文档内容
第 19 讲 功与功率
目录
01、考情透视，目标导
航
02、知识导图，思维引航.............................................................................................3
03、考点突破，考法探究.............................................................................................3
考点一 功的分析和计算....................................................................................................................3
知识点1．做功的两个要素...................................................................................................3
知识点2．恒力功...................................................................................................................4
知识点3．功的正负...............................................................................................................4
知识点4．变力功的计算方法...............................................................................................4
考向1 功的正负判断...........................................................................................................5
考点2 恒力做功及总功的计算.............................................................................................5
考点二 求变力做功的五种方法........................................................................................................7
考察动向................................................................................................................................................8
考向1 利用微元法求变力做功.............................................................................................8
考向2．化变力为恒力求变力做功.......................................................................................9
考向3 利用平均力求变力做功.........................................................................................10
考向4 利用F-x图像求变力做功......................................................................................11
考向5 利用动能定理求变力做功.......................................................................................11
考点三 功率的理解与计算................................................................................................................12
考察动向..............................................................................................................................................12
考向1 对功率的理解.........................................................................................................12
考向2 瞬时功率的分析与计算.........................................................................................13
考向3 平均功率的分析与计算.........................................................................................14
考点四 机车启动问题........................................................................................................................14
知识点1．两种启动方式.....................................................................................................14
知识点2．三个重要关系.....................................................................................................15
考察动向..............................................................................................................................................15
考向1 恒定功率启动问题...................................................................................................15
考向2 恒定加速度启动问题...............................................................................................17
04、真题练习，命题洞见
............................................................................................................................18
考情
2024·海南·高考物理试题
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目标1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。
复习
目标 目标2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。
目标3.会分析、解决机车启动的两类问题。考点一 功的分析和计算
知识点1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生位移。
知识点2．恒力功
公式：W＝Flcos α。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为力的作用点的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功。
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W、…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功。
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E 。
合 k2 k1
知识点3．功的正负
(1)当0≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
知识点4．变力功的计算方法
(2)求变力做功的常用方法
①微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将
变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。
②平均值法求变力做功
若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是呈线性变化的，即力随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F、F 分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝l求此力所做的功。
1 2
③用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的
“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。
④用W＝Pt求变力做功
若机车以恒定功率行驶，在一定时间内机车牵引力做的功W＝Pt。
⑤应用动能定理求变力做功。
考向1 功的正负判断
1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶
梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断中正确的是( )
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
【答案】A
【解析】： 题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐
角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方
向与速度方向相同，做正功，故C、D错误。
考点2 恒力做功及总功的计算
1.(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图1所示，如果运动员在下滑
过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关
于各力做功的情况，下列说法正确的是( )A.重力做的功为6 000 J
B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的总功为零
【答案】 AC
【解析】 对运动员受力分析如图所示，重力做功W ＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功W＝－f·＝
G f
－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，支持力不做功，即W ＝0，各力做的总功W ＝W
N 总 G
＋W＋W ＝5 000 J，故A、C正确，B、D错误。
f N
2.如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机
以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功。
【答案】 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
【解析】 物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示
由平衡条件得
Fcos θ－F sin θ＝0，
f N
Fsin θ＋F cos θ－mg＝0
f N
代入数据得F＝10 N，F ＝10 N
f N
x＝vt＝20 m(1)斜面对物体的支持力所做的功
W ＝F xcos θ＝300 J
N N
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
W＝Fxcos (90°－θ)＝100 J
f f
(3)物体重力做的功W ＝－mgx＝－400 J
G
(4)合外力对物体做的功
方法一：W ＝W ＋W＋W ＝0
合 N f G
方法二：F ＝0，W ＝F xcos α＝0。
合 合 合
3.北京冬奥会后，冰雪运动蓬勃发展，如图所示，某滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水
平面上前进至B点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数皆为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量
为m，A、B两点间的水平距离为L。在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgL B．小于μmgL
C．等于μmgL D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【解析】： 设斜坡与水平面的交点为C，BC长度为L ，AC水平长度为L ，AC与水平面的夹角为θ，如
1 2
图所示。
滑雪者在水平面上摩擦力做功W ＝－μmgL ，在斜坡上摩擦力做功W ＝－μmgcos θ·＝－μmgL ，所以在滑
1 1 2 2
雪者经过AB段过程中，摩擦力做的总功为W＝W ＋W ＝－μmg(L ＋L)＝－μmgL，故滑雪者克服摩擦力所
1 2 1 2
做的功为μmgL。故选C。
【斜面上摩擦力做功的结论】
斜面的粗糙程度相同，且斜面水平投影的长度相同，物体沿不同倾角的斜面从顶端运动到底端，摩擦力对
物体做的功均相等，即W＝－μmgx，x为斜面水平投影的长度。(如第3题滑雪者在斜坡上下滑时，克服摩
f
擦力做的功只与水平距离有关，与斜坡倾角大小无关)
考点二 求变力做功的五种方法
变力做功常见的五种计算方法方法 情境说明 方法总结
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运
动一周克服摩擦力做的功为W＝F·Δx ＋
f f 1
微元法
F·Δx ＋F·Δx ＋…＝F(Δx ＋Δx ＋Δx ＋…)＝
f 2 f 3 f 1 2 3
F·2πR
f
等效 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的
转换 功为
法 W＝F·
弹簧由伸长量为x 被继续拉至伸长量为x 的
1 2
平均
过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝FΔx＝
力法
·(x －x )
2 1
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的
图像法
代数和就表示力F在这段位移上所做的功
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的
动能定
功为W ，则有W －mgL(1－cos θ)＝0，得
F F
理法
W ＝mgL(1－cos θ)
F
考向1 利用微元法求变力做功
1．(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成
质点)用大小始终为F＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向
始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为 120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8。在这一过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做功为240 J
B．支持力做功为0
C．拉力F做功约为376.8 JD．摩擦力做功约为136.8 J
【答案】BC
【解析】： 物块重力做的功W ＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，故A错误；支持力始终与运动方向垂直，
G
支持力不做功，故 B正确；将圆弧 A分成很多小段l 、l 、…、l ，拉力在每一小段上做的功为 W 、
1 2 n 1
W 、…、W ，拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，则W ＝Flcos 37°、W ＝Flcos
2 n 1 1 2 2
37°、…、W ＝Flcos 37°，W ＝W ＋W ＋…＋W ＝Fcos 37°(l ＋l ＋…＋l)＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J，故C
n n F 1 2 n 1 2 n
正确；因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理得W ＋W ＋W＝0－0，解得W＝－W －
F G f f F
W ＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J，故D错误。
G
【题后反思】将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以
视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不
变、方向改变的变力做功问题。
考向2．化变力为恒力求变力做功
2．(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮 O。现以大小
不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑
轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)。则( )
A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C过程，轻绳对滑块做的功为mgd
D．滑块由A到C过程，轻绳对滑块做的功为mgd
【答案】AC
【解析】：滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝mg，故A正确，B
错误；拉力F做的功等于轻绳拉力对滑块做的功，滑轮与A间绳长L ＝，滑轮与C间绳长L ＝，滑轮右侧
1 2
绳子增大的长度ΔL＝L－L＝－＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C正确，D错误。
1 2
【题后反思】有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用 W＝Flcos α求解。此法常用
于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。考向3 利用平均力求变力做功
3.如图所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的
定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F
作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为(
)
A.F B.F
C. D.
【答案】 D
【解析】 开始时弹簧的压缩量为x ＝，此时F ＝0，当A物块恰好离开地面时弹簧伸长量为x ＝，此时
1 1 2
F＝2mg，则力F做功W＝(x＋x)＝，故D正确。
2 1 2
【题后反思】当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为
＝的恒力作用，F、F 分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcos α求此变力所做的功。
1 2
考向4 利用F-x图像求变力做功
4．(2024·黑龙江大庆高三模拟)一质量为2 kg的物体， 在水平恒定拉力的作用下，
以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当
拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根
据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(取g＝10 m/s2)( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.25
B．物体在8 m处的加速度为a＝4 m/s2
C．整个过程中拉力做功96 J
D．合力做的功为－32 J
【答案】D
【解析】： 物体做匀速运动时，受力平衡，则f＝F＝8 N，所以有μ＝＝，解得μ＝0.4，故A错误；由题
图可知，在 8 m处拉力大小为 4 N，根据牛顿第二定律可知此时有 F′－f＝ma，代入数据可得 a＝－2
m/s2，故B错误；F-x图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功W ＝J＝64 J，滑动摩擦力做的功W＝－
F f
μmgx，解得W＝－96 J，所以合外力做的功为W ＝W ＋W＝64 J＋(－96 J)＝－32 J，故C错误，D正确。
f 合 F f【题后反思】在F -x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且
位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围
面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
考向5 利用动能定理求变力做功
5．运用动能定理不仅可以较简便地求解一些恒力做功问题，还可求解一些特殊情况下的变力做功问题。
请你解答下面的问题。雨滴在空中下落时会受到空气阻力，空气阻力f的大小与雨滴下落速率v的二次方
成正比，即f＝kv2，其中k为常数。若质量为m的雨滴，从高h处以初速度v 竖直加速下落，接近落地前
0
开始做匀速直线运动。已知重力加速度为g，求该雨滴从高处下落到地面的过程中，空气阻力对其所做的
功。
【解析】：设雨滴落地时的速度为v ，接近落地前做匀速运动，有f＝kv ＝mg
max max2
对雨滴下落过程，由动能定理得
mgh＋W＝mv 2－mv2
max 0
解得W＝－－mgh。
6．(2023·新课标卷)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为 m的
雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)( )
A．0 B．mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
【答案】B
【解析】： 地面附近的雨滴做匀速运动，根据动能定理得 mgh－W＝0，故雨滴克服空气阻力做功为
f
mgh。故选B。
考点三 功率的理解与计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢。
(2)P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。考向1 对功率的理解
1．关于某力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．该力越大，其功率就越大
B．该力在单位时间内做的功越多，其功率就越大
C．功率越大，说明该力做的功越多
D．功率越小，说明该力做功的时间越少
【答案】B
【解析】： 由功率公式P＝Fvcos α可知，功率的大小由F、v及它们间的夹角共同决定，F越大，功率
P不一定越大，A错误；由P＝可知，单位时间内力做的功越多，其功率就越大，但功率越大，该力做功
不一定越多，功率越小，该力的作用时间不一定越少，故B正确，C、D均错误。
【题后反思】对功率的两点说明
(1)物体在发生一段位移过程中所对应的功率为平均功率，物体在某一时刻的功率为瞬时功率。
(2)力对物体做功的多少与地面是否光滑无关，但力对物体做功的功率大小与地面是否光滑有关。
细作2 瞬时功率的分析与计算
考向2 瞬时功率的分析与计算
2．(2023·辽宁高考)如图(a)，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从
M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知，两物块在离开
M点后、到达N点前的下滑过程中( )
A．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
【答案】B
【解析】： 由题图(b)可知，在下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐渐减小
的加速运动，乙沿Ⅰ下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，A、D错误，B正确；乙沿Ⅰ下滑，开始时乙的速度为0，到N点时乙的竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式
P＝mgv 可知，乙的重力功率先增大后减小，C错误。
y
【题后反思】瞬时功率公式的理解与应用
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝Fv ，其中v 为物体的速度 在力F方向上的分速度。
F F
(3)利用公式P＝Fv，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
v v
考向3 平均功率的分析与计算
3．(2023·山东高考)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简
化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与
水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。
当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A． B．
C． D．nmgωRH
【答案】B
【解析】：根据题意可知，水轮转一圈灌入农田的水的总质量为 m ＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，水轮转一
总
圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒车对灌入稻田的水做功的功率P＝，又T＝，联立有P
＝，故选B。
【题后反思】平均功率的计算方法
(1)利用P＝求解。
(2)利用P＝Fvcos α求解，其中v为物体运动的平均速度。考点四 机车启动问题
知识点1．两种启动方式
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和
v-t图像
OA段过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到P 额 ＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
分析 Fv
1
运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t＝
0
AB段过程
F＝F 阻⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
分析
运动性质 以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
m
BC段 无 F＝F 阻⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速运动
知识点2．三个重要关系
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为v ＝。
m
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝
