文档内容
重难点突破 07 函数零点问题的综合应用
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................2
题型一：判断或讨论函数零点的个数................................................................................................2
题型二：根据零点个数求参数范围..................................................................................................10
题型三：证明函数零点的个数..........................................................................................................15
题型四：证明函数零点的性质..........................................................................................................21
题型五：最值函数的零点问题..........................................................................................................30
题型六：同构法妙解零点问题..........................................................................................................35
题型七：零点差问题..........................................................................................................................43
题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题......................................................................51
题型九：零点问题之取点技巧..........................................................................................................57
题型十：零点与切线问题的综合应用..............................................................................................61
03过关测试.........................................................................................................................................671、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，
求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将 整理变形成
的形式，通过 两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函
数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知
识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可
以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合
思想研究；③构造辅助函数研究.
题型一：判断或讨论函数零点的个数
【典例1-1】（2024·河南·三模）函数 的图象在 处的切线为
.(1)求 的值；
(2)求 在 上零点的个数.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，所以切线斜率为 ，即 ，
所切线方程为
又 ，所以切点坐标为 ，代入得
则 ，解得 .
（2）由（1）得 ，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上递增，
所以 ，
因此 在 无零点；
当 时， 恒成立，所以 单调递增，
又 ，
所以 在 上存在唯一的零点 ，
当 单调递减；
当 单调递增；
又 ， ，
因此 在 上仅有1个零点；
综上， 在 上仅有1个零点.
【典例1-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的极大值；
(2)若 ，求 在区间 上的零点个数．
【解析】（1）由题易得，函数 的定义域为 ，
又 ，
所以，当 时， 随 的变化情况如下表：0 2
0 0
极小值 极大值
由上表可知， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
所以 的极大值为 ．
当 时， 随 的变化情况如下表：
0 2
0 0
极大值 极小值
由上表可知， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
所以 的极大值为 ．
综上所述，当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极大值为0．
（2）方法一：当 时， ，所以函数 ．
由 ，得 ．
所以要求 在区间 上的零点的个数，
只需求 的图象与 的图象在区间 上的交点个数即可．
由（1）知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减．
又 在区间 上单调递增，
且 ，
所以 与 的图象在区间 上只有一个交点，所以 在区间 上有且只有1个零点．
因为当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 在区间 上有极大值 ，
即当 时，恒有 ．
又当 时， 的值域为 ，且其最小正周期为 ，
现考查在其一个周期 上的情况，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
且 ， ，
所以 与 的图象在区间 上只有一个交点，
即 在区间 上有且只有1个零点．
因为在区间 上， ，
所以 与 的图象在区间 上无交点，
即 在区间 上无零点．
在区间 上， 单调递减， 单调递增，
且 ，
所以 与 的图象在区间 上只有一个交点，
即 在区间 上有且只有1个零点．
所以 在一个周期 上有且只有2个零点．
同理可知，在区间 上， 且 单调递减，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，
，
所以 与 的图象在区间 和 上各有一个交点，
即 在 上的每一个区间 上都有且只有2个零点．
所以 在 上共有 个零点．
综上可知， 在区间 上共有 个零点．
方法二：当 时， ，所以函数 ．
当 时， ，所以 在区间 上单调递减．
又 ，所以存在唯一零点 ，使得 ．
所以 在区间 上有且仅有一个零点．
当 时， ，所以 ．
所以 在 上无零点．
当 时， ，所以 在区间 上单调递增．
又 ，所以存在唯一零点．
当 时， ，
设 ，则
所以 在 上单调递增．
又 ，
所以存在 ，使得 ．即当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
又 ，所以 在区间 上有且仅有一个零点
所以 在区间 上有且仅有一个零点．
当 时，
，
设 ，则
所以 在 上单调递增．
又 ，所以 在区间 上单调递减：
又 ，
所以存在唯一 ，使得 ．
所以 在区间 上有且仅有一个零点．
所以 在区间 上有两个零点．
所以 在 上共有 个零点．
综上所述， 在区间 上共有 个零点．
【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)设函数 ，讨论 零点的个数.
【解析】（1） 的定义域为 ，
则当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，因此 的最小值为 ；
（2） ，且 ，
令 ，得 ，
令 ，则 与 有相同的零点，
且 ，
令 ，则 ，
因为当 时，则 ，所以 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，使 ，
且当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
因此 的最小值为 ，
由 ，得 ，即 ，
令 ，则 在区间 上单调递增，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，从而 ，即
所以 的最小值 ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时，因为 ，
当 趋近于0时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ，
所以 有两个零点.
综上，当 时， 的零点个数为0；当 时， 的零点个数为1；
当 时， 的零点个数为2.
【变式1-2】已知 ， 是实数，1和 是函数 的两个极值点
(1)求 ， 的值.
(2)设函数 的导函数 ，求 的极值点.
(3)设 其中 求函数 的零点个数.
【解析】（1）由 ，得 ，
因为1和 是函数 的两个极值点，
所以 ，解得： ， ，
当 ， 时， ，
所以 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，
所以经检验当 ， 时，1和 是函数 的两个极值点.
（2）由(1)得 ，则 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，是 极值点， 不是 极值点，
所以 极值点为
（3）令 ，则 ，
先讨论关于 的方程 根的情况： ，
当 时，由(2)可知 的两个不同根为 和 ，注意到 为奇函数，。
所以 的两个不同根为 和 ，
当 时，因为 ， ，
所以 ， ， ， 都不是 的根，
由(1)知 ，
①当 时， ，则 是单调增函数，从而 ，此时 再 上无实
数根；②当 时， ，则 是单调减函数，因为 ， ，则 的图象
不间断，
所以 在 内有唯一实根，
同理， 在 内有唯一实根
③当 时， ，则 是单调减函数，因为 ， ，则 的图
象不间断，
所以 在 内有唯一实根，
因此，当 时， 有两个不同根 ， 满足 ， ，
当 时， 有三个不同的根 ， ， ，满足 ， ， ， ，
先考虑函数 的零点：
(i)当 时， 有两个根 ， ，满足 ；
而 有三个不同的根， 有两个不同的根，故函数 有5个零点，
(ii) 当 时， 有两个根 ， ， ,满足 ， , , ；
而 有三个不同的根，故函数 有9个零点，
综上，当 时，函数 有5个零点；
当 时，函数 有9个零点.
题型二：根据零点个数求参数范围
【典例2-1】（2024·广东茂名·一模）设函数 ， .
(1)当 时， 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上存在零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
所以不等式转化为 ，在 上恒成立.
令 ，
所以 .
当 时， 恒成立.
若 ，则 在 上恒成立，
在 上单调递增，故 ，符合题意；
若 ，令函数 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ，且当 时， .
所以 ， ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 ；
（2）因为 ， ，
令 ，即 ，
所以 .
令 ， ，
则 .
令 ，得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 ， 时， 单调递增.
所以当 时， 取得极小值，
即当 时， 取得极小值.
又因为 ， ，
所以 .所以 .
当 取得极大值，
即当 时， 取得极大值.
又因为 ， ，
所以 .
所以 ，
所以当 ， .
所以 .
又因为 ，
所以 时， 在 上存在零点，
所以实数 的取值范围为 .
【典例2-2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， ，其中a为整数且
.记 为 的极值点，若 存在两个不同的零点 ， ，
(1)求a的最小值；
(2)求证： ；
【解析】（1） ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
且 ， ，
由零点存在性定理知，存在唯一的 ，使得 ，即 ，
且 ， ， ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
又 ， ，
若 存在两个不同的零点，则 ，即 ， ，
由 知 ，所以整数 的最小值为3.
（2）由题意 ，即 ，
故 ，同理 .
所以 .
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线
平行于直线 ．
(1)当 时，求b的值；
(2)当 时，若 在区间 各内有一个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
所以 ．
（2）令 ，
有 ，
在区间 内各有一个零点，
也即 在区间 内各有一个零点，
则 ，
（i）当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
易知当 时， 取得最小值1，所以 ，
当 时， ，于是 在 上递增，
则 与 在 上有一个零点矛盾，舍去．
（ii）当 时，令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
即 ，使 ，且当 时， 单调递减；
当 时 单调递增，
所以 ，
，
当 时， ，
故 ，使 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，故 ，
因为当 时， ，当 时， ，
故 ，使 ，
综上， ．
所以 的取值范围为 ．
【变式2-2】（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2） ，若 在 上单调递增，不满足题意，
若 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 和 时， ，
故 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
题型三：证明函数零点的个数
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点 处的切
线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)证明：函数 有两个零点．
【解析】（1）由题意可得 ，由切线方程可知其斜率为 ，
所以 ，解得 ；
（2）由 可得 ，所以 ．
函数 有两个零点即函数 有两个零点．
，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
又 ， ， 0，
所以 ， ．
由零点存在定理可得 使得 ， 使得 ，
所以函数 有两个零点．
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)求证： 在 上有唯一的极大值点；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)求证：函数 有两个零点．
【解析】（1）因为 ，设 ，
则 对 恒成立，
所以 在 上单调递减．
又 ，
由零点存在性定理可知 在 上有唯一的零点 ，
和 随x变化而变化的情祝如下．
x
0
递增 极大值 递减
所以 在 有唯一的极大值点．
（2）令 ，
由条件知 恒成立，所以 ．
因为 ，且 在定义域上连续，
所以 是 的一个极大值点，则 ．
又 ，
所以 ，解得 ．
当 时， ，
，
当 时， ， ，故 在 上单调递增，所以当 时， ；
设 ，则 ，令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，即 .
当 时， ，
又因为 ，
所以 ．
综上可知，当 时， 恒成立．
（3） ，则 ．
由（2）可知 在 上单调递增，
又因为 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
当 时， ，所以 ，
故 在 上单调递减，又 ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
当 时，由上可知 ，
故 在 上没有零点．
综上可知，函数 有且只有两个零点．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的两个极值点分别为 ，证明： ；
(3)设 ，求证：当 时， 有且仅有2个不同的零点．
（参考数据： ）
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
．
设 ，
则函数 为二次函数，对称轴为直线 ，且 ．
令 ，则 ．
当 ，即 时， ，
故当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
当 时， ，
故当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
故当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，函数 的单调递减区
间为 ．
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
．
（2） ．
因为函数 有两个极值点 ，
所以方程 在 上有两个不同的实数解 ，
则 解得 ，
所以．
要证 ，
即证 ．
不妨设 ，
则只需证 ．
设 ，则只需证 ．
令 ．
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，得证．
（3）由 得 ，
在 上有且仅有2个不同的根，
等价于直线 与函数 的图象在 上有2个交点．
设 ，
①当 时，令 ， ，
所以 在 上单调递增．
又因为 ，
即当 时，存在 ，且 的图象连续，
所以 在 上有且仅有1个零点，即存在 ，使 ．
当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，
所以 在 上存在唯一的极小值点 ．
①当 时，又 ，
记 ，则 ，则 在 上单调递减，
所以 ，所以当 时， 恒成立，
则 ，
所以当 时，直线 与函数 的图象在 上有1个交点．
②当 时， ，
所以 在 上单调递增．
已证 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增．
又因为 ，
由①知 ，
所以当 时，直线 与函数 的图象在 上有1个交点．
③当 时， ，
设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，
所以 ，
则当 时，直线 与函数 的图象在 上无交点．综上，当 时，直线 与函数 的图象在 上有2个交点．
即当 时， 有且仅有2个不同的零点．
【变式3-2】（2024·上海闵行·二模）已知定义在 上的函数 的表达式为 ，
其所有的零点按从小到大的顺序组成数列 （ ）.
(1)求函数 在区间 上的值域；
(2)求证：函数 在区间 （ ）上有且仅有一个零点；
【解析】（1）由 ，
当 时， ，即函数 在区间 上是严格增函数，
且 ， ，
所以 在区间 上的值域为 .
（2）当 时，
①当 是偶数时， ，
函数 在区间 上是严格增函数；
②当 是奇数时， ，
函数 在区间 上是严格减函数；
且 ，故 ，
所以由零点存在定理可知，
函数 在区间 上有且仅有一个零点.
题型四：证明函数零点的性质
【典例4-1】（2024·全国·一模）已知
(1)若 ，求实数 的取值范围；(2)设 是 的两个零点（ ），求证：① ；② .
【解析】（1） ，设 ，
则 ，所以 单调递增，注意到 ，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
所以 ，
若 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（2）①由题意不妨设 ，则由（1）可知 ，且 ，
所以
，
设 ， ，
所以函数 单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
又函数 在 上面单调递减，所以 ，所以 ；
②注意到 ，
所以 ，要证 ，
只需 ，即只需 ，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
所以要证 ，只需 ，即 ，
不妨设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
综上所述，命题 得证.
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 有两个相异零点 ．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明： ．
【解析】（1）函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ．
当 时， 恒成立， 至多有一个零点，不符合题意，
当 时， ， ，即 ，使 ，
，令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，即 在 上单调递增， ，
于是 ，函数 在 上单调递增， ，因此 ，使 ，
所以实数a的取值范围为 ．
（2）由（1）知， 有两个相异的解 ，即方程 有两个相异的
解，
令函数 ，求导得 在 上单调递增，且 ，
当 时， ， 在 单调递减，当 时， ， 在 单调递增，
不妨设 ，显然 ， ，
要证 ，即证 ，即证 ．
又 ，则即证 ，令函数 ， ，
则 ，
而 ，则 ，
因此函数 在 上单调递减，即 ，则 ，
所以 ．
【变式4-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同的零点 ，证明 ．
【解析】（1）首先由 可知 的定义域是 ，从而 .
故 ，从而当 时 ，当 时 .
故 在 上递增，在 上递减，所以 具有最大值 .
所以命题等价于 ，即 .
所以 的取值范围是 .
（2）不妨设 ，由于 在 上递增，在 上递减，故一定有 .
在 的范围内定义函数 .则 ，所以 单调递增.
这表明 时 ，即 .
又因为 ，且 和 都大于 ，
故由 在 上的单调性知 ，即 .
【变式4-2】（2024·山东临沂·二模）已知函数 .
(1)当 时，求证： 存在唯一的极大值点 ，且 ；
(2)若 存在两个零点，记较小的零点为 ，t是关于x的方程 的根，证明：
.
【解析】（1）当 时， ， ，
∴ ，
易知 在 上单调递减，且 ， ，
则 ，使得当 时， ，
当 时， ，且 ，即 ，即 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 存在唯一的极大值点 ，
而 ，
∴ ．
（2）令 ，得 ，
设 ，显然 在定义域上单调递增，
而 ，则有 ，
∴ ．
依题意，方程 有两个不等的实根，
即函数 在定义域上有两个零点，
显然 ，当 时， 的定义域为 ，在 上单调递增， 最多一个零点，不合题意，
∴ ， 的定义域为 ，
∴求导，得 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
要使 有两个零点，必有 ，即 ，
此时 ，即 在 有一个零点，
，
令 ， ，
求导得 ，显然 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在 上单调递增， ，
∴ ，则函数 在 上存在唯一零点．
由 为 的两个根中较小的根，
得 ， ，
又由已知得 ，
从而 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 （ ），
当 时， ， ，则 符合题意，
当 时， ，则 在 上单调递增，
∴ 不合题意，
∴∴设 ， ．
求导，得 ，当 时，
令 ， ，
则 ， ，
∴ ， 在 上单调递增，
从而 ， ，即 ， ，
从而 ，
即 在 单调递增，则 ，
于是 ，
即 ，
即 ．
【变式4-3】（2024·高三·河南鹤壁·期中）已知函数 ，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数 在 上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数 ， ），证明： 的所有零点之和大于 ．
【解析】（1）由题设 在 上有2个变号零点，
当 时， ，即 在 上递增，不可能有2个零点；
当 时，令 ，则 ，且在 上有2个对应的 ，
所以，问题化为 与 在 上有两个交点，
对于 ，有 ，则在 上， ， 递减，
在 上， ， 递增，
又x趋向于0时， 趋向正无穷，x趋向于正无穷时， 趋向正无穷，
且 ，所以 ，故 ．
综上， ；
（2）由已知函数 ， ，其导函数 ，
设 ， ，如图画出函数 和 图象，
，使得当 时， ， 单调递增，
当 时，函数 ， 单调递减，又 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
故 ，使得 ， ，使得 ，
于是可得当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，当
时， ， 单调递减，
又 ， ，故 ，
则 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
则存在 ，使得 ，又 ，
所以函数 在区间 上无零点，
故函数在 上有两个零点 ， ，且 ，
由 可得 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，根据 ，可得 ， ，
并且函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故 的两个零点之和大于 ．
【变式4-4】（2024·四川眉山·三模）已知函数 .
(1)若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同极值点 .
①求 的取值范围；
②当 时，证明： .
【解析】（1）依题意， ，
设过点 的直线与曲线 相切时的切点为 ，斜率 ，
切线方程为 ，而点 在切线上，
则 ，即有 ，
由过点 可作曲线 两条切线，得方程 有两个不相等的实数根，
令 ，则函数 有2个零点，
求导得 ，
①若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，
又 ，
当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
②若 ， 恒成立，函数 在 上单调递增，
因此函数 最多1个零点，不合题意；
③若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，又 ，
显然当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
④若 ，显然 ，当 时， ，当 时， ，
函数在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 取得最大值 ，
要函数 有2个零点，必有 ，得 ，
当 时， ，
而函数 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为 ，
当 时，令 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
则 ， ，
而函数 在 上单调递减，值域为 ，
因此函数 在 上的值域为 ，
于是当 时，函数 有两个零点，
所以过点 可作曲线 两条切线时， 的取值范围是 .
（2）①由（1）知， ，
由函数 有两个极值点 ，得 ，即 有两个实数根 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增， 上单调递减， ，
且 ，当 时，函数 恒成立，因此当 时， 有两个实数根
所以函数 有两个极点时， 的取值范围是 .
②由 ，即 ，得 ，
要证明 ，只需证明 ，
而 ，令 ，则 ，欲证明 ，
即证明 ，只需证明 即可，
令 ，
求导得 ，
则 在 时单调递增，故 ，
则 ，令 在 时单调递增，则 ，
因此 ，即 ，
所以 .
题型五：最值函数的零点问题
【典例5-1】（2024·湖北黄冈·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【解析】（1）
当 时， ，
由 ，得 或 ，则 和 随 的变化如下表所示：
0
+ 0 - 0 + 0 -
极大 极小 极大
∴ 在 上有2个极大值： 在 上有1个极小值 ．
（2）由 ，知 ．（ⅰ）当 时， ，
∴ ，故 在 上无零点．
（ⅱ）当 时， ．
故当 时，即 时， 是 的零点；
当 时，即 时， 不是 的零点．
（ⅲ）当 时， ．故 在 的零点就是 在 的零点，
．
①当 时， ，故 时， 在 是减函数，
结合 ， 可知， 在 有一个零点，
故 在 上有1个零点．
②当 时， ，故 时， 在 是增函数，
结合 可知， 在 无零点，故 在 上无零点．
③当 时， ，使得 时， 在 是增函数；
时， 在 是减函数；
由 知， ．
当 ，即 时， 在 上无零点，故 在 上无零点．
当 ，即 时， 在 上有1个零点，故 在 上有1个零点．
综上所述， 时， 有2个零点； 时， 有1个零点； 时， 无零点
【典例5-2】（2024·四川南充·三模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【解析】（1）当 时， ， ，
由 ，得 或 ，则 和 随 的变化如下表所示：0
0 0 0
极大 极小 极大
在 上有2个极大值： ，
在 上有1个极小值： .
（2）由 ，知 .
（i）当 时， ，
，故 在 上无零点．
（ii）当 时， ， ．
故当 时，即 时， ， 是 的零点；
当 时，即 时， ， 不是 的零点.
（iii）当 时， ．
故 在 的零点就是 在 的零点，
， ．
①当 时， ，故 时， ， 在 是减函数，
结合 ， 可知， 在 有一个零点，
故 在 上有1个零点.
②当 时， ，故 时， ， 在 是增函数，
结合 可知， 在 无零点，
故 在 上无零点．
③当 时， ，使得 时， ， 在 是增函数；
时， ， 在 是减函数；
由 知， ．
当 ，即 时， 在 上无零点，
故 在 上无零点．当 ，即 时， 在 上有1个零点，
故 在 上有1个零点.
综上所述， 时， 有2个零点；
时， 有1个零点；
时， 无零点.
【变式5-1】（2024·四川南充·三模）已知函数 ， 其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，当 时，讨论函数
在 上的零点个数.
【解析】（1）当 时， ， ，
由 得： 或 ；由 得：
列表：
0 1
+ 0 0 +
极大值 极小值
∴ ； ；
（2）由 知：
（i）当 时 ，
，故 在 上无零点.
（ii）当 时， ， 知：当 时， ， ，
是 的零点；
当 时， ， ， 不是 的零点；（iii）当 时， ，故 在 的零点就是 在 的零点.
由 得： ，
设 ，则 ，
在 上单调递增，
又∵ ， ，
∴当 时， 即 在 上无零点；
当 时， 即 在 上有1个零点；
当 时， 即 在 上无零点；
综上所述： 时， 有2个零点；
或 时， 有1个零点；
时， 无零点.
【变式5-2】（2024·江西九江·二模）已知函数 ， ．
(1)若直线 与曲线 相切，求a的值；
(2)用 表示m，n中的最小值，讨论函数 的零点个数．
【解析】（1）设切点为 ，∵ ，∴
∴ （*）
消去a整理，得 ，∴
∴
（2）①当 时， ， ，∴ 在 上无零点
②当 时， ， ．
若 ， ，此时 ， 是 的一个零点，
若 ， ，此时 ， 不是 的零点③当 时， ，此时 的零点即为 的零点．
令 ，得 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，且
当 时，
（i）若 ，即 时， 在 上无零点，即 在 上无零点
（ii）若 ，即 时， 在 上有一个零点，即 在 上有一个零点
（iii）若 ，即 时， 在 上有两个零点，即 在 上有两个零点
（iv）若 ，即 时， 在 上有一个零点，即 在 上有一个零点
综上所述，当 或 时， 在 上有唯一零点；
当 或 时， 在 上有两个零点；
当 时， 在 上有三个零点
题型六：同构法妙解零点问题
【典例6-1】已知函数 ，若函数 在区间 内存在零点，求实
数 的取值范围
【解析】解：方法一：由 可得 ，
设 ， ， ，则 ，令 ， 在 单调递减，在
单调递增，
故 （1） ．
①当 时，令 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增，
（1） ，此时 在区间 内无零点；
②当 时， （1） ，此时 在区间 内有零点；
③当 时，令 ，解得 或1或 ，且 ，此时 在 单减， ， 单增， 单减， ， 单增，
当 或 时， ，此时 在区间 内有两个零点；
综合①②③知 在区间 内有零点 ．
方法二：由题意可得
，即 ，
因为 当 时等号成立，
所以 ，即 ，
，令 ， ，
易知 在 单减，在 上单增，所以 （1） ，
又 趋近于0和正无穷时， 趋近于正无穷，
所以 ．
【典例6-2】已知 ．
（1）若函数 在 上有1个零点，求实数 的取值范围．
（2）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
【解析】解：（1） ， ， ，
所以 ，
当 时， ，所以 在 ， 单调递增，
又因为 ，所以 在 ， 上无零点；
当 时， ，使得 ，
所以 在 ， 单调递减，在 单调递增，
又因为 ， ，
所以若 ，即 时， 在 ， 上无零点，若 ，即 时， 在 ， 上有一个零点，
当 时， ， 在 ， 上单调递减， 在 ， 上无零点，
综上当 时， 在 ， 上有一个零点；
（2）由 ，
即 ，即 ，
则有 ，
令 ， ，则 ，
，所以函数 在 上递增，
所以 ，则有 ，即 ， ，
因为关于 的方程 有两个不同的实数解，
则方程 ， 有两个不同的实数解，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 （1） ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ．
【变式6-1】已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若函数 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ， ， ，
显然 在 单调递增，且 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
在 处取得极小值 ，无极大值．
（2）函数 有两个零点，即 有两个解，即 有两个解，设 ，则 ， 单调递增，
有两个解，即 有两个解．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
， ，当 时 ，
．
【变式6-2】（2024·上海嘉定·一模）已知 ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线 有唯一交点；
(3)对于常数 ，若直线 和曲线 共有三个不同交点 ，其
中 ，求证： 成等比数列．
【解析】（1）由题意可知： 的定义域为 ， 的定义域为 ，
，
当 时，得 ，此时函数 单调递增，
当 时，得 ，此时函数 单调递减，
因此函数 极大值为 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，得 ，此时函数 单调递增，
当 时，得 ，此时函数 单调递减，
因此函数 极大值为 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以函数 极大值为 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
函数 极大值为 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）设 ，
设 ，
设 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
设 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
因此有 ，当 时取等号，
于是有 ，
因此 单调递减，而 ，
根据函数零点存在原理，当 时，函数 在 内有唯一零点，
因此 有唯一实根，因此曲线 有唯一交点.
（3）由（1）可知两个函数的最大值均为 ，
且函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
由（2）可知曲线 有唯一交点，且交点在 内，
因为直线 和曲线 共有三个不同交点 ，其中 ，
因此两条曲线必过两个曲线的交点，
所以有 ，
因此有 ，因为 ， ， 在 上单调递增，
所以有 ，
同理 ， ，而函数 在 单调递减，
所以有 ，而 ，所以 ，
因此 成等比数列.
【变式6-3】（2024·四川·三模）已知函数 和函数 ，且 有最大值为 ．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线 和 恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 ， ， ，且
，证明： ．
【解析】（1） 的定义域为R，且 ， ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以a＝1.
（2）证明：由（1）可知： 在 递增，在 递减，
又 ，所以 在 递增，在 递减，
和 的图象如图所示：
设 和 的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，
直线y＝m与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
则 ，且， ， ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，且 在 递增，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，且 在 递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
【变式6-4】（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，
②证明： ．
【解析】（1）由题意得 ，
当 时， ，所以 和 在 上都单调递增，符合题意；
当 时，若 和 在 上的单调区间相同，
则 和 有相同的极值点，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
所以 无解，
综上，当 时， 和 在 上的单调区间相同；
（2）①由题意， 有两个零点， ，
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，不符合题意，若 ，则当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，得证；
②令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
在同一坐标平面内作出函数 与函数 的图象，
它们有公共点 ，如图，
故 ，且有 ，
由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
故 .题型七：零点差问题
【典例7-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r是 的根，首先选取 作为r的初始近似值，若 在点
处的切线与 轴相交于点 ，称 是r的一次近似值；用 替代 重复上面的过程，得到 ，称 是
r的二次近似值；一直重复，可得到一列数： ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
近似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 ．
(1)若 ，当 时，求方程 的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 在点
处的切线，并证明： ；
(3)若 ，若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明： ．
【解析】（1） ，
当 时， ， 在点 处的切线方程为 ，与 轴的交点横坐标为 ，
所以 ， ， 在点 处的切线方程为 ，与 轴的交点为 ，
所以方程 的二次近似值为 ．
（2）由题可知， ， ， ，
所以 在 处的切线为 ，即 ；
设 ，
则 ，显然 单调递减，令 ，解得 ，
所以当 时， ，则 在 单调递增，
当 时， ，则 在 单调递减，
所以 ，所以 ，即 ．
（3）由 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，也是 的最大值点，即 ，
又 时， ， 时， ，
所以当方程 有两个根时，必满足 ；
曲线 过点 和点 的割线方程为 ，
下面证明 ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增， ；
在 上 单调递减， ，
所以当 时， ，即 （当且仅当 或 时取等号），
由于 ，所以 ，解得 ；①
下面证明当 时， ，
设 ，因为 ，
所以当 时， （当且仅当 时取等号），
由于 所以 ，解得 ，②
① ②，得 ．
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知 ，函数 的图象在点 处的切线
方程为 .
(1)求a，b的值;(2)若方程 （e为自然对数的底数）有两个实数根 ，且 ，证明：
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由题意知 ，所以 ，
联立方程组 ，解得 .
（2）由（1）可知 ， ，
，设 ，
，
所以 即 在 上单调递增.
又 ，所以存在 ，使得 ，
且 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
设 ，令 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，即 ，当且仅当 时，等号成立.
因为方程 有两个实数根 ，且 ，
也就是 ，且注意到 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 .
设 的根为： ，则 ，又 在 上单调递增，所以 ，
故 ①.
易知 的图象在坐标原点处的切线方程为 ，
令 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，当且仅当 时，等号成立.
因为 ，所以 ，即 .
设 的根为 ，则 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
从而 ②.
由①②可知： .
【变式7-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的两个相异零点，求证： ．
【解析】（1）令 ，则 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．所以 ，所以 ．
（2）易知函数 的定义域是 ．
由 ，可得 ．
令 得 ；令 得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
①当 ，即 时， 至多有1个零点，故不满足题意．
②当 ，即 时， ．
因为 在 上单调递增，且 ．所以 ，
所以 在 上有且只有1个零点，不妨记为 ，且 ．
由（1）知 ，所以 ．
因为 在 上单调递减， ，
所以 在 上有且只有1个零点，记为 ，且 ．
所以 ，所以 ．
同理，若记
则有 ，
综上所述， ．
【变式7-3】（2024·河南信阳·三模）已知函数(1)若 恒成立，求a的值；
(2)若 有两个不同的零点 ，且 ，求a的取值范围.
【解析】（1） ，
①当 时， ，不符合题意.
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ；
若 恒成立，则 ，
设 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减，
所以 ，即 的解为 .
所以 .
（2）当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以 至多有一个零点，不符合题意；
当 时，因为 ，不妨设 ，
若 ，则 ，不符合题意；
若 ，则 ，
由（2）可知，只需 ，即 ，解得 ，
即a的取值范围为 .
【变式7-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若 存在两个不同的零点 ， ，且 .（i）证明： ；
（ii）证明： .
【解析】（1）由题 的定义域为 ， ，
①若 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
②若 ，令 ，得 ， .
当 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递增.
（2）（i）由题意知 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
因为函数 存在两个不同的零点，故 ，即 .
（ii）下面找出两个点 ， ，使得 ， ,
注意到 ，且 ，于是考虑找点 ， ，下面我们证明： ， ，
① ，设 ，下证 ，
方法1：设 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，得 ，
所以 在 上单调递增，
故 ，即 ，
因此 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
因此 ，又 ，故 ，即 ，
又 ，所以 .
方法2：易知 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，得 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
又 ，从而 ，即 ，
又 ，所以 .
② ，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，且 ，因此 ，
又 ，所以 ，即 ，
于是 .
题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题
【典例8-1】（2024·天津·模拟预测）已知函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求证： ；
(3)函数 有且只有两个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以曲线 在 处的切线斜率为 ，
又 ，所以切线方程为 .
（2）记 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 ，即 .
（3） ，
由题知， 有且只有两个不相等实数根，
即 有且只有两个不相等实数根，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，又 ，所以可得 的图象如图：
由图可知，当 时，函数 的图象与直线 有两个交点，
所以，a的取值范围为 .
【典例8-2】（2024·广东广州·二模）已知函数 ．
讨论 的零点个数；
【解析】因为 ，
当 时， ，此时 有一个零点；
当 时， ，所以 不是函数 的零点，
令 ，
故只需讨论 与 的交点个数即可，
，
因为 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
， 且 时， ， 且 时， ，
所以 的大致图象如图所示：故当 与 有一个交点，
当 时， 与 有2个交点；
综上， 时，函数 有1个零点，当 时，函数 有2个零点．
【变式8-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，判断 的零点个数.
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，则 ，
所以， 在 上单调递减.
当 时，记 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增.
综上， 的减区间为 ，增区间为 .
（2）当 时， ，则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ， 在 上无零点.
当 时，因为 ，
所以 ，此时 无零点.
当 时，记 ，则 ，
因为当 趋近于0时， 趋近于0，所以 的变化越来越慢，图象下凹，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 和 的图象如图，由图可知，当 时，两个函数图象有一个交点，即 有一个零点.
易知 是 的一个零点.
综上，函数 共有2个零点.
【变式8-2】已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恰有三个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时，函数 ，可得 ，
所以 ，且 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，
可得 是 的一个零点，
因为 恰有三个零点，所以方程 有两个不为2实数根，
即方程 有两个不为2实数根，
令 ，所以 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以，当 时，函数取得极大值，也是最大值 ，
且当 时， ，
所以，当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ，
所以 ，且 ，所以 且 ．所以a的取值范围是 ．
【变式8-3】（2024·湖北·模拟预测）函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)讨论函数 的零点个数．
【解析】（1）当 时， ，所以 ，令 得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
从而 ，不等式得证．
（2）令 ，则 ， ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
又 ，当 时， ；当 时， ．
从而当 时， 无零点；当 或 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
【变式8-4】（2024·广西河池·模拟预测）已知函数 ，定义域为 .
(1)讨论 的单调性；
(2)求当函数 有且只有一个零点时， 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
（ⅰ）当 ，即 时，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增；
（ⅱ）当 ，即 或 时，可知 有两个不相等的根 ，
不妨令 ，可知 ，
①若 ，因为 ，可知 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增；②若 ，因为 ，可知 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增；
综上所述：当 时， 在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递减，在 内单
调递增.
（2）若 ，可知 在 内无零点，不合题意，可知
令 ，整理得 ，
构建 ，
原题意等价于 与 的图象有且仅有一个交点，
因为 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，即 在 内恒成立，
可知 在 内单调递减，
且当 趋近于0时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于0且 ；
的大致图象如图所示，可得 ，即 ，所以 的取值范围为 .
题型九：零点问题之取点技巧
【典例9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有两个不同的零点．
【解析】（1）由 ，得 ．
当 时， ，函数 单调递增．
当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
综上，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）证明：由 得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，
因为 ，所以 ，下面证明 在区间 上与 上分别存在一个零点，
因为 ，
所以在区间 上存在唯一零点 ，且 ．
因为 ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 在区间 上存在唯一零点 ，且 ，
所以当 时，函数 有两个不同的零点．
【典例9-2】（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；
当 时，令 ，即 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ．
（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
所以 在 上没有零点，
又 ，则 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点．
【变式9-1】（2024·陕西铜川·三模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 存在零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，所以 .
这得到 ， ，所以所求切线是经过 且斜率为 的直线.
故所求切线方程为 ，即 .
（2）设 ，则 ，所以当 时 ，当 时 .
从而 在 上递增，在 上递减，故 ，这得到 .
若 ，则 ，从而 取值恒为负，故没有零点，不满
足条件；
若 ，则有 ，
及 .
从而由零点存在定理可知 存在零点，满足条件.
综上， 的取值范围是 .
【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， R），所以 ，
令 ，则 ，
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以 ，所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 上仅有两个零点，
易知 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
因为 在 上有两个零点，所以 ，所以 .
因为 ，
令 ，则 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 和 内各有一个零点，
即当 时， 在 上仅有两个零点.
综上，实数 的取值范围是 .
题型十：零点与切线问题的综合应用
【典例10-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 .
(1)判断 的零点个数；
(2)求曲线 与曲线 公切线的条数.
【解析】（1）由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，故 的零点个数为 .
（2）因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为：
，即 ，
曲线 在点 处的切线方程为： ，
即 ，
令 ，可得 ，
消去 ，整理得 ，
令 ，可得 ，等价于 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 上有唯一的零点 ，
由 ，得 ，所以曲线 与曲线 有且仅有一条公切线.
【典例10-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明：对任意 ，存在唯一实数 ，使得
【解析】（1）因为 ，
可得 ，
①当 时， ，令 ，则 ；令 ，则 ．
即 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
②当 时， ，则 的单调递增区间为 ；
③当 时，则 ，令 ，则 或 ；令 ，则 ．
即 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；④当 时，则 ，令 ，则 或 ；
令 ，则 ，即 的递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
综上可知，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2）令 ，
因为 ，则 在 上单调递减，
其中，
，
即 ，
令 ，可得 ，
则 在 上单调递增；在 上单调递减，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
同理可得 ，
由 （ 时等号成立）得， ，即 ，（ 时等号成立），
又因为 ，所以 恒成立，因为 ，所以 ，
由零点存在性定理可得，
对任意 ，存在唯一实数 ，使得 成立．
【变式10-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，直线 为曲线
与 的一条公切线.
(1)求 ；
(2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于 三
点，其中 ，且 成等差数列，证明：满足条件的 有且只有一个.
【解析】（1）设 与 相切于点 ，而 ，
则 ，即 ， ，则切点为 ， ，即 ；
设 与 相切于点 ，而 ，
，即 ，则切点为 ， ， ，
所以 ， .
（2）依题意， ，则 ， ， ，
由 成等差数列，得 ，即 ， ，
令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，显然函数 在 上单调递增，
， ， 则 ，使得 ，即 ，
当 时， ；当 时， ， 在 上递减，在 上递增，
，
由 ，得 ，则 ，即 ，函数 在 上单调递增，
， ，因此 在 上存在唯一零点，
所以满足条件的 有且只有一个.
【变式10-2】（2024·四川泸州·三模）设函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；(2)若总存在两条直线和曲线 与 都相切，求 的取值范围.
【解析】（1） ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）∵
∴ 在 处的切线方程为 ，
∵ ，
∴ 在点 处的切线方程为 ，
由题意得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，且当 时， ，
所以 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
若总存在两条直线和曲线 与 都相切，
则曲线 与 轴有两个不同的交点，
则 ，所以 ，
此时 ，而 ，
故 ，
所以 的取值范围为 .
【变式10-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知函数 .(1)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)已知 ， ， （其中 且 ， ， 成等比数列）是曲线 上
三个不同的点，判断直线AC与曲线 在点B处的切线能否平行？请说明理由.
【解析】（1）令 ，由题设知方程 有两个实数根，
因为 ,由 ，得 ，
所以，
x
0
极小值
单调递减 单调递增
当 及 时， ，且 ，
当 时 ， 且 时 ，
所以当 时， 与 有两个不同的交点，
即 有两个不同的零点.
（2）因为 且 ， ， 成等比数列，设公比为 ，
则 ， ，
直线AC的斜率 ，
函数 在点B处的切线斜率 ，
假设直线AC与函数 在点B处的切线平行，则 ，整理成 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 在 时无实数解，所以直线AC与函数 在点B处的切线不能平行.1．（2024·福建宁德·三模）已知函数 的图象在 处的切线过点 .
(1)求 在 上的最小值;
(2)判断 在 内零点的个数，并说明理由.
【解析】（1）法一： ，
又 ，所以切线方程为 ，
又切线过点 ，
得 ，所以 .
所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 的最小值为 .
法二: ，
所以切线方程为 ，
因此切点为 ，
得 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ；
（2）法一：判断 在 内零点的个数，等价于判断方程 根的个数，
等价于判断方程 根的个数.
令
，令 ，则 ，得 .当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减. ，
（或 ）
所以 时，方程 有2根，
所以 在 有2个零点.
法二：由（1）得 ，
令 ，则 在 上为减函数
，
所以在 上 必有一个零点 ，使得 ，
从而当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减..
又 ，
所以在 上 必有一个零点 ，使得 .
当 时， ，即 ，此时 单调递增;
当 时， ，即 ，此时 单调递减..
又因为 ，
所以 在 上有一个零点，在 上有一个零点，
综上， 在 有2个零点.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)求 在区间 上的零点个数．
【解析】（1）设 ，则 ．
设 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
又因为当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， ．
（2） ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以由零点存在定理知 在 上有且仅有一个零点．
当 时，令 ，则 ，
当 时，有 ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以存在 使得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时 ，故 在 上无零点，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 在 上有且仅有一个零点．综上所述： 在 上有且只有2个零点．
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.
【解析】（1） 定义域为 ，
当 时， ， ，
由于 ，
令 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ，故 ；
（2）当 时， ，
，
设 ，则 ，
令 ，
，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，即 ，
即 ，故 ，所以 ，则 在 恒成立，
当 时，同理可得 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值， ，
故 ，所以 的最大值为 ；
（3） ，令 ，
当 时， ，由于 恒成立，故无解，舍去；
当 时， ，
令 ， ，
，
下面证明 , ，
令 ， ，则 ， ，其中 ，
令 ， ，则 ， ，其中 ，
令 ， ，则 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
故 ，故 在 上单调递增，
故 ，故 在 上单调递增，
故 ，即 , ，
则 ， ，则 ，
，
由于 ，而 ，故 ，
则 ，故 在 上单调递增，
又 趋向于0时， 趋向于2，故 ，
故令 ，解得 ，此时 有解，故存在零点，
故 的取值范围是 .
4．（2024·安徽·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，试比较 与 的大小关系.
【解析】（1）当 ，所以 ，
又 ，所以切线方程为 ，即 .
（2）函数 有2个零点等价于方程 有两个根，
即 有两个根，
令 ，则 ，令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以要使得 有两个根，则 ，即 ，
所以 .
5．（2024·陕西商洛·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若函数 和 的图象在 上有交点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ．
令 ，得
①当 时， ， 在 上单调递减；
②当 时，列表如下：
0
极大
值
所以 在 上递增， 在 上递减；
③当 时，列表如下
0
极大
值
所以 在 上递增， 在 上递.
综上，当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递增， 在 上递减；当
时， 在 上递增， 在 上递减.
（2）当 时，设函数 和 的图象在 有交点，
等价于函数 和 的图象在 上有交点，
即函数 和 的图象在 上有交点，
等价于 的图象在 有零点，
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
，由（1）知
当 时， 在 为增函数， 在 上有零点，则
或 ， ；
当 时， 在 递增，在 递减，
，
即 ，
综合得：实数 的取值范围为 .
6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数 有两个零点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)如果 ，求此时 的取值范围.
【解析】（1）令 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，且 时 ，当 时 ，
又 与 有两个交点，所以 .
（2）由（1）可得 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
令 ， ，则 ，
所以 ， ，
记 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上 ，即 单调递减，
由于 ，
所以当 时， ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
故 ，即 ，
而 ， 在区间 上单调递增，
故 且 ，
即 ．
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
(2)若 有两个零点，证明：两个零点之和大于4．
【解析】（1）由题可得，函数 的定义域为 ．
由 得 ．
令 ，则 ．
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时， 取得极小值，也是最小值，最小值为 ．设 ，
所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ，所以 ，
所以作出 的大致图象，如图．
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象无交点，
函数 的零点个数为0；
当 时，直线 与函 数 的图象有1个交点，
函数 的零点个数为1；
当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，
函数 的零点个数为2．
（2）设 的两个零点分别为 ，
由（1）知 ，
不妨令 ，则 ，且 ．
要证明两个零点之和大于4，即 ，只需证 ，
又 ，且 在 上单调递增，故只需证 ，即 ．
令 ，
则
， ， ，
在 上恒成立，
在 上单调递减，
当 时， ，
即 成立，
，得证.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)讨论函数 和 的图象在 上的交点个数．
【解析】（1）当 时， ， ．
令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，则当 时， 取得最小值， ，
所以当 时， 取得最小值1.
（2）由 ，得 ，两边同时取自然对数得 ，显然 ，则 ，
于是函数 和 的图象在 上的交点个数，即方程 的解的个数，
令 ，求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
因此 是 的极大值点， ，
当 时， 单调递增，函数 的取值集合为 ，
当 时，直线 与函数 的图象仅只一个公共点，方程 有一个解，
当 时， 恒成立， 在 上递增，函数值集合为 ，在 上递减，函数值集合为，
因此当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，方程 有两个解，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象仅只一个公共点，方程 有一个解，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象无公共点，方程 没有实数解，
综上，当 或 时，函数 和 的图象在 上的交点个数是1；
当 时，函数 和 的图象在 上的交点个数是0；
当 时，函数 和 的图象在 上的交点个数是2.
9．（2024·全国·模拟预测）当 时，总有不等式 成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设方程 ，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论．
【解析】（1）设 ，则 ．
当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
由题意得 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
综上， ，所以 ；
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减，且 ，
当 时， ，不符合题意，所以 舍去．综上所述，实数 ．
（2）由题意得， ，
令 ．
因为 ，所以 是方程 的一个实根．
又 ，
①当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减， ，
即 在 上无实根；
②当 时，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 在 上有唯一实数根 ，且满足 ，
当 时， 在 上单调递减，
此时 ，方程 在 上无实根；
当 时， 在 上单调递增，
因为 ，可得 ，
此时
，
，
故方程 在 上有唯一实根；
③当 时，由（1）知， 在 上单调递增，
所以 ，故 ，
即方程 在 上无实根．
综上所述，方程 有且仅有两个实根．
10．（2024·青海海南·一模）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若函数 的两个零点分别是 且 ，证明： ．
【解析】（1）由题意 ，
设 ，则 ，显然当 时， ， 在 上是增函数，即
在 上是增函数，
由 得 ，当 时， ， 在 递减， 时，
， 在 递增，
要使函数 在 上单调递增，则 ，所以 ；
（2）由（1）知 ，
设 ，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递减，故
故 恒成立，
即 时， 恒成立，
所以 有两个零点分别是 且 ， ，
由 恒成立，可得 ，故 ，
，，
又 ，
，
所以 ，
故 ，
因此 ，得证
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
【解析】（1）依题意， ，故 ，
而 ，故所求切线方程为 ，即 ．
（2）令 ，故 ，
令 ，
，令 ，
．
①当 时， ，
在 上为减函数，即 在 上为减函数，
又 ，在 上有唯一的零点，设为 ，即 ．
在 上为增函数，在 上为减函数．
又
，
在 上有且只有一个零点，在 上无零点；
②当 时， 单调递减，
又 ，
在 内恰有一零点；
③当 时， 为增函数，
，
单调递增，又 ，所以存在唯一 ，
当 时， 递减；当 时， 递增，
，
在 内无零点．综上所述，曲线 与曲线 的交点个数为2．
12．已知函数 ．
(1)若 恰有两个零点，求a的取值范围；
(2)若 的两个零点分别为 （ ），求证： ．
【解析】（1）令 ，其定义域为 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
因为当 时， ，当 时， ，
且 ，
又 恰有两个零点，即 有两个根，
故函数 与 有两个交点，
所以 ，故a的取值范围为 .
（2）因为 的两个零点分别为 （ ），
所以 ， ，
所以 ， ，故 ，
所以 ，
所以要证 成立，只需证明 ，
即证 ，即证 ，令 ，即证明 ，
令 ，又 ，
，
由于 ，令 ，
所以 ，
而 ，其对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
于是 在 上恒成立，
因此 在 上单调递增，
所以 ，
所以原命题得证.
13．（2024·江西赣州·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)已如 .若函数 有唯一的零点 .证明， .
【解析】（1） ，令 ，
当 时， 即 为增函数，
又
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
的减区间为 ，增区间为
（2）由（1）可知 在 单调递增，且 ，
又
存在唯一的 使得
当 时 单调递减；当 时 单调递增；
若方程 有唯一的实数 ，则
消去 可得 ，
令 ，
则 ， 在 上为减函数
且
当 时 ，即
14．（2024·广西·模拟预测）已知函数 有三个零点， .
(1)求 的取值范围；
(2)记三个零点为 ，且 ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，令 ，解得： 或1，
且 时， ， ， ， ， ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
当 时，函数 取极大值，当 时，函数 取极小值，
又 ， ，
因为函数有三个零点，且 ， ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围为 .
（2）由（1）可知 ，
设 ， ， ，
所以函数 单调递增，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，
设 ， ，
所以函数 单调递增，
所以 即 ，
即 ，
所以 ， ，
又 ，所以 .
15．（2024·四川南充·一模）设函数 (e为自然对数的底数)，函数 与函数 的图象关于直
线 对称.
(1)设函数 ，若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)证明： 与 有且仅有两条公切线，且 图象上两切点横坐标互为相反数.
【解析】（1）由已知 ，
时， 恒成立，
即 恒成立，整理得
，
令
令 ，得 ，此时 单调递增，令 ，得 ，此时 单调递减，
，
，
得 ；
（2） 函数 与函数 的图象关于直线 对称，
，
假设 与 有公切线，明显斜率存在，
设公切线的方程为 ，与 的切点为 ，与 的切点为
又 ，
，消去 得 ，
当 时， 明显不成立，
整理可得
对于函数 ，有 ，其为奇函数，
且函数 也为奇函数，
故方程 若有根，其根必为成对的相反数，
下面研究方程 的根的情况，即函数 的零点情况，
可得 ，令 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
，
又 时， ， 时， ，，使 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
，
又 ，
由零点存在定理得函数 在区间 和 各有一个零点，
即函数 有两个零点，即方程 有两个根，
综上所述 与 有且仅有两条公切线，且 图象上两切点横坐标互为相反数.
16．（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题可得
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由 得，，即 ，即
令 ，不妨设 ，则 ，
记
所以 ，所以 在 上是增函数，所以 ，
所以方程 无解，则满足条件的两点 不存在.
17．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象在 处的切线方程为 .
(1)求 的解析式；
(2)若过点 可作 图象的三条切线，证明： .
【解析】（1）因为 ， ， ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）设切点为 ，则切线方程为： ，
因切线经过点 ，故有 ，即 .
令 ，依题知 有3个零点.
，令 得 ，
①当 时， 时， ， 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 至多有两个零点，不合题意；
②当 时， 或 时， ， 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
因 ，由 有3个零点可知： ，故得： ，即 .18．已知函数 最小值为
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，过点 可以作曲线 的三条切线． 证明：
【解析】（1）函数的定义域为 .
因为 .
由 .
若 ，则 在 上恒成立，即 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 在 上无最小值；
若 ，所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以函数 的最小值为： ，
由 .
（2）设过点 的直线与曲线 相切，切点为： .
因为： .
所以函数 的切线方程为： ，
因为切线过点 ，所以： .
设 ，问题转化为 在 有三个解.
，
由 （因为 ）.
所以 在 上递减，在 上递增，在 上递减.
所以函数 的极小值为： ；极大值： .
由 ，所以 （ ）由 ，所以 .
只需证当 时， （ ）.
设 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，且 ，所以 .
所以 ，即 .
所以 .
19．已知函数 .
(1)当 时，不用计算器，用切线“以直代曲”，求 的近似值（精确到四位小数）.
(2)讨论函数 的零点个数.
【解析】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
因此函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ，
函数 中，当 时， ，
所以 的近似值为 .
（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， 恒成立，即函数 在 上单调递减，显然 ，
当 时， ，则 ， ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
于是 ，即 ，则 ，从而 ，
显然函数 在 上单调递减，取 ， ，
则当 时， ，
因此函数 在 上有唯一零点；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
①当 时， 只有一个零点；
②当 时， ，函数 没有零点；
③当 时， ，
，因此 在 上有一个零点，
设 ，
则 ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增， ，
则 ，因此函数 在 上有一个零点，从而 有两个零点，
所以当 或 时， 有一个零点；当 时， 有两个零点；当 时， 没有零点.
20．（2024·湖北·模拟预测）函数 .
(1)求函数 在 的值域；
(2)记 分别是 的导函数，记 表示实数 的最大值，记函数
，讨论函数 的零点个数.
【解析】（1）（1） ，则 ，当 时， 单调递减，当
时， 单调递增， .
则 在 的值域为 .
（2）（2）当 时， ，故 ，
则 在 上没有零点.
当 时， ，
故若 有零点的话，也只能由 产生零点.下面讨论
在 上的零点个数.
设 ，
因为 ，又 在 上单调递减，故当 时，
所以 单调递减，由 得：当 时， 单调递增
当 时， 单调递减
当 时， ，故 ，当 时， ，故 在
上必有唯一零点.又
当 时，函数 有1个零点
当 时，函数 有2个零点
当 时，函数 有3个零点
综上所述：当 时，函数 有1个零点；
当 时，函数 有2个零点；
当 时，函数 有3个零点
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
（1）若函数 的极值点恰有 个，求实数 的取值范围；
（2）记 若函数 ，试讨论函数 的零点个数．
【解析】（1） ，
当 时、 ， 在 上单调递增，
在 上无极值点，不符合题意；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
是函数 的 个极值点，符合题意；综上所述：实数 的取值范围为 .
（2）由题意知：函数 的定义域为 ．
当 时， ，则 ， 在区间 上无零点
当 时， ， ，
当 ，即 时， ， 不是函数 的一个零点；
当 ，即 时， ， 是函数 的一个零点．
当 时， ， 只需考虑函数 在区间 上的零点情况，
当 时， ，
①当 时， ，则 在区间 上单调递增，
又 ，
当 时， ， 在区间 上无零点；
当 时， ，
，
在区间 上有唯一的零点，即 在区间 上有唯一的零点．
②当 时，令 ，解得： （ 舍去），
由 得： ，由 得： ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，又 ，
在区间 上有唯一的零点，即 在区间 上有唯一的零点．
综上所述：当 时，函数 的零点个数为 ；当 时，函数 的零点个数为 ；当
时，函数 的零点个数为 ．
22．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 （ ）， ．
(1)若 ， 的导数分别为 ， ，且 ，求a的取值范围；
(2)用 表示a，b中的最小值，设 ，若 ，判断 的零点个数．【解析】（1）
因为 （ ），所以 ，由 得 ，
因为 ，所以 ，
所以问题转化为 时 恒成立，即 时 恒成立，
设 （ ），则 ， 时 ， 单调递减， 时
， 单调递增，
所以 ，
所以 ，即a的取值范围是 ．
（2）因为 ，设 ，则 ，
（ⅰ）若 ，
时 ， 单调递增，
时 ， 单调递减，
所以 ，
所以 时 ， ， ， 没有零点，
（ⅱ）若 ，
由（1）知 ，
当 时， ， 在 上单调递增，且 ，所以 ，
当 时， 单调递增，且 ， ，
存在唯一 使得 ，则 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
且 ， ，
所以存在唯一 使得 ， ，
综上， 时 没有零点， 时 有2个零点．
