出( )A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)根据开普勒第三定律求解火星与地球绕太阳运动的周期之比;
(2)从上一次行星冲日到下一次行星冲日,地球比火星多转一圈的时间。
【解析】选B。火星和地球均绕太阳运动,由于火星与地球的轨道半径之比约为 3∶2,根据开
普勒第三定律有
r
火
3
=
T
火
2
,可得
T
火=
√r
火
3
=
3√3
,故A错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,速
r3
地
T2
地
T
地
r3
地
2√2
度大小均不变,当火星与地球相距最远时,由于两者的速度方向相反,故此时两者相对速度最大,
Mm
故B正确;在星球表面根据万有引力定律有G =mg,由于不知道火星和地球的质量比,故无
r2
法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比,故C错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周
2π 2π 2π 2π T T
运动,有ω = ,ω = ,要发生下一次“火星冲日”则有( - )t=2π,得t= 火 地 >T ,可
火 T 地 T T T T -T 地
火 地 地 火 火 地
知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后,故D错误。
8.(6分)(2024·西安模拟)若航天员在地球表面用弹簧秤测量一个物体的重力,弹簧秤的示数为
F ;航天员将同一个弹簧秤和物体带上月球,在月球表面测量时弹簧秤的示数为 F 。地球与月
1 2球均视为质量分布均匀的球体,其半径分别为R 、R ,P为距地球中心0.5R 的一点,Q为距月球
1 2 1
中心0.5R 的一点,忽略地球和月球的自转,已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0。下
2
列说法正确的是( )
A.地球与月球表面的重力加速度之比为 F
2
F
1
F R2
B.地球与月球的质量之比为 1 2
F R2
2 1
C.地球与月球的密度之比为 F R
1 2
F R
2 1
D.P点和Q点的重力加速度之比为 F R
1 1
F R
2 2
F
【解析】选C。地球表面的重力加速度为g = 1
1
m
月球表面的重力加速度为g =F ,则地球与月球表面的重力加速度之比为 g =F
2 2 1 1
m g F
2 2
Mm
故A错误;由万有引力等于重力得G =mg
R2
M g R2 F R2
所以地球与月球的质量之比为 1= 1 1= 1 1
M g R2 F R2
2 2 2 2 2
M 4
故B错误;由ρ= ,V= πR3
V 3
可得地球与月球的密度之比为
ρ =F R
1 1 2
ρ F R
2 2 1
故C正确;P点的重力加速度等于地球表面重力加速度的一半,Q点的重力加速度等于月球表面重力加速度的一半,所以P点和Q点的重力加速度之比为 g =F
P 1
g F
Q 2
故D错误。
9.(6分)(科技前沿)(2023·保定模拟)“古有司南,今有北斗”,如图甲所示的北斗卫星导航系统入
选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高,线速度v越小,卫
星运行状态视为匀速圆周运动,其v2-r图像如图乙所示,图中R为地球半径,r 为北斗星座GEO
0
卫星的运行轨道半径,图中物理量单位均为国际单位,引力常量为G,忽略地球自转,则( )
b
A.地球的质量为
GR
B.地球的密度为 3b2
4πR2
C.GEO卫星的加速度为 bR
r2
0
√ b
D.地球表面的重力加速度为
R
GMm b2 bR M 3b
【解析】选C。根据 =m ,得地球的质量M= ,A错误;地球的密度ρ= = ,B错
R2 R G V 4GπR2
误;根据 GMm=ma,GM=bR,联立解得GEO卫星的加速度a=bR,C正确;根据GMm=mg,解得g=
r2 r2 R2
0 0
b
,D错误。
R【加固训练】
(多选)(2023·清远模拟)如图所示,天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,周期为
T。已知火星的半径为R,火星的第一宇宙速度为v ,引力常量为G,则( )
1
A.火星的质量为
v2
1
GR
B.火星的密度为
3v2
1
4πGR2
v
C.火星表面的重力加速度为( 1)2
R
D.停泊轨道的半长轴为 √ 3 v 1 2T2R
4π2
【解析】选B、D。设火星的质量为M,天问一号的质量为m,当天问一号绕火星表面运行时,
有GMm=mv2 ,可得M=v2R,A错误;又因为ρ=M,V=4πR3,联立解得火星的密度ρ= 3v2
,B
1 1 1
R2 R G V 3 4πGR2
正确;根据牛顿第二定律得mg=mv2 ,解得火星表面的重力加速度g=v2
,C错误;设停泊轨道的半
1 1
R R
长轴为a,由开普勒第三定律有( a )3=( T )2,又因为T'= 2πR ,解得a=√ 3 v 1 2T2R,D正确。
R T' v
1
4π2
10. (6分)(2024·黄冈模拟)理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如
图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大
小用F表示,则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
【解析】选 A。因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零,则在距离球心 x 处
4
GM m G πx3ρm 4
(x≤R)物体所受的引力为F= 1 = 3 = Gπρmx∝x
x2 3
x2
当x>R时
4
GMm G· πR3ρ·m 4Gπ ρmR3 1
F= = 3 = ∝
x2 3x2 x2
x2
故选A。
【情境创新练】
11.(6分)太空电梯(图甲)的原理并不复杂,与生活中的普通电梯十分相似,只需在地球同步轨道
上建造一个空间站,并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连。在引力和向心加速度的相互作用下,绳索会绷紧,航天员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿
绳索直入太空,这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂的航天工具。如乙图所示,假设有一长度
为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站 a,a相对于地球静止,卫星b与同步
空间站a的运行方向相同,此时二者距离最近,经过时间t之后,a、b第一次相距最远。已知地
球半径R,自转周期T,下列说法正确的是( )
A.太空电梯各点均处于完全失重状态
2Tt
B.卫星b的周期为
2t-T
C.太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点时,该站点处的重力加速度g=4π2( r2 -3R)
T2 9R2
D.太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成反比
【解析】选B。太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动,只有位置到达同步卫星的高度的点
2πt
才处于完全失重状态,故A错误;同步卫星的周期为T=T,当a、b第一次相距最远时满足 -
a T
a
2πt 2Tt
=π,解得T = ,故B正确;太空电梯长度即为同步卫星离地面的高度,根据万有引力提
T b 2t-T
b
供向心力 GMm =m4π2(R+r),太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点时,设太空电梯上货
(R+r)2 T2GMm
物质量为m,在距地面高2R的站点受到的万有引力为F,则F= ,货物绕地球做匀速圆周
(3R)2
运动,设太空电梯对货物的支持力为F ,则F-F =mω2·3R在电梯内有F =mg,ω=2π,解得g=4π2
N N N
T T2
[(r+R)3-3R],故C错误;太空电梯相对地球静止,各点角速度相等,各点线速度v=ωR',与该点离
9R2
地球球心距离成正比,故D错误。
