文档内容
5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 概念辨析
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． 与 的方向相反 D．若 ，则
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D． ， ， 均为非零向量，若 ，则2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若 为单位向量，且 ，则
B．若 ， ，则
C．
D．若平面内有四点 ，则必有
考点二 共线定理
【例2-1】（2022·河南·平顶山市）已知向量 ， 不共线，且向量 与 平行，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·山东潍坊·三模）已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ，
， ，则 ， ， 三点共线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．【一隅三反】
1（2022·内蒙古）已知向量 ， 是两个不共线的向量， 与 共线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022·山东泰安）已知向量 ， 不共线，向量 ， ，若O，A，B三点共线，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）①若 ，则 与 ， 共面；
② 与 ， 共面，则 ；
③若 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若 ， ， ， 四点共面，则 .
则以上结论中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三 平面向量的基本定理
【例3-1】（2022·河南·平顶山市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且
，则 （ ）
A． B． C． D．【例3-2】（2022·青海·海东市）已知在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在 中，D为三角形所在平面内一点，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·吉林市）如图， 中， ， ，点E是 的三等分点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·合肥市第八中学）在平行四边形ABCD中， ，G为EF的中点，则
（ ）
A． B．C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中， 分别是 的中点， 交 于点 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南郑州）在 中， 是 上一点， ， 是线段 上一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ， 的面
积之比为______．
6．（2022·全国·高三专题练习）若点 是 的重心，点 、 分别在 、 上，且满足
，其中 ．若 ，则 与 的面积之比为_______．
考点四 数量积
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知 中， ， ，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·北京·人大附中三模）在 中， ，点 是 的中点，则 （ ）
A． B．7 C． D．
2．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知 均为单位向量，且满足 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏苏州）在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，且满足
， 交 于F，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点五 取值范围
【例5-1】（2022·全国·高三阶段练习）在 ABC中，点D在线段BC的延长线上，且 ，点O
△
在线段CD上（与点C，D不重合）．若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【例5-2】．（2022·黑龙江·大庆实验中学）如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过
点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽阜阳）点M在边长为2的正三角形 内（包括边界），满足 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则
的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B．[12，16]
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形 是 边上的
一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点六 平面向量与其他知识综合运用
【例6-1】（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点（不包含端点），若
，则 的最小值是________.
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知P是 的外心，且 ，则cosC=
（ ）
A．- B．- C． 或- D． 或-
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的点，且 ，，D，E是线段 上的两个动点，且 ，则 的的最小值是
（ ）
A．4 B． C． D．2
2．（2022·全国·高三专题练习）集合 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 、
在过点 的直线上，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 为常数 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 、 的值可以为 ，
4．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知点 不共线， 为实数， ，则“
”是“点 在 内（不含边界）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
