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8.7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 指数的运算
【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2） (a>0，b>0).
（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】1）原式
（2）原式＝ .
（3）原式 .【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：
(1)
(2) ；
(3)
(4)求值：
【答案】(1) (2) (3)625(4)
【解析】由对数和指数的运算求解即可.
(1)
(2)
(3)原式
.
(4)2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)因为 ，且 ，所以 ；
(2)因为 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 舍
去）；
(3)解： .
3（2023·全国·高三专题练习）（1）计算： ；
（2）已知 是方程 的两根，求 的值.
【答案】（1）16；（2） ．
【解析】（1）原式＝ ；
（2）由题意 ， ，又 ，而 ，所以 ，
所以
，
考点二 指数函数的三要素
【例2-1】（2022大同期中）函数 是指数函数，则有（ ）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
【答案】C
【解析】由已知得 ，即 ，解得 。 故答案为：C
【例2-2】（2022赣州）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的值域是 ．故答案为：B．
【一隅三反】
1．（2022保山月考）若函数 是指数函数，则（ ）
A． 或 B．
C． D． 且
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 . 故答案为：C
2．（2022湖北期末）已知实数a的取值能使函数 的值域为 ，实数b的取值能
使函数 的值域为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B
【解析】依题意知： 的值域为 ，则 若函数 的值域
为 ，则 的最小值为2，令 解得：
∴ 5．故答案为：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则 _________．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式 的解集为 ，则 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，解得 ，合乎题意.
故答案为： .
4．（2022·上海·高三开学考试）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】令 ，由题意得 的值域为 ，
又 的值域为 ，所以 解得
所以 的取值范围为 ．故答案为：
考点三 指数函数的性质
【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为常数）．若 在区间 上是增
函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为增函数，若 在区间 上是增函数，由复合函数的单调性知，必有 在区间 上是增函数，
又 在区间 上是增函数，所以 ，故有 .故选：B．
【例3-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））设函数 则满足
的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①当 时， ，此时 ，不合题意；
②当 时， ， 可化为 ，所以 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
故选：B．
【例3-3】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知 ，则a，b，c大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 .所以 .
因为 .所以 .所以 .故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】∵ 是减函数， ，所以 ，又 ，∴ ．故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 （ ）恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，又 恒成立，即 恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 ；
故选：B
3．（2022·上海长宁·二模）若函数 存在反函数，则常数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 存在反函数，
所以函数 在 上单调，
若单调递增，即 ，则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递增，所以 ，所以 ；
若单调递减，即 ，则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递增，所以 ，所以 ；综上可得 ；故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】【解析】因为函数 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象
沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在 上单调递减，所以k的取值范围是 ．
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 则关于t的不等式
的解集为________.
【答案】 .
【解析】函数 的定义域为R.
因为 ，所以 ，所
以 ，即 是奇函数.
因为 为增函数，所以 为减函数，所以 在R上为减函数.
所以 可化为 .所以 ，解得： 或 .故答案为： .
考点四 指数函数的综合运用
【例4】（2022南京月考）已知函数 函数
（1）若 的定义域为R求实数m的范围.
（2）若函数y=|f(x)-3|-k=0在区间[-2，1]上有且仅有1个解，求实数k的范围，
（3）是否存在实数a，b使得函数 的定义域为[a，b]且值域为[2a，2b]？若存在，
求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解： 定义域为R，
则 对任意 恒成立，
时， 不恒成立，
时， 且 ，解得 ；
综上，实数m的取值范围是 .
（2）解： 即 ，由方程有解可得 ，
时， 仅有一解 ，满足题意；
时， ，
在 上单调递减，值域为 ，
则 仅有一个属于 ， 时 ，时 ，
两式仅有一个成立可得 ；
综上k的范围是 .
（3）解：令 ；
在 递增， 递减，
若 ，则 在 递增，则值域为 ，
此时 ， ，即a，b为 两解，
由 可得 ， ，满足 ；
若 ，则 在 递增， 递减，则 最大值为 ，
则 ，即 ，不满足 ；
若 ，可得 ，而 ，不满足值域为 ；
综上，存在 ， 满足题意.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 是增函数
C． 不是周期函数 D． 的最小值为
【答案】AD【解析】选项A，由 得 ，函数定义域是 ，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是 ， ，即 是奇函数，易知 是R上的增函
数，函数值域为R， ，所以存在 ，值得 ，从而 ，于是
， ，但 ，所以 不是增函数，B错；
选项C， 定义域是R， ，因此 是函数的一个周期，C错；
选项D，由上推理知 是奇函数， 时， ，
时， ，易知函数为增函数，所以 ，综上
函数最小值是1，D正确．
故选：AD．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于坐标原点对称 B． 的图象关于 轴对称
C． 的最大值为1 D． 在定义域上单调递减
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；
因为 ， ， ，所以 不是偶函数，图象不关于 轴对称，故
不B正确；因为 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故C不正确；
因为 ，且 为增函数，所以 在定义域 上单调递减，故D正确.
故选：AD
3．（2022张掖期末）已知函数 （ ）在区间 上有最大值 和
最小值 .设 .
（1）求 ， 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵ ，∴ 为开口向上的抛物线，对称轴为： ，
在 上是减函数，∴ ，解得
（2）解： .
由于 则有 整理得
令 ，则 .
∵ ，∴令 ， 则
∵ 有解，∴ .
故符合条件的实数 的取值范围是
