3.6零点定理（精讲）（提升版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）

3.6 零点定理（精讲）（提升版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 零点的区间 【例1】（2022·河南开封·）函数 的一个零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， 的定义域为 ， ，所以 在 上单调递增， 所以 ， ， 由零点存在性定理知： ，函数 的一个零点所在的区间是 .故选：D. 【一隅三反】 1．（2022·湖南）函数 的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为 是 上的增函数，且 ，所以 的零点在区间 内. 故选：B 2．（2022·四川攀枝花）已知函数 的零点在区间 上，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 的定义域为 ，且在 上单调递增，故其至多一个零点； 又 ， ，故 的零点在区间 ，故 .故选： ． 3．（2022·云南德宏）方程 的解所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，易知 在定义域 内是增函数， 又 ， ，所以 的零点在 上，即题中方程的根属于 ．故选：B． 考点二 零点的个数 【例2-1】（2022·陕西）函数 的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当 时， 则函数 的零点个数为函数 与函数 ， 的交点个数作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当 时，函数 的零点有两个， 当 时， ，即当 时，函数 的零点有一个. 综上，函数 的零点有三个.故选：D 【例2-2】（2022·山西）已知 若 ，则 在 内的零点 个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】作出 的图像，则 在 内的零点个数为曲线 与直线 在 内的交点个数9. 选：B. 【一隅三反】1．（2022·安徽）已知函数 则方程 的解的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】令 ，得 ，则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个 数．作出函数 与函数 的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程 的解 的个数为2个．故选：C． 2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图像与函数 的图像的交点个数为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】C 【解析】 在 上是增函数， 在 和 上是减函数，在 和 上是 增函数， ， ， ， 作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点． 故选：C．3．（2022·海南省）设函数 定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则函数 有（ ）个零点 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 的零点个数即 的图象交点个数.因为 为奇函数，故 关 于原点对称，故 关于 对称，又 为偶函数，故 关于 对称，又当 时， ，画出图象，易得函数 的图象有6个交点 故选：C 考点三 比较零点的大小 【例3】（2022·安徽）已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c则 a，b，c的大小顺序为（ ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】由 得 ， ， 由 得 ，由 得 . 在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象， 由图象知 ， ， . 故选：D 【一隅三反】 1．（2022·河南）若实数 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出 与 三个函数的图象，如图可得 的与 交点的横坐标依次为 ，故 故选：B2．（2022·安徽）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数 ，易知 在 上递增， ， ，即 ，由零点存在定理可知． ； 设函数 ，易知 在 上递增， ， ，即 ，由零点存 在定理可知， ； 设函数 ，易知 在 上递减， ， ，因为 ，由函数 单调性可知， ，即 .故选:A． 3．（2022·山西）正实数 满足 ，则实数 之间的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，即 ，即 ， 与 的图象在 只有一个交点， 则 在 只有一个根 ，令 ， ， ， ，则 ； ，即 ，即 ，由 与 的图象在 只有一个交点， 则 在 只有一个根 ，令 ， ，， ，故 ； ，即 ， 即 ，由 与 的图象在 只有一个交点， 则 在 只有一个根 ，令 ， ， ， ，则 ； 故选：A. 考点四 已知零点求参数 【例4-1】（2022·山东潍坊）已知函数 的图像与直线 有3个不同的交点，则实数m的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对函数 求导得： ， 当 或 时， ，当 时， ，即 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ， 在同一坐标系内作出函数 的图像和直线 ，如图， 观察图象知，当 时，函数 的图像与直线 有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是 .故选：B 【例4-2】（2022·吉林）已知 若关于x的方程 有3个不同实根，则实数 取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 时， ，则 ，令 ，则 ，所以 时， ， 则 单调递增； 时， ，则 单调递减；且 ， ， 时， ； 时， ，则 ，令 ，则 ，所以 时， ，则 单调递增； 时， ，则 单调递减；且 ， ， 时， ； 作出 在 上的图象，如图： 由图可知要使 有3个不同的实根，则 .故选：D. 【例4-3】（2022·安徽·合肥市）已知函数 在区间 上有且仅有4个零 点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数 ， 若 ，即 ，必有 ，令 ，则 ， 设 ，则函数 和 在区间 内有4个交点， 又由于 ，必有 ，即 的取值范围是 ，故选：B. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若关于x的方程 恰有三个 不相等的实数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数 的图像如下图所示：若关于x的方程 恰有三个不相等的实数解， 则函数 的图像与直线 有三个交点， 若直线 经过原点时，m＝0， 若直线 与函数 的图像相切，令 ，令 .故 .故选：D． 2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 为定义在 上的单调函数，且 ．若 函数 有3个零点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的 ，使得 ， 则 ， ，即 ，因为函数 为增函数，且 ，所以 ， . 当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 . 结合函数的图象可知，若 有3个零点，则 ． 故选：A 3．（2022·广西·贵港市高级中学三模）已知 在 有且仅有6个实数 根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 ，即 . 设 ，即 在 有且仅有6个实数根， 因为 ，故只需 ，解得 ，故选：D． 4．（2022·山西）已知函数 ，若函数 恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，画出函数 的简图，如图所示 由 恰好有两个零点转化为 与直线 有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点 两点的斜率为 ，则 . 所以实数k的取值范围为 .故选：C. 考点五 零点的综合运用 【例5-1】（2022·新疆克拉玛依）函数 在区间 上的所有零点之和为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，令 ，即 ，当 时显然不成立， 当 时 ，作出 和 的图象，如图，它们关于点 对称， 由图象可知它们在 上有4个交点，且关于点 对称，每对称的两个点的横坐标和为 ，所 以4个点的横坐标之和为 ．故选：C． 【例5-2】（2022·甘肃）若函数 在区间 上有2个零点 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 在区间 上有2个零点 即方程 在区间 上有2个实数根 设 ，则 为偶函数.且 当 时， ，当 时， 在 上单调递增，且 所以 在 上单调递减，则在 上单调递增， 又 时， ； 时， ，则 的大致图像如图.所以方程 在区间 上有2个实数根 满足 则 ，设 ，则 在 上恒成立 所以 故选：A 【例5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为 ，函数 的零 点为 ，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 、 ，则 、 ， 在同一坐标系中分别绘出函数 、 、 的图像，因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，所以 ， ， 解方程组 ， 因为函数 与 互为反函数，所以由反函数性质知 、 关于 对称， 则 ， ， ，A、B、D错误， 因为 ，所以 在 上单调递增，因为 ， ， 所以 ，因为点 在直线 上， 所以 ， ，故C正确， 故选：C． 【一隅三反】 1．（2022·安徽·合肥一六八中学）若 为奇函数，且 是 的一个零点，则 一定是下列 哪个函数的零点（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 是奇函数， 且 是 的一个零点， 所以 ，把 分别代入下面四个选项， 对于A， ，不一定为0，故A错误； 对于B， ，所以 是函数 的零点，故B 正确； 对于C， ，故C不正确； 对于D， ，故D不正确； 故选：B. 2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 的 值为（ ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】A 【解析】方程 可变形为方程 ，方程 可变形为方程 ， 是方程 的根， 是方程 的根， 是函数 与函数 的交点横坐标， 是函数 与函数 的交点横坐标， 函数 与函数 互为反函数， 函数 与函数 的交点横坐标 等于函数 与函数 的交点纵坐标,即 在数 图象上， 又 图象上点的横纵坐标之积为2， ， 故选： ． 3．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数 的所有零点之和为_________.【答案】 【解析】由 ，可得 ，令 ， 可得函数 与 的图象都关于直线 的对称， 在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图所示， 由图象可得，函数 与 的图象有6个公共点， 其横坐标依次为 ， 这6个点两两关于直线 的对称，所以 ， 所以 ， 即函数 的所有零点之和为 . 故答案为： .