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8.2 二项式定理（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 指定项的系数
【例1-1】（2022·四川模拟）已知二项式 的展开式中， 项的系数为40，则 （ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【答案】C
【解析】由 ，令 ，解得 ，所以 项的系数为
，解得 ． 故答案为：C
【例1-2】（2022·广东模拟）若 是一组数据 的方差，则 的展开式的常数项为（
）
A．-210 B．3360 C．210 D．16
【答案】B
【解析】数据0，2，0，2的平均值为1，故方差 ，
故二项式为 ，其展开式的通项公式
，令 ，解得 ，
故常数项为 .故答案为：B.
【例1-3】（2022·广州模拟）若 ，则 ．
【答案】-56
【解析】由题意可知， ， 展开式的通项公式为，
由 ，得出求的项是 .
令 ，解得 ，所以 .故答案为：-56.
【一隅三反】
1．（2022·汕头模拟） 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意 的展开式的 ，
令 ，得 ，当 时，n取到最小值3.故答案为：B．
2．（2022·江阴模拟）二项式 的展开式中，含 项的二项式系数为
（ ）
A．84 B．56 C．35 D．21
【答案】B
【解析】因为二项式为 ，
所以其展开式中，含 项的二项式系数为：
， ， ， ，
， .故答案为：B
3．（2022·莆田三模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． 展开式中的常数项为-32 B． 展开式中的各项系数之和为1C． 展开式中 的系数为40 D． 展开式中的二项式系数之和为32
【答案】A,C,D
【解析】对于A，常数项应为 ，则A符合题意；
对于B，令 ，得 ，即 展开式中的各项系数之和为-1，则B不符合题意；
对于C， 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，则 ，即 展开式中 的系数为40，则C符合题意；
对于D， 展开式中的二项式系数之和为 ，D符合题意.故答案为：ACD
24．（2022·唐山二模）（多选）已知 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（
）
A．n=9 B．
C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1
【答案】A,D
【解析】由 ，可得n=9，则A判断正确；B判断错误；
的展开式的通项公式为
令 ，则 ，则展开式的常数项是 .C判断错误；
展开式中所有项的系数和是 .判断正确.故答案为：AD
考点二 多项式的系数
【例2-1】（2022·济南二模） 的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12【答案】D
【解析】 ， 展开式的通项为：
，当 即 时， ，所以 的
展开式中，常数项为12.故答案为：D.
【例2-2】．（2022·枣庄模拟）在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．-480 B．480 C．-240 D．240
【答案】A
【解析】 看成是6个 相乘，要得到 .分以下情况：
6个因式中，2个因式取 ，1个因式取 ，3个因式取 ，此时 的系数
，所以 的系数为-480.故答案为：A
【例2-3】（2022·临沂二模）已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中
的系数为（ ）
A．-120 B．-40 C．40 D．120
【答案】A
【解析】在二项式 中，令 ，可得 ，解得 ，
的展开式通项为 ，
因为 ，
在 ，令 ，可得 ，在 中，令 ，可得 ，
因此，展开式中 的系数为 .故答案为：A.
【一隅三反】
1．（2022·浙江模拟）在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为（ ）
A．-674 B．-675 C．-1080 D．1485
【答案】A
【解析】 ，则 的系数为1，
的系数为 ，
所以在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为 ．故答案为：A．
2．（2022·芜湖模拟）在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【解析】 ， 表示5个 相乘，
展开式中出现 有两种情况，第一种是 中选出3个 和2个1，
第二种是 中选出4个 和1个 ，所以展开式中含有 项有 和
，所以 项的系数为 .故答案为：B
3．（2022·聊城模拟） 的展开式中 项的系数为（ ）
A．-120 B．-40 C．80 D．200
【答案】B
【解析】 的展开式通项为 ，因为 ，
在 中，令 可得 ，
在 中，令 可得 ，
因此，展开式中 项的系数为 .故答案为：B.
4．（2022·商丘模拟）已知 的展开式中各项系数之和为-32，则该展开式中含
的项的系数为（ ）
A．-30 B．-20 C．-15 D．-10
【答案】D
【解析】令 得， ，解得 ，所以 的展开式
中含 的项的系数为 ． 故答案为：D.
考点三 系数和
【例3】（2022·岳阳模拟）（多选）已知 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【解析】因为 ，
令 ，则 ，A符合题意；
令 ，则 ，所以 ，B不符合题意；
令 ，则 ，
所以 ， ， ，所以 ，C不符合题意；
对 两边对 取导得
，再令 得 ，D符合题意；
故答案为：AD
【一隅三反】
1．（2022·潮州二模）设 ，则 ．
【答案】9
【解析】在 中，
令 得， ， ，
所以， ．故答案为：9.
2．（2022·云南模拟）若 ，则 的
值为 ．
【答案】-32
【解析】令 ，可得 。 故答案为：-32。
3．设（2﹣ x）100=a+ax+ax2+…a x100，求下列各式的值．
0 1 2 100
（1）a；
0
（2）a+a+a+…+a ；
1 2 3 100
（3）a+a+a…+a ；
1 3 5 99
（4）（a+a+…+a ）2﹣（a+a+…+a ）2；
0 2 100 1 3 99
（5）|a|+|a|+…+|a |．
0 1 100
【答案】（1）a=2100（2） ﹣2100（3） ．
0
（4）1（5）【解析】在（2﹣ x）100=a+ax+ax2+…a x100中，
0 1 2 100
（1）令x=0可得a=2100．
0
（2）令x=1，可得2100+a+a+a+…+a = ①，∴a+a+a+…+a = ﹣2100．
1 2 3 100 1 2 3 100
（3）令x=﹣1，可得得2100﹣a+a﹣a+…+a = ②，
1 2 3 100
由①②求得a+a+a…+a = ．
1 3 5 99
（4）由①②还可得到 a+a+…+a = ，
0 2 100
∴（a+a+…+a ）2﹣（a+a+…+a ）2 =（a+a+a+…a ）（a﹣a+a+…+a ）=（2﹣ ）100 •（2+
0 2 100 1 3 99 0 1 2 100 0 1 2 100
）100 =1．
（5）|a|+|a|+…+|a |即（2+ x）100的展开式中各项系数的和，
0 1 100
在（2+ x）100的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为 ．
考点四 二项式定理的运用
【例4-1】（2022·潍坊模拟） 除以7的余数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
，则 ，
又 是7的倍数，故余数为3.故答案为：D.
【例4-2】．（2021·全国·高二课时练习） 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B
【解析】∵ ，∴ .故选B
【一隅三反】
1.（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知 ，且 恰能被14整除，则 的
取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．13
【答案】D
【解析】由 ，
∴要使 恰能被14整除，只需 能被14整除即可且 ，
∴ ，当k=1时，m=13满足题意.
故选：D
2．（2021·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过 天后是
（ ）
A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二
【答案】C
【解析】
，
故它除以7的余数为 ，
故经过7天后还是星期日，那么经过 天后是星期一，
故选：C．
3．（2021·全国·高二课时练习） (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
【答案】D
【解析】 (1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+… 1.34．故选D．
