7.1空间几何中的平行（精讲）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 三角形中位线 【例1】（2022·浙江）已知四棱锥 的底面是菱形， 为 的中点，求证： 平面 【答案】证明见解析 【解析】连接 交 于 ，连接 , 是菱形， 是 中点，又 是 中点 面 , 面 面【一隅三反】 1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 中，点 是 的中点，求证： 平面 【答案】证明见解析； 【解析】连接 交 于 ，连接 ，由 为三棱柱，则 为平行四边形，所以 是 中点，又 是 的中点，故在△ 中 ， 面 ， 面 ，所以 平 面 . 2．（2022·山东）如图，在三棱柱 中，点M为 的中点，证明： 平面【答案】证明见解析 【解析】连接 与 交于点O，则O为 的中点，连接OM，因为点M为 的中点，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； 3．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证： 平面EAC 【答案】证明见解析 【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以 .又因为 面EAC， 面EAC，所以 平面EAC； 考点二 构造平行四边形 【例2】（2022·重庆巴蜀中学）如图，在多面体 中，四边形 是一个矩形，，求证： 平面 【答案】证明见解析 【解析】（1）设 ，连接 ，由于 ，所以四边形 是平行四边形，所 以 ，由于 平面 平面 ，所以 平面 . 【一隅三反】 1．（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，求证： 平面【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，取 的中点 ，连接 ， ，如图，则 且 ，又 且 ，所以 且 ，所以四 边形 是平行四边形，所以 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 平 面 ； 2．（2022·河北保定）如图，已知多面体 ， 平面 平面 ，且 ，证明： 平面【答案】证明见解析 【解析】证明：因为 平面 平面 ，所以 .因为 ，所以四边形 为平行四边形，则 .又 平面 平面 ，所以 平面 . 3．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱 中，E为 中点，F为 中点，求证： 平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为 中点,故 ,又 ,F 为 中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为 平面 ， 平面 ,故 平面 ；考点三 等比例 【例3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ， ， ，且 ．点 在棱 上，点 为 中点，证明：若 ，则直线 平面 【答案】证明见解析 【解析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ； ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； ， 平面 ， 平面 平面 ，平面 ， 平面 . 【一隅三反】 1．（2022·广东）如图所示， 是 所在平面外的一点， 、 、 分别是 、 、 的重心，求证：平面 平面 【答案】证明见解析 【解析】连接 、 、 ，∵ 、 、 分别是 、 、 的重心， ∴ 、 、 分别为 、 、 的中点，且 ， ∴ ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 且 ，∴平面 平面 .2（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱 中， ， ，点 ， 分别在 和 上，且满足 ， ，证明： 平面 【答案】见解析 【解析】过点 作 ，交 于点 ，连接 ， 由题意得 ， 故 ， ，而 平面 ， 平面 ， 平面 ，同理得 平面 ， 而 ， 平面 平面 ， 平面3．（2022·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−ABC D 中，AB=4，BC=BB =3，G为AB的中点， 1 1 1 1 1 E，F分别在线段AC ，AC上，且 ，求证： 平面BBF 1 1 1 【答案】证明见解析 【解析】取 的中点 ，连接 ， 故 为 的中位线，得 ， 而 平面 ， 平面 ， 从而 平面 ，① 又 ，结合长方体的对称性知 ， 即四边形 为平行四边形，故 ， 又 ，所以 ， 而 平面 ， 平面 ， 从而 平面 ，②， 结合①②知，平面 平面 ，从而 平面 . 考点四 线面平行的性质 【例4】（2022·北京海淀）如图，在四棱锥 中， 平面PAD， ，E，F，H，G分别 是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证： 【答案】证明见解析； 【解析】因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 . 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 中， 是 边的中点，过 作截面交 于点 ．求证： ； 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，在直三棱锥 中，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，平面 平面 ，所以 . 2．（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体 中， ， ，点 是 的中点， ， 且直线 面 ，直线 直线 【答案】证明见解析 【解析】 直线 平面 ， ，平面 平面 ， ． 3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥 的底面 是直角梯形， ， 底面 ，过 的平面交 于 ，交 于 （ 与 不重合）.求证： ； 【答案】证明见解析 【解析】证明：在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 又 平面 ，平面 平面 ， 所以 .考点五 面面平行的性质 【例5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ， ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，求证： 平面 【答案】证明见解析 【解析】如图，取 中点 ，连 ， ，∵ 为中位线，∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，同理，在梯形 中， ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，且 平面 ， 平面 ， ，∴平面 平 面 ，又 平面 ，所以 平面 ．【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 为菱形， ，求证： 平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为四边形 为菱形，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，所以，平面 平面 ， 因为 平面 ， 平面 . 2．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 中M，N，P，D分别为 ，BC， ， 的中点，求证： 面 【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为 ， 的中点， ∴ ，且 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵D，N分别为 ，BC的中点， ∴ ，且 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 ， ∴平面 平面 ， 又∵ 平面PDN，∴ 平面 . 3．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥 中，F，M，N分别为 的中点，求证： ∥平面 【答案】证明见解析 【解析】取 的中点G，连接 ，则由M，G分别为 的中点易得 ∥ 平面 ， 平面 ∴ ∥平面 同理： ∥平面 又 ，所以平面 ∥平面 ，所以 ∥平面 考点六 线面垂直的性质 【例6】（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证： 平面ECD 【答案】证明见解析 【解析】证明：取CD的中点G，连接EG ∵△CDE为腰长为 的等腰三角形，∴ 又∵平面CDE⊥平面BCD， 平面ECD，平面 平面 , ∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴ 又∵ 平面ECD， 平面CDE，∴ 平面CDE 【一隅三反】 1．（2022·江苏·高一课时练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于 点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析 【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD． 又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD． 因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD． 又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE． 2．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足 ， ，现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， ，得到如 图（2）所示的几何体，求证： 【答案】证明见解析 【解析】证明：在 中， ， 所以 ， ， 在 中， ， ， ，由余弦定理得 ， 所以 ，所以 ， 同理可得，在 中， ，且 ， 在 中， ，所以 ， 因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 在 中， ， 在 中， ，则 ， 因为 ，所以 平面 ， 所以 ； 3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 是菱形， 平面 ， 平面 ，且 ， 分别是 的中点，证明：平面 平面 【答案】证明见解析 【解析】因 分别是 的中点，则有 ， 又 平面 ， 平面 ，于是得 平面 ， 连接AC交BD于点O，连接FO，如图， 因四边形ABCD为菱形，则O为AC中点，而F为AB 中点，于是得 ， 1 因 平面 ， 平面 ，因此， 平面 ， 又 平面 ， 平面 ，则有 ，而 ，于是得四边形 是平行四边形，则有 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 .