文档内容
8.10 零点定理（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 零点的求解
【例1】（2022·广东）函数 的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【解析】令 ，即 ，所以 ，因此x＝10，所以函数
的零点为10，故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·广西）若 是函数 的一个零点，则 的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【答案】A
【解析】因为 是函数 的一个零点，所以 ，解得 ．设
另一个零点为 ，则 ，解得 ，所以 的另一个零点为1．故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 为等比数列，若 ， 为函数 的两个零
点，则 （ ）A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【解析】因为 ， 为函数 的两个零点，
所以 ，所以 或
所以，当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以， .故选：B
3．（2022·贵州）函数 的零点为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】令 ，即 ，解得 ，所以函数 的零点为 ；故选：D
4．（2022·云南）函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4
【答案】C
【解析】由f（x）＝x2﹣4x+4＝0得，x＝2，所以函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是2，故选：C．
考点二 零点区间
【例2】（2022高三上·安徽期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 为 上的递增函数，，
，
，
，
则函数 的零点所在的区间为 。故答案为：B
【一隅三反】
1．（2022高三上·青岛期中）方程 的实数根所在的区间为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ， ，
，所以 是方程 的实数根所在一个区间.又
在 上单调递增，故方程 有唯一零点.
故答案为：A.
2．（2022·大连模拟）函数 ，在下列区间中，包含函数 零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为函数f(x)单调递增，且因为 ， ，所以
，由零点存在性定理可得：包含函数 零点的区间为 .
故答案为：C
3．（2021高三上·河南期中）下列区间一定包含函数 的零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
， ，
， 所以区间 一定包含 的零点．故答案为：C.
考点三 零点的个数
【例3-1】（2022·吕梁模拟）函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题设， 且 定义域为 ，
所以在 上 ，在 上 ，即 在 上递减，在 上递增，所以 的极小值为 ，又因为 ， ，
则函数 在 、 上各有一个零点，共有2个零点。
故答案为：B
【例3-2】（2022·延庆模拟）已知函数 ，且 ，则 的零点个数为（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由 ，
可得 或 ，又因为 ，则 ，或 ，或 ，
则 的零点个数为3。故答案为：C
【例3-3】（2021·西安模拟）函数 在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】 ，在 范围内 ，函数为单调递增函数．又
， ， ，故 在区间 存在零点，又因为函数为单
调函数，故零点只有一个。 故答案为：B
【一隅三反】
1．（2021·云南模拟）函数 在 上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B【解析】由 ，得 ，作出函数 在 上的图象如图所示，
因为 ，
所以由图可知直线 与图象有3个交点，从而 在 上有3个零点.
故答案为：B
2．（2022·安徽宣城 ）函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ；
在同一直角坐标系内画出函数 和 的图象，
又 ， ；
所以函数 和 恰有3个交点，即函数 有3个零点，
故选：C.3（2022·重庆·三模）已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】当 时，由 可得 ，解得 （舍去）；
当 时，由 可得 ，即 或 ，解得 或 .
综上所述，函数 的零点个数为 .
故选：C.
4．（2022·全国·课时练习）函数 在区间 上的零点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数 在 上零点的个数即方程 在 上解的个数，
方程 化简可得 ，
所以方程方程 的解的个数为函数 与函数 的图象交点的个数，其中 ，
在同一坐标系中作出函数 与函数 的图象如图所示，
由图可知在区间 上，两函数图象有4个交点，
故函数 在区间 上的零点个数为4，
故选：C．考点四 求参数
【例4-1】（2022·昌平模拟）若函数 有且仅有两个零点，则实数 的一个取值为
.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】令 ，当 时，由 得 ，即 为函数 的一个零点，
故当 时， 有一解，得
故答案为： （答案不唯一）
{ lnx，x>0，
【例4-2】（2022高三上·西宁期末）已知函数f(x)=
若函数
−x2−4x−3，x≤0
有6个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，作出函数 的大致图象，如图所示，则函数 有6个零点等价于 在 上有两个不同的实数根，
m2−4>0
{
g(−3)=9−3m+1≥0，
则 g(1)=1+m+1>0， 解得 .故答案为：D.
m
−3<− <1，
2
【一隅三反】
1．（2021·江苏）若方程 ，且 有两个不同实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，方程 有两个不同实数根，
等价于函数 与 的图象有两个不同的交点，
当 时，如图所示，由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个不同的交点，满足题意
当 时，如图所示
由图可知，当 时，函数 与 的图象有且仅有一个交点，
不满足题意,
综上所示，实数 的取值范围为 ．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 在区间 上恰有4个
零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
【答案】C
【解析】 ，在区间 上恰有4个零点，等价 与 图象恰好有4个交点，因为x∈
，所以 ，
如图所示，
则应该满足 ，解得 .
故选：C.
3．（2022·全国·课时练习）已知函数 有零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
函数 有零点，
与 有交点，
，
即 ，
故选：C4．（2022·北京大兴 ）若函数 恰有 个零点，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 时至多有一个零点，单调函数 至多一个零点，
而函数 恰有 个零点，
所以需满足 有1个零点， 有1个零点，
所以 ，
解得 ，
故选：D
