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7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 三角形中位线
【例1】（2022·浙江）已知四棱锥 的底面是菱形， 为 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】连接 交 于 ，连接 , 是菱形， 是 中点，又 是 中点
面 , 面 面【一隅三反】
1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 中，点 是 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析；
【解析】连接 交 于 ，连接 ，由 为三棱柱，则 为平行四边形，所以 是
中点，又 是 的中点，故在△ 中 ， 面 ， 面 ，所以 平
面 .
2．（2022·山东）如图，在三棱柱 中，点M为 的中点，证明： 平面【答案】证明见解析
【解析】连接 与 交于点O，则O为 的中点，连接OM，因为点M为 的中点，所以
，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
3．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：
平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以
.又因为 面EAC， 面EAC，所以 平面EAC；
考点二 构造平行四边形
【例2】（2022·重庆巴蜀中学）如图，在多面体 中，四边形 是一个矩形，，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】（1）设 ，连接 ，由于 ，所以四边形 是平行四边形，所
以 ，由于 平面 平面 ，所以 平面
.
【一隅三反】
1．（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，求证：
平面【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，取 的中点 ，连接 ，
，如图，则 且 ，又 且 ，所以 且 ，所以四
边形 是平行四边形，所以 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 平
面 ；
2．（2022·河北保定）如图，已知多面体 ， 平面 平面 ，且 ，证明：
平面【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 平面 平面 ，所以 .因为 ，所以四边形
为平行四边形，则 .又 平面 平面 ，所以 平面 .
3．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱 中，E为 中点，F为 中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为 中点,故 ,又 ,F
为 中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为 平面 ，
平面 ,故 平面 ；考点三 等比例
【例3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ，
， ，且 ．点 在棱 上，点 为 中点，证明：若 ，则直线
平面
【答案】证明见解析
【解析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
， ， ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 ，平面 ， 平面 .
【一隅三反】
1．（2022·广东）如图所示， 是 所在平面外的一点， 、 、 分别是 、 、
的重心，求证：平面 平面
【答案】证明见解析
【解析】连接 、 、 ，∵ 、 、 分别是 、 、 的重心，
∴ 、 、 分别为 、 、 的中点，且 ，
∴ ， ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 ，∴平面 平面 .2（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱 中， ， ，点
， 分别在 和 上，且满足 ， ，证明： 平面
【答案】见解析
【解析】过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
由题意得 ，
故 ， ，而 平面 ， 平面 ，
平面 ，同理得 平面 ，
而 ， 平面 平面 ，
平面3．（2022·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−ABC D 中，AB=4，BC=BB =3，G为AB的中点，
1 1 1 1 1
E，F分别在线段AC ，AC上，且 ，求证： 平面BBF
1 1 1
【答案】证明见解析
【解析】取 的中点 ，连接 ，
故 为 的中位线，得 ，
而 平面 ， 平面 ，
从而 平面 ，①
又 ，结合长方体的对称性知 ，
即四边形 为平行四边形，故 ，
又 ，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，
从而 平面 ，②，
结合①②知，平面 平面 ，从而 平面 .
考点四 线面平行的性质
【例4】（2022·北京海淀）如图，在四棱锥 中， 平面PAD， ，E，F，H，G分别
是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证：
【答案】证明见解析；
【解析】因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 中， 是 边的中点，过 作截面交
于点 ．求证： ；
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，在直三棱锥 中，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
2．（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体 中， ， ，点 是 的中点， ，
且直线 面 ，直线 直线
【答案】证明见解析
【解析】 直线 平面 ， ，平面 平面 ， ．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥 的底面 是直角梯形，
， 底面 ，过 的平面交 于 ，交 于 （ 与
不重合）.求证： ；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，
平面 .
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 .考点五 面面平行的性质
【例5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ，
， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，取 中点 ，连 ， ，∵ 为中位线，∴ ，又 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，同理，在梯形 中， ，又 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，且 平面 ， 平面 ， ，∴平面 平
面 ，又 平面 ，所以 平面 ．【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 为菱形， ，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四边形 为菱形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 .
2．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 中M，N，P，D分别为 ，BC， ，
的中点，求证： 面
【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为 ， 的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵D，N分别为 ，BC的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 ，
∴平面 平面 ，
又∵ 平面PDN，∴ 平面 .
3．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥 中，F，M，N分别为 的中点，求证：
∥平面
【答案】证明见解析
【解析】取 的中点G，连接 ，则由M，G分别为 的中点易得 ∥
平面 ， 平面 ∴ ∥平面 同理： ∥平面
又 ，所以平面 ∥平面 ，所以 ∥平面
考点六 线面垂直的性质
【例6】（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：
平面ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点G，连接EG
∵△CDE为腰长为 的等腰三角形，∴
又∵平面CDE⊥平面BCD， 平面ECD，平面 平面 ,
∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴
又∵ 平面ECD， 平面CDE，∴ 平面CDE
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一课时练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于
点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．
2．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足
， ，现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， ，得到如
图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在 中， ，
所以 ， ，
在 中， ， ， ，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
同理可得，在 中， ，且 ，
在 中， ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中， ，
在 中， ，则 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 ；
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 是菱形， 平面 ， 平面 ，且
， 分别是 的中点，证明：平面 平面
【答案】证明见解析
【解析】因 分别是 的中点，则有 ，
又 平面 ， 平面 ，于是得 平面 ，
连接AC交BD于点O，连接FO，如图，
因四边形ABCD为菱形，则O为AC中点，而F为AB 中点，于是得 ，
1
因 平面 ， 平面 ，因此， 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，则有 ，而 ，于是得四边形 是平行四边形，则有 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 .
