文档内容
3.6 零点定理（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 零点的区间
【例1】（2022·河南开封·）函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， 的定义域为 ，
，所以 在 上单调递增，
所以 ， ，
由零点存在性定理知： ，函数 的一个零点所在的区间是 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·湖南）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 是 上的增函数，且 ，所以 的零点在区间 内.
故选：B
2．（2022·四川攀枝花）已知函数 的零点在区间 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，且在 上单调递增，故其至多一个零点；
又 ， ，故 的零点在区间 ，故 .故选： ．
3．（2022·云南德宏）方程 的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，易知 在定义域 内是增函数，
又 ， ，所以 的零点在 上，即题中方程的根属于 ．故选：B．
考点二 零点的个数
【例2-1】（2022·陕西）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当 时， 则函数 的零点个数为函数 与函数 ，
的交点个数作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当 时，函数 的零点有两个，
当 时， ，即当 时，函数 的零点有一个.
综上，函数 的零点有三个.故选：D
【例2-2】（2022·山西）已知 若 ，则 在 内的零点
个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】作出 的图像，则 在 内的零点个数为曲线
与直线 在 内的交点个数9.
选：B.
【一隅三反】1．（2022·安徽）已知函数 则方程 的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】令 ，得 ，则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个
数．作出函数 与函数 的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程 的解
的个数为2个．故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图像与函数 的图像的交点个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【答案】C
【解析】 在 上是增函数， 在 和 上是减函数，在 和 上是
增函数， ， ， ，
作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．3．（2022·海南省）设函数 定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则函数 有（ ）个零点
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】 的零点个数即 的图象交点个数.因为 为奇函数，故 关
于原点对称，故 关于 对称，又 为偶函数，故 关于 对称，又当 时，
，画出图象，易得函数 的图象有6个交点
故选：C
考点三 比较零点的大小
【例3】（2022·安徽）已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c则
a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】由 得 ， ，
由 得 ，由 得 .
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象，
由图象知 ， ， .
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·河南）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出 与 三个函数的图象，如图可得 的与
交点的横坐标依次为 ，故
故选：B2．（2022·安徽）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数 ，易知 在 上递增，
， ，即 ，由零点存在定理可知． ；
设函数 ，易知 在 上递增， ， ，即 ，由零点存
在定理可知， ；
设函数 ，易知 在 上递减， ， ，因为 ，由函数
单调性可知， ，即 .故选:A．
3．（2022·山西）正实数 满足 ，则实数 之间的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，即 ，即 ， 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ，
， ， ，则 ；
，即 ，即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，， ，故 ；
，即 ，
即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，则 ； 故选：A.
考点四 已知零点求参数
【例4-1】（2022·山东潍坊）已知函数 的图像与直线 有3个不同的交点，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对函数 求导得： ，
当 或 时， ，当 时， ，即 在 ， 上单调递增，在
上单调递减，
在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
在同一坐标系内作出函数 的图像和直线 ，如图，
观察图象知，当 时，函数 的图像与直线 有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是 .故选：B
【例4-2】（2022·吉林）已知 若关于x的方程 有3个不同实根，则实数 取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 时， ，则 ，令 ，则 ，所以 时， ，
则 单调递增； 时， ，则 单调递减；且 ， ， 时，
；
时， ，则 ，令 ，则 ，所以 时， ，则
单调递增； 时， ，则 单调递减；且 ， ， 时，
；
作出 在 上的图象，如图：
由图可知要使 有3个不同的实根，则 .故选：D.
【例4-3】（2022·安徽·合肥市）已知函数 在区间 上有且仅有4个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数 ，
若 ，即 ，必有 ，令 ，则 ，
设 ，则函数 和 在区间 内有4个交点，
又由于 ，必有 ，即 的取值范围是 ，故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若关于x的方程 恰有三个
不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的图像如下图所示：若关于x的方程 恰有三个不相等的实数解，
则函数 的图像与直线 有三个交点，
若直线 经过原点时，m＝0，
若直线 与函数 的图像相切，令 ，令
.故 .故选：D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 为定义在 上的单调函数，且 ．若
函数 有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ， ，即 ，因为函数 为增函数，且 ，所以 ， .
当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 .
结合函数的图象可知，若 有3个零点，则 ．
故选：A
3．（2022·广西·贵港市高级中学三模）已知 在 有且仅有6个实数
根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 .
设 ，即 在 有且仅有6个实数根，
因为 ，故只需 ，解得 ，故选：D．
4．（2022·山西）已知函数 ，若函数 恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，画出函数 的简图，如图所示
由 恰好有两个零点转化为 与直线 有两个不同的交点，
由图知，当直线经过点 两点的斜率为 ，则 .
所以实数k的取值范围为 .故选：C.
考点五 零点的综合运用
【例5-1】（2022·新疆克拉玛依）函数 在区间 上的所有零点之和为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，令 ，即 ，当 时显然不成立，
当 时 ，作出 和 的图象，如图，它们关于点 对称，
由图象可知它们在 上有4个交点，且关于点 对称，每对称的两个点的横坐标和为 ，所
以4个点的横坐标之和为 ．故选：C．
【例5-2】（2022·甘肃）若函数 在区间 上有2个零点 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 在区间 上有2个零点
即方程 在区间 上有2个实数根
设 ，则 为偶函数.且
当 时， ，当 时， 在 上单调递增，且
所以 在 上单调递减，则在 上单调递增，
又 时， ； 时， ，则 的大致图像如图.所以方程 在区间 上有2个实数根 满足
则 ，设 ，则 在 上恒成立
所以
故选：A
【例5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为 ，函数 的零
点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 、 ，则 、 ，
在同一坐标系中分别绘出函数 、 、 的图像，因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，所以 ， ，
解方程组 ，
因为函数 与 互为反函数，所以由反函数性质知 、 关于 对称，
则 ， ， ，A、B、D错误，
因为 ，所以 在 上单调递增，因为 ， ，
所以 ，因为点 在直线 上，
所以 ， ，故C正确，
故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·安徽·合肥一六八中学）若 为奇函数，且 是 的一个零点，则 一定是下列
哪个函数的零点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 是奇函数， 且 是 的一个零点，
所以 ，把 分别代入下面四个选项，
对于A， ，不一定为0，故A错误；
对于B， ，所以 是函数 的零点，故B
正确；
对于C， ，故C不正确；
对于D， ，故D不正确；
故选：B.
2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 的
值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
【答案】A
【解析】方程 可变形为方程 ，方程 可变形为方程 ，
是方程 的根， 是方程 的根，
是函数 与函数 的交点横坐标， 是函数 与函数 的交点横坐标，
函数 与函数 互为反函数，
函数 与函数 的交点横坐标 等于函数 与函数 的交点纵坐标,即 在数
图象上，
又 图象上点的横纵坐标之积为2， ，
故选： ．
3．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数 的所有零点之和为_________.【答案】
【解析】由 ，可得 ，令 ，
可得函数 与 的图象都关于直线 的对称，
在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图所示，
由图象可得，函数 与 的图象有6个公共点，
其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 的对称，所以 ，
所以 ，
即函数 的所有零点之和为 .
故答案为： .
