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第 2 节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础
上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定
理，并能应用定理解决问题.
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
过不在一条直线上的三 A，B，C三点不共
基本
个点，有且只有一个平 线⇒存在唯一的α使
事实1
面 A，B，C∈α
如果一条直线上的两个
基本 A∈l，B∈l，且
点在一个平面内，那么
事实2 A∈α，B∈α l α
这条直线在这个平面内
⇒ ⊂
如果两个不重合的平面
P∈α，且
基本 有一个公共点，那么它
P∈β α∩β＝l，且
事实3 们有且只有一条过该点
P∈l
⇒
的公共直线
(2)基本事实1的三个推论
推论 内容 图形 作用
经过一条直线和这条直线外
推论1
一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只 确定平面的依
推论2
有一个平面 据
经过两条平行直线，有且只
推论3
有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
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图形
平行 语言
关系 符号
a∥b a∥α α∥β
语言
图形
相交 语言
关系
符号
a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
语言
图形
独有 语言
关系 符号 a，b是
a α
语言 异面直线
⊂
3.基本事实4和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义：已知 a，b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O 作直线 a′∥a，
b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内
角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(
)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
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的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交
的直线，故错误.
2.(多选)α 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m⊄α，n α，且
A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
⊂
A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行
答案 ABC
解析 依题意，m∩α＝A，n α，
∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.
⊂
3.(2022·重庆质检)若直线l 和l 是异面直线，l 在平面α内，l 在平面β内，l是
1 2 1 2
平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l ，l 都不相交
1 2
B.l与l ，l 都相交
1 2
C.l至多与l ，l 中的一条相交
1 2
D.l至少与l ，l 中的一条相交
1 2
答案 D
解析 由于l与直线l ，l 分别共面，故直线l与l ，l 要么都不相交，要么至少
1 2 1 2
与l ，l 中的一条相交.若l∥l ，l∥l ，则l ∥l ，这与l ，l 是异面直线矛盾.故l
1 2 1 2 1 2 1 2
至少与l ，l 中的一条相交.
1 2
4.(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD－A B C D 中，E为棱CC 的中点，则异面直
1 1 1 1 1
线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接 BE，因为AB∥CD，所以异面直线 AE与
CD所成的角等于相交直线 AE与AB所成的角，即为∠EAB.
不妨设正方体的棱长为 2，则 CE＝1，BC＝2，由勾股定理
得 BE ＝ . 又 由 AB⊥ 平 面 BCC B 可 得 AB⊥BE ， 所 以
1 1
tan∠EAB＝＝.
5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝
M，过A，B，C三点的平面记作 γ，则γ与β的交线必通过(
)
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A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
答案 D
解析 ∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
⊂
根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
6.(多选)(2021·长沙调研)如图，在正方体 ABCD－A B C D
1 1 1 1
中，M，N，P 分别是 C D ，BC，A D 的中点，下列结论
1 1 1 1
正确的是( )
A.AP与CM是异面直线
B.AP，CM，DD 相交于一点
1
C.MN∥BD
1
D.MN∥平面BB D D
1 1
答案 BD
解析 连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交
直线，
又面A ADD ∩面C CDD ＝DD ，
1 1 1 1 1
所以AP，CM，DD 相交于一点，则A不正确，B正确.
1
令AC∩BD＝O，连接OD ，ON.
1
因为M，N分别是C D ，BC的中点，
1 1
所以ON∥D M∥CD，ON＝D M＝CD，
1 1
则四边形MNOD 为平行四边形，所以MN∥OD ，
1 1
因为MN⊄平面BD D，OD 平面BD D，
1 1 1
所以MN∥平面BD D，C不正确，D正确.
1 ⊂
考点一 基本事实的应用
例1 如图所示，已知在正方体 ABCD－A B C D 中，E，F
1 1 1 1
分别为 D C ，C B 的中点，AC∩BD＝P，A C ∩EF＝Q.
1 1 1 1 1 1
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
1
证明 (1)∵EF是△D B C 的中位线，
1 1 1
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∴EF∥B D .
1 1
在正方体AC 中，B D ∥BD，∴EF∥BD.
1 1 1
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)在正方体AC 中，设平面A ACC 为α，平面BDEF为β.
1 1 1
∵Q∈A C ，∴Q∈α.
1 1
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A C∩β＝R，∴R∈A C.
1 1
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
感悟提升 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线
经过该点.
训练 1 如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和
BC 上的点，G，H 分别是 CD 和 AD 上的点.若 EH 与 FG 相
交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明 因为K∈EH，EH 平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
⊂
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
考点二 空间位置关系的判断
例2 (1)空间中有三条线段 AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与
CD的位置关系是( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
答案 D
解析 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，
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如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.
(2)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分
别为 DE，BE，EF，EC 的中点，则在这个正四面体中(
)
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
答案 BCD
解析 还原成正四面体A－DEF，如图所示，
其中 H 与 N 重合，A，B，C 三点重合，易知 GH 与 EF 异
面，BD与MN异面.
连接GM，∵△GMH为等边三角形，
∴GH与MN成60°角.
由图易得DE⊥AF，又MN∥AF，
∴MN⊥DE，
因此正确的选项是B，C，D.
感悟提升 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异
面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中
位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定
往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
训练2 (1)(多选)(2022·福州质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分
别为PA，CD的中点，下列说法正确的是( )
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
答案 ABD
解析 如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，
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由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，
设四边形 MHCN 确定平面 α，又 D∈α，故 M，N，D 共面，但 P∉平面 α，
D∉MN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.
若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC，
事实上AC∩CH＝C，C说法不正确；
因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，
D说法正确.
(2)如图，在正方体 ABCD－A B C D 中，点 E，F 分别在
1 1 1 1
A D，AC 上，且 A E＝2ED，CF＝2FA，则 EF 与BD 的位
1 1 1
置关系是( )
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面 D.平行
答案 D
解析 连接D E并延长，与AD交于点M，由A E＝2ED，可得M为AD的中点，
1 1
连接 BF 并延长，交 AD于点 N，因为 CF＝2FA，可得 N 为AD的中点，所以
M，N重合，所以EF和BD 共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD .
1 1
考点三 异面直线所成的角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A B C D 中，P为B D 的中点，则直
1 1 1 1 1 1
线PB与AD 所成的角为( )
1
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，连接 C P，因为ABCD－A B C D 是正方体，
1 1 1 1 1
且 P 为 B D 的中点，所以 C P⊥B D ，又 C P⊥BB ，
1 1 1 1 1 1 1
B D ∩BB ＝B ，B D ，BB 平面 B BP，所以 C P⊥平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B BP.又 BP 平面 B BP，所以有 C P⊥BP.连接 BC ，则
1 1 ⊂ 1 1
AD ∥BC ，所以∠PBC 为直线PB与AD 所成的角.设正方体ABCD－A B C D
1 1 ⊂ 1 1 1 1 1 1
的棱长为2，则在Rt△C PB中，C P＝B D ＝，BC ＝2，sin ∠PBC ＝＝，所以
1 1 1 1 1 1
∠PBC ＝.
1
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(2)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线
AB与CD所成的角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
答案 B
解析 如图，取 AC，BD，AD 的中点，分别为 O，M，
N，
则ON∥CD，MN∥AB，
且ON＝CD，
MN＝AB，
所以∠ONM或其补角即为所求的角.
因为平面 ABC垂直于平面 ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC
平面ACD，
⊂
所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.
设正方形边长为2，OB＝OD＝，
所以BD＝2，则OM＝BD＝1.
所以ON＝MN＝OM＝1.
所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.
所以直线AB与CD所成的角为60°.
感悟提升 1.综合法求异面直线所成角的步骤：
(1)作：通过作平行线得到相交直线.
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求
的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
2.向量法：利用向量的数量积求所成角的余弦值.
训练3 (1)在长方体ABCD－A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，则异面直线AD
1 1 1 1 1 1
与DB 所成角的余弦值为( )
1
A. B. C. D.
答案 C
解析 法一 如图，补上一相同的长方体 CDEF－
C D E F ，连接DE ，B E .易知AD ∥DE ，则∠B DE 为异
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面直线AD 与DB 所成角.因为在长方体ABCD－A B C D 中，
1 1 1 1 1 1
AB＝BC＝1，AA ＝，所以DE ＝
1 1
＝＝2，
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DB ＝＝，B E ＝＝＝，在△B DE 中，由余弦定理，
1 1 1 1 1
得cos∠B DE ＝＝，即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1 1 1
法二 如图，连接 BD ，交 DB 于 O，取 AB 的中点 M，连
1 1
接 DM，OM，易知 O 为 BD 的中点，所以 AD ∥OM，则
1 1
∠MOD 为异面直线 AD 与 DB 所成角.因为在长方体 ABCD
1 1
－A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，AD ＝＝2，DM＝＝，
1 1 1 1 1 1
DB ＝＝，所以OM＝AD ＝1，OD＝DB ＝，于是在△DMO
1 1 1
中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1
(2)(2022·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A B C 中，底面ABC为等腰直角
1 1 1
三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA ＝，则异面直线A C与AD所
1 1
成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 如图，取B C 的中点D ，连接A D ，则AD∥A D ，
1 1 1 1 1 1 1
∠CA D (或其补角)就是异面直线A C与AD所成的角.
1 1 1
连接D C.
1
∵A B ＝A C ，∴A D ⊥B C ，又 A D ⊥CC ，B C ∩CC ＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C ， ∴ A D ⊥ 平 面 BCC B ， ∵ D C 平 面 BCC B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴A D ⊥D C，∴△A D C为直角三角形，
1 1 1 1 1 ⊂
在Rt△A CD 中，A C＝2，CD ＝，
1 1 1 1
∴∠CA D ＝60°.
1 1
立体几何中的截线、截面问题
利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键.
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的
直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面
面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
一、截面问题
例1 (1)在正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别是棱DD 和BB 上的点，MD
1 1 1 1 1 1
＝DD ，NB＝BB ，那么正方体中过M，N，C 的截面图形是( )
1 1 1
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
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答案 C
解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的
交点，再确定截面与几何体的棱的交点.
设直线 C M，CD 相交于点 P，直线 C N，CB 相交于点
1 1
Q，连接 PQ 交直线 AD 于点 E，交直线 AB 于点 F，则五
边形C MEFN为所求截面图形.
1
(2)(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 α所成的角
都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，依题意，平面 α与棱BA，BC，BB 所在直线
1
所成角都相等，容易得到平面 AB C 符合题意，进而所有
1
平行于平面AB C的平面均符合题意.
1
由对称性，知过正方体 ABCD－A B C D 中心的截面面积
1 1 1 1
应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ.
易知正六边形EFGHIJ的边长为，将该正六边形分成6个边长为的正三角形.
故其面积为6××＝.
二、截线问题
例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱 ABCD－A B C D 的棱长均为 2，
1 1 1 1
∠BAD＝60°.以D 为球心，为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为__________.
1 1 1
答案
解析 如图，设 B C 的中点为 E，球面与棱 BB ，CC 的交
1 1 1 1
点分别为 P，Q，连接 DB，D B ，D P，D Q，D E，EP，
1 1 1 1 1
EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD 为等边三角形，
∴D B ＝DB＝2，∴△D B C 为等边三角形，则 D E＝且
1 1 1 1 1 1
D E⊥平面BCC B ，∴E为球面截侧面BCC B 所得截面圆的圆心，设截面圆的
1 1 1 1 1
半径为r，则r＝＝＝.
可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC B 的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
1 1
又D P＝，∴B P＝＝1，同理C Q＝1，
1 1 1
∴P，Q分别为BB ，CC 的中点，
1 1
∴∠PEQ＝，
知PQ的长为×＝.
(2)已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P
1 1 1 1
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是线段A B上的动点，C P与平面D EF的交点Q的轨迹长为________.
1 1 1
答案
解析 如图所示，
连接EF，A B，连接A C ，B D 交于点M，连接B E，BC
1 1 1 1 1 1 1
交于点N，
由EF∥B D ，即E，F，B ，D 共面，
1 1 1 1
由P是线段A B上的动点，当P重合于A 或B时，C A ，
1 1 1 1
C B与平面D EF的交点分别为M，N，
1 1
即Q的轨迹为MN，
由棱长为3，
得C M＝A C ＝3，则BC ＝6，
1 1 1 1
又＝＝，
则NC ＝BC ＝4，
1 1
由A B＝BC ＝A C ，
1 1 1 1
得∠A C B＝60°，
1 1
则MN＝
＝＝.
1.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
答案 C
解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，
b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或
异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.
2.给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
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④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 ①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误；
②中，由基本事实1知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，
故②正确；
③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分
别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误；
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错
误.
3.(多选)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的
顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
答案 BD
解析 图A中，直线GH∥MN；
图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异
面；
图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，
因此GH与MN异面.
4.(多选)如图所示，在正方体 ABCD－A B C D 中，O 是
1 1 1 1
B D 的中点，直线 A C 交平面 AB D 于点 M，则下列结论
1 1 1 1 1
正确的是( )
A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A 共面
1
C.A，M，C，O共面 D.B，B ，O，M共面
1
答案 ABC
解析 ∵M∈A C，A C 平面A ACC ，
1 1 1 1
∴M∈平面A ACC ，
1 1 ⊂
又∵M∈平面AB D ，
1 1
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∴M在平面AB D 与平面A ACC 的交线AO上，
1 1 1 1
即A，M，O三点共线，
∴A，M，O，A 共面且A，M，C，O共面，
1
∵平面BB D D∩平面AB D ＝B D ，
1 1 1 1 1 1
∴M在平面BB D D外，
1 1
即B，B ，O，M不共面，故选A，B，C.
1
5.(多选)(2021·潍坊质检)如图，已知二面角 A－BD－C 的
大小为，G，H 分别是 BC，CD 的中点，E，F 分别在
AD，AB 上，＝＝，且 AC⊥平面 BCD，则以下说法正确
的是( )
A.E，F，G，H四点共面
B.FG∥平面ADC
C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D.若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
答案 ACD
解析 由＝＝知EF綉BD.
又GH綉BD，∴EF∥GH，
因此E，F，G，H共面，A项正确；
假设FG∥平面ADC成立，因为平面ABC∩平面DAC＝AC，
所以FG∥AC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与＝矛盾，B项不正
确；
因为FG 平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，
因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，因此
⊂
C正确；
易知S ＝cos·S ＝×6＝3，D正确.
△BCD △ABD
6.(2022·广州检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，
将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的
“堑堵”ABC－A B C 中，AB＝AC＝AA ＝2，M、N分别是BB
1 1 1 1 1
和A C 的中点，则平面 AMN截“堑堵”ABC－A B C 所得截面
1 1 1 1 1
图形的面积为( )
A. B. C. D.
答案 A
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解析 延长 AN，与 CC 的延长线交于点 P，则 P∈平面
1
BB C C，连接PM，与B C 交于点E，连接NE，得到的四边形
1 1 1 1
AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A B C 所得截面图形，
1 1 1
由题意解三角形可得NE＝ME＝，
AM＝AN＝，MN＝.
∴△AMN中MN边上的高
h ＝＝，△EMN中MN边上的高h ＝＝.
1 2
∴AMN截“堑堵”ABC－A B C 所得截面图形的面积S＝S ＋S
1 1 1 △AMN △EMN
＝MN·(h ＋h )
1 2
＝××＝.
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线
EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
答案 4
解析 因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四
个侧面相交.
8.在正方体ABCD－A B C D 中，点O是底面ABCD的中心，过 O点作一条直
1 1 1 1
线l与A D平行，设直线l与直线OC 的夹角为θ，则cos θ＝________.
1 1
答案
解析 如图所示，设正方体的表面 ABB A 的中心为P，容
1 1
易证明 OP∥A D，所以直线 l 即为直线 OP，角 θ 即
1
∠POC .
1
设正方体的棱长为2，则
OP＝A D＝，OC ＝，PC ＝，
1 1 1
则cos∠POC ＝＝＝.
1
9.在正方体ABCD－A B C D 中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线
1 1 1 1
C E 平行，若正方体的棱长为 2，则平面 α 截正方体所得的多边形的面积为
1
________.
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答案
解析 如图，过点 B 作 BM∥C E 交 B C 于点 M，过点 M
1 1 1
作 BD 的平行线，交 C D 于点 N，连接 DN，则平面
1 1
BDNM即为符合条件的平面α，
由图可知M，N分别为B C ，C D 的中点，
1 1 1 1
故BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
∴等腰梯形MNDB的高为
h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
10.如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形
ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC
＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綉AD.又BC綉AD，
∴GH綉BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 共面.∵BE綉AF，G是FA的中点，
∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
11.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正
方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
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解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积
V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又
M为OA中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知
可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
12.如图，正方体ABCD－A B C D 的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A D ，
1 1 1 1 1 1
C D 的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为(
1 1
)
A. B. C.1 D.2
答案 B
解析 如图，分别取BC，AA ，CC 的中点为H，M，N，
1 1
连接 EH，HN，GN，FM，ME，容易得出 FG∥EH，
GN∥ME，HN∥FM，
则点E，F，G，H，M，N共面，
且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝＝，
即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM.
连接MN，EG，FH，且相交于点O，
因为MN＝AC＝＝，
所以OE＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝，
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则截面图形的面积为
×6＝.
13.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－
BCD的外接球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作
球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________.
答案 2π
解析 如图，设△BDC的中心为O ，球O的半径为R，
1
连接AO ，O D，OD，O E，OE，
1 1 1
则O D＝3sin 60°×＝，
1
AO ＝＝3，
1
在Rt△OO D中，
1
R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，
∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO 中，
1
O E＝＝1，
1
∴OE＝＝，
过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为＝，面积为2π.
14.(2021·上海卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD
为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若 CD 的中点为 F，PF 与平面 ABCD 所成角为 45°，求
PC与AD所成角的正切值.
解 (1)∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，
∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P－ABCD的体积V ＝×42×2＝.
P－ABCD
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(2)∵AD∥BC，
∴∠PCB即PC与AD所成的角.
如图，连接 EF，∵PE⊥平面 ABCD，EF，BC 平面
ABCD，
⊂
∴PE⊥EF，PE⊥BC，
又PF与平面ABCD所成角为45°，
即∠PFE＝45°，
∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4，
∴PB＝＝＝2.
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
⊂
又PB 平面PAB，∴BC⊥PB，
∴tan ∠PCB＝＝，
⊂
∴PC与AD所成角的正切值为.
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