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2020 年贵州省六盘水市中考数学试题及答案
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 计算（-3）×2的结果是（ ）
A. -6 B. -1 C. 1 D. 6
2. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球
可能性最大的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进
行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，
79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（ ）
A. 直接观察 B. 实验 C. 调查 D. 测量
4. 如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（
）
A. 150°
B. 120°
C. 60°
D. 30°
5. 当x=1时，下列分式没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）A. B.
C. D.
7. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A. 5 B. 20 C. 24 D. 32
8. 已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A. a-1＜b-1 B. -2a＞-2b C. a+1＜ b+1 D. ma＞mb
9. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别
以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交
AC于点G．若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A. 无法确定 B. C. 1 D. 2
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-3，0）与（1，0）两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0
＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A. -2或0 B. -4或2 C. -5或3 D. -6或4
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 化简x（x-1）+x的结果是______．12. 如图，点A是反比例函数y= 图象上任意一点，过点A分
别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面
积为______．
13. 在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字
“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变
化趋势接近的值是______．
14. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E
分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是______度．
15. 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，
∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，
BD=8，AC=11，则边BC的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共100.0分）
16. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．17. 2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．
为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根
据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间/h 1.5 2 2.5 3 3.5 4
人数/人 2 6 6 10 m 4
（1）本次共调查的学生人数为______，在表格中，m=______；
（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是______，众数是______；
（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．18. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF=BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）连接ED，若∠AED=90°，AB=4，BE=2，求四边形AEFD的面积．19. 如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y= 的图象相交，其中一个交点的横坐标
是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=
图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y= 的图象没有公共
点．
20. “2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备
3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手
册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领
取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出
一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为 ，那么应添加多少张《消防
知识手册》卡片？请说明理由．
21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如
图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，
为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋
檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋
檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B
在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，
≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．22. 第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁
毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生
活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的
单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多
少元？23. 如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对
角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线
于点F，切点为A，且∠CAD=∠ABD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=4，BF=5，求sin∠BDC的值．
24. 2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学
生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累
计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜
x≤15）
时间x（分钟）01 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数y（人） 0170320450560650720770800810810
（ 1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学
函数知识求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检
测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检
测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应
该至少增加几个检测点？25. 如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数
量关系是______，位置关系是______；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°
得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形
状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°
得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD
的边长为1，求△PQB的面积．答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式=-3×2
=-6．
故选：A．
原式利用乘法法则计算即可求出值．
此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：D．
各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最
多的袋子即可得出答案．
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算
方法．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握基本调查方法是解题关键．
直接利用调查数据的方法分析得出答案．
【解答】
解：一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，
85，82，69，70．
获得这组数据的方法是：调查．
故选：C．
4.【答案】A【解析】解：∵∠1+∠2=60°，∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠1=30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3=180°-∠1=180°-30°=150°．
故选：A．
根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得
解．
本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图
是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、 ，当x=1时，分式有意义不合题意；
B、 ，当x=1时，x-1=0，分式无意义符合题意；
C、 ，当x=1时，分式有意义不合题意；
D、 ，当x=1时，分式有意义不合题意；
故选：B．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项
错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
根据平行投影得特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时
刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形
成的影子就是平行投影．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AB=BC=CD=AD，OA= AC=4，OB= BD=3，AC⊥BD，
∴AB= = =5，
∴此菱形的周长=4×5=20；
故选：B．
根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此
菱形的周长．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱形的边
长是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a-1＜b-1，原变
形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即-2a＞-2b，原变形正确，故此
选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以 ，不等号的方向不变，即 a＜ b，不等式 a＜ b的两边
同时加上1，不等号的方向不变，即 a+1＜ b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或
ma=mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质进行判断．
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1，利用垂线段最短即
可解决问题．
本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-3，0）与（1，0）两点，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为-3和1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-5，函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是-4或2，
故选：B．
根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程
ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
11.【答案】x2
【解析】解：x（x-1）+x
=x2-x+x
=x2，
故答案为：x2．
先根据单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可．
本题考查了单项式乘以多项式和合并同类项法则，能灵活运用法则进行计算是解此题的
关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，
∴AB×AC=|k|=3，
则四边形OBAC的面积为：3．
故答案为：3．
根据反比例函数y= 的图象上点的坐标性得出|xy|=3，进而得出四边形OQMP的面积．
本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上
任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
13.【答案】
【解析】解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
故答案为： ．
随着试验次数的增多，变化趋势接近于理论上的概率．
本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
14.【答案】120【解析】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵∠CAB=60°，
∴∠OAD=30°，
∴∠OAD=∠OBE，
∵AD=BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA=∠BOE，
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOB=∠AOE+∠BOE=120°，
故答案为：120．
连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB=120°，根据等腰三角形的性质得到
∠OAB=∠OBA=30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA=∠BOE，于是得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正
确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：延长BD到F，使得DF=BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，
过点C点作CH∥AB，交BF于点H
∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，
∴HF=HC，
∵BD=8，AC=11，
∴DH=BH-BD=AC-BD=3，
∴HF=HC=8-3=5，
在Rt△CDH，
∴由勾股定理可知：CD=4，
在Rt△BCD中，∴BC= =4 ，
故答案为：4
延长BD到F，使得DF=BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题
型．
16.【答案】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．
【解析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2 ，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2 ， ， 的直角三角形即可．
本题考查作图-应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】50 22 3.5h 3.5h
【解析】解：（1）本次共调查的学生人数为：6÷12%=50（人），
m=50×44%=22，
故答案为：50，22；
（2）由条形统计图得，2个1.5，6个2，6个2.5，10个3，22个3.5，4个4，∵第25个数和第26个数都是3.5h，
∴中位数是3.5h；
∵3.5h出现了22次，出现的次数最多，
∴众数是3.5h，
故答案为：3.5h，3.5h；
（3）就疫情期间如何学习的问题，我的看法是：认真听课，独立思考（答案不唯一）．
（1）根据2小时的人数和所占的百分比求出本次调查的学生人数，进而求得m的值；
（2）根据中位数、众数的定义分别进行求解即可；
（3）如：认真听课，独立思考（答案不唯一）．
本题考查扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
18.【答案】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+EF，即BC=EF，
∴AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：连接DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABE中，AE= =2 ，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABE∽△DEA，
∴AE：AD=BE：AE，
∴AD= =10，
∴四边形AEFD的面积=AB×AD=2×10=20．【解析】（1）先根据矩形的性质得到AD∥BC，AD=BC，然后证明AD=EF可判断四边形AEFD
是平行四边形；
（2）连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AE=2 ，再证明△ABE∽△DEA，利用相似比求
出AD，然后根据平行四边形的面积公式计算．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已
有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般
方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；
也考查了平行四边形的判定和矩形的性质．
19.【答案】解：（1）将x=2代入y=x+1=3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k=2×3=6，
故反比例函数表达式为：y= ①；
（2）一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位得到y=x-1②，
联立①②并解得： ，
故交点坐标为（-2，-3）或（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y=mx+5③，
联立①③并整理得：mx2+5x-6-0，
∵两个函数没有公共点，故△=25+24m＜0，解得：m＜- ，
故可以取m=-2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y=-2x+5（答案不唯一）．
【解析】（1）将x=2代入y=x+1=3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数
表达式，即可求解；
（2）一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位得到y=x-1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y=kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x-6-0，则△=25+24k＜
0，解得：k＜- ，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
20.【答案】解：（1）把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别即为A、B、C，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个，
∴恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为 = ；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，
由题意得： = ，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解；
答：应添加4张《消防知识手册》卡片．
【解析】（1）画出树状图，由概率公式即可得出答案；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．
本题考查了列表法或画树状图法以及概率公式；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上
完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是
一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的
直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG= EF,∠AEG=∠ACB=35°，
在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，
∵tan∠AEG=tan35°= ，EG=6，
∴AG=6×0.7=4.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH=x，
在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，
∵tan∠EDH= ，
∴DH= ，
在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，
∵tan∠ECH= ，
∴CH= ，
∵CH-DH=CD=8，
∴ - =8，
解得：x≈9.52，
∴AB=AG+BG=13.72≈14（米），
答：房屋的高AB为14米．
【解析】（1）根据题意得到AG⊥EF，EG= ∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EH⊥CB于H，设EH=x，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三
角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22.【答案】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100-x）支，
根据题意，得：
6x+10（100-x）=1300-378，
解得x=19.5，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
（2）设笔记本的单价为a元，根据题意，得：6x+10（100-x）+a=1300-378，
整理，得：x= ，
因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，
∵x取整数，
∴x=20，21．
当x=20时，a=4×20-78=2；
当a=21时，a=4×21-78=6，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．
【解析】（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100-x）支，根据
总共的费用为（1300-378）元列方程解答即可；
（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为（1300-378）元列方程解求出方程的解，
再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求
出a的值．
本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，理清题意，找出相应的
等量关系是解答本题的关键．
23.【答案】解：（1）证明：∵∠CAD=∠ABD，
又∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD；
（2）∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°，
∴∠ABD=∠FAD，
∵∠ABD=∠CAD，
∴∠FAD=∠EAD，
∵AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF=AE，DF=DE，
∵AB=4，BF=5，
∴AF= ，
∴AE=AF=3，
∵ ，
∴ ，
∴DE= ，
∴BE=BF-2DE= ，
∵∠AED=∠BED，∠ADE=∠BCE=90°，
∴△BEC∽△AED，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠BDC=∠BAC，
∴ ．
【解析】（1）根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD，进而得∠ACD=∠CAD，便可由等腰三角形判
定定理得AD=CD；
（2）证明△ADF≌△ADE，得AE=AF，DE=DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得
AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC便可．
本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形
的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明
三角形全等与相似．24.【答案】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
∵当x=0时，y=0，
∴二次函数的关系式可设为：y=ax2+bx，
由题意可得： ，
解得： ，
∴二次函数关系式为：y=-10x2+180x，
②当9＜x≤15时，y=810，
∴y与x之间的函数关系式为：y= ；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w=y-40x= ，
①当0≤x≤9时，w=-10x2+140x=-10（x-7）2+490，
∴当x=7时，w的最大值=490，
②当9＜x≤15时，w=810-40x，w随x的增大而减小，
∴210≤w＜450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810-40x=0，
解得：x=20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，
解得m≥ ，
∵m是整数，
∴m≥ 的最小整数是2，
∴一开始就应该至少增加2个检测点．【解析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x=7
时，w的最大值=490，当9＜x≤15时，210≤w＜450，可得排队人数最多时是490人，由全
部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数=总人数，可求解；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，
列出不等式，可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应
用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
25.【答案】PQ= BO PQ⊥BO
【解析】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，
∴BO⊥AC，BO=CO，
∵P为BC的中点，Q为BO的中点，
∴PQ∥OC，PQ= OC，
∴PQ⊥BO，PQ= BO；
故答案为：PQ= BO，PQ⊥BO．
（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，
∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E=O'A，
∴∠O'EP=∠FCP，∠PO'E=∠PFC，
又∵点P是CE的中点，
∴CP=EP，
∴△O'PE≌△FPC（AAS），
∴O'E=FC=O'A，O'P=FP，
∴AB-O'A=CB-FC，
∴BO'=BF，
∴△O'BF为等腰直角三角形．
∴BP⊥O'F，O'P=BP，
∴△BPO'也为等腰直角三角形．
又∵点Q为O'B的中点，
∴PQ⊥O'B，且PQ=BQ，
∴△PQB的形状是等腰直角三角形；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECG=45°，
由旋转得，四边形O'ABG是矩形，
∴O'G=AB=BC，∠EGC=90°，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∵点P是CE的中点，
∴PC=PG=PE，∠CPG=90°，∠EGP=45°，
∴△O'GP≌△BCP（SAS），
∴∠O'PG=∠BPC，O'P=BP，
∴∠O'PG-∠GPB=∠BPC-∠GPB=90°，
∴∠O'PB=90°，
∴△O'PB为等腰直角三角形，
∵点Q是O'B的中点，
∴PQ= O'B=BQ，PQ⊥O'B，
∵AB=1，
∴O'A= ，
∴O'B= = = ，
∴BQ= ．
∴S = BQ•PQ= × = ．
△PQB
（1）由正方形的性质得出BO⊥AC，BO=CO，由中位线定理得出PQ∥OC，PQ= OC，则可得出结论；
（2）连接O'P并延长交BC于点F，由旋转的性质得出△AO'E是等腰直角三角形，
O'E∥BC，O'E=O'A，证得∠O'EP=∠FCP，∠PO'E=∠PFC，△O'PE≌△FPC（AAS），则
O'E=FC=O'A，O'P=FP，证得△O'BF为等腰直角三角形．同理△BPO'也为等腰直角三角形，
则可得出结论；
（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．证明△O'GP≌△BCP（SAS），得出
∠O'PG=∠BPC，O'P=BP，得出∠O'PB=90°，则△O'PB为等腰直角三角形，由直角三角形
的性质和勾股定理可求出O'A和O'B，求出BQ，由三角形面积公式即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等
腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积
等知识，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
