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8.2二项式定理（精讲）
一．二项式定理
1.二项式定理：（a＋b）n＝C0 an＋C1 an－1b1＋…＋Ck an－kbk＋…＋Cn bn（n∈N*）
n n n n
①项数为n＋1
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，
从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2.通项公式：T ＝Ck an－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋1项
k＋1 n
①h（r）＝0⇔T
r＋1
是常数项；
②h（r）是非负整数⇔T
r＋1
是整式项；
③h（r）是负整数⇔T
r＋1
是分式项；
④h（r）是整数⇔T
r＋1
是有理项.
3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0，C1，…，Cn
.
n n n
二.二项式系数的性质
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
①写出二项展开式的通项公式T ＝ an－kbk，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
k＋1 Ck
n
②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
③把k代入通项公式中，即可求出T ，有时还需要先求n，再求k，才能求出T 或者其他量．
k＋1 k＋1
二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
三.求二项式系数最大项
( n )
1.如果n是偶数，那么中间一项 第 +1项 的二项式系数最大；
2
(
n+1 n+1
)
2，如果n是奇数，那么中间两项 第 项与第 +1项 的二项式系数相等且最大.
2 2
四.求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
{A ≥A ,
A，A，…，A ，且第k项系数最大，应用 k k-1 解出k.
1 2 n＋1 A ≥A ,
k k+1
五．求三项展开式中特定项（系数）的方法
方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解
方法二：两次利用二项展开式的通项求解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个
因式中取因式中的量
六．二项式定理应用
1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，
再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，
使其满足近似计算的精确度．
考点一 二项式定理的展开式
【例1】（2023广西柳州）化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ．
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋ ·35＋ ·33＋ ·3，B＝ ·36＋ ·34＋ ·32＋1，则A－B的值为(
)
A．128 B．129 C．47 D．0
【答案】A
【解析】A－B＝37－ ·36＋ ·35－ ·34＋ ·33－ ·32＋ ·3－1＝
故选A.
2．（2023·重庆九龙坡）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
选B.
考点二 二项式指定项的系数
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中，含 的项的二项式系数为（ ）
A．28 B．56 C．70 D．112
【答案】A
【解析】∵二项式 的展开式中，通项公式为 ，
令 ，求得 ，可得含 的项的二项式系数为 ，
故选：A.
【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模） 的展开式的常数项是（ ）
A．40 B．-40 C．20 D．-20
【答案】D
【解析】二项式 的通项公式为 ，
令 ，所以 的展开式的常数项是 ，故选：D
【例2-3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测） 展开式中 的系数为（ ）
A．270 B．240 C．210 D．180
【答案】A
【解析】 展开式的通项公式为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则原展开式中 的系数为 .
故选：A
【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模） 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为
（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 ，得 .
故选：C
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式 的展开式中，含 项的二项式系数为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由题设， ，
∴当 时， .
∴含 项的二项式系数 .
故选：A.
2．（2023·河南驻马店·统考二模） 的展开式中的常数项是（ ）
A．－112 B．－48 C．48 D．112
【答案】D
【解析】 展开式的通项为 ．
令 ，得 ，则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，得 ，则 ；
故 的展开式中的常数项是 ．
故选：D.
3．（2023·全国·高三对口高考）在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数
项是（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】D
【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，
所以 ， ，
令 ，得 ，所以展开式中常数项是 .故选：D
考点三 三项式指定项系数
【例3】（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中常数项是（ ）
A．-252 B．-220 C．220 D．252
【答案】A
【解析】由 ，可得二项式 的展开式通项为：
，令 ，解得 ，∴展开式的常数项为 ．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B．10 C． D．30
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 可以看做 个盒子，每个盒子中有 ， ， 三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含 的项为 ，
故展开式中 的系数为 .
故选：C.
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测） 的展开式中 的系数为 （用数字作
答）．
【答案】
【解析】因为 ，
设其展开式的通项公式为： ，
令 ，得 的通项公式为 ，
令 ，所以 的展开式中， 的系数为 ，
故答案为：
3．（2023秋·福建三明·高三统考期末） 展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】
【解析】 的展开式的通项为
， ,
令 ,则 或 ，或 ，
所以常数项为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式 的展开式中含 的项的系数
为 ，则 ．
【答案】2
【解析】 表示有5个 因式相乘， 来源如下：
有1个 提供 ，有3个 提供 ，有1个 提供常数，
此时 系数是 ，即 ，解得：
故答案为： .
考点四 二项式系数性质
【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习） 的展开式中二项式系数最大的项是
（ ）
A．160 B．240 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 的展开式中二项式系数最大为 ，
即展开式的第4项，即 .故选：C．
【一隅三反】
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选） 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数
项是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．各项的二项式系数之和为1024
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．
D．各项的系数之和为1024
【答案】ABC
【解析】因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以 ，选项A正确；
所以 的展开式中二项式系数之和为 ，故选项B正确；
根据二项式定理知 的通项式为 ，令 得 ，所以
的展开式中常数项为 ，所以 ，
解得： ，故选项C正确；
令 得 ，所以各项的系数之和为0，所以D选项错误.
故选:ABC.
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知 的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式
中x的系数为
【答案】
【解析】第四项和第八项的二项式系数相等,则 ，
故展开式中x的系数为 ，
故答案为：
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知 的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，
则展开式中的常数项为 ．
【答案】60
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 的二项展开式为：
所以它的第二项的系数为：
该二项式的展开式中第二项的二项式系数为： ，
由 的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以有： ，
所以二项式为 ，由展开式通项为： ，
令 ，所以展开式中的常数项为： .
故答案为：60.
考法五 系数最大项和系数和
【例5-1】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测） 的二项展开式中系数最大的项为 .
【答案】
【解析】设 展开式的第 项的系数最大，
则 ，解得 ，
所以系数最大的项为第 或第 项，
所以系数最大的项为：
，
.
故答案为：
【例5-2】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ， ）的定义域为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 被8整除余数为1
【答案】BCD
【解析】因为 ，
对于A：当 时， ，①，故A错误；
对于B：当 时， ，②，
① ②得 ，解得 ，故B正确；
对于C： ，
令 得 ，故C正确；
对于D： ，所以 被 整除余数为1，故D正确.
故选：BCD
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70 B．56 C． 或 D．
【答案】D
【解析】 的展开式的通项公式为 ， ，由二项式系
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数中， 最大，此时该二项展开式中第5项的系数 最大，∴ 的展开式中系数最大的项为
，
故选：D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知 的展开式中前三项的二项式系数和为 ，则展
开式中系数最大的项为第（ ）
A． 项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】D
【解析】 的展开式中前三项的二项式系数和为 ，
整理可得 ， 且 ，解得 ，
的展开式通项为 ，
设展开式中第 项的系数最大，则 ，
即 ，解得 ，
因为 ，故 ，因此，展开式中系数最大的项为第 项.
故选：D.
3．（2023春·山东青岛）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
【答案】ABD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】A选项，根据二项展开式的通项， ，A选项正确；
B选项，取 代入等式，得到 ，B选项正确；
C选项，取 代入等式，得到 ，
结合B选项 ，
两式相加得 ，故C选项错误；
D选项，根据二项展开式的通项， ，令 ，即 ，
解得 ，又 ，故 ，即 最大，D选项正确.
故选：ABD
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若 ，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】令 得： ，所以选项A正确；
令 得： ，所以 ，所以选项B错误；
因为 ，
所以 选项C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
两边对 求导得： ，
令 得： ，选项D错误；
故选：AC.
考法六 二项式定理的应用
【例6-1】（2023春·课时练习）设 为奇数，那么 除以13的余数是
（ ）
A． B．2 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
因为 为奇数，则上式=
.
所以 除以13的余数是10.
故选：C.
【例6-2】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过 天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】D
【解析】 ，
由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，
故整个式子除以4的余数为 ，
故经过 天后是是星期六，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D．
【例6-3】（2023·全国·高三专题练习） 的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习） （小数点后保留三位小数）．
【答案】1.172
【解析】 ，
由二项展开式的性质易知， 远小于 ，依次类推，
故 .
故答案为：1.172.
2．（2023·辽宁丹东·统考一模） 除以7所得余数为 ．
【答案】
【解析】 ，
其中 各项均可被7整除，
只需判断 除以7的余数即可，而 ，
所以余数为 .
故答案为：
3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）
（精确到0.01）
【答案】30.84
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】原式
故答案为：30.84．
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