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7.5 空间向量求空间角（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 线线角
【例1】（2022·内蒙古赤峰）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形ABCD中，O为BD中点且 ，将平面ABD沿对角线
BD翻折至二面角 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南）在正方体 中，E，F分别为棱AD， 的中点，则异面直线EF与
所成角的余弦值为（ ）．
A． B．
C． D．考点二 线面角
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱台 中， ， ，
．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成的角．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习（理））在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱 中， ，
．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)设P是棱 的中点，求AC与平面 所成角的正弦值．
3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥 中，四边形 为菱形，
，(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
考点三 二面角
【例3】（2022·青海·海东市第一中学）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面 平面ABCD， 为
等边三角形， ， ，M是棱上一点，且 .
(1)求证： 平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余弦值.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形，分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
2．（2022·四川成都）如图，在三棱锥 中，已知 平面ABC， ， ，D
为PC上一点，且 ， ．
(1)求AC的长；
(2)若E为AC的中点，求二面角 的余弦值．
3．（2022·全国·模拟预测（理））图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，
其中 ， ， ．将该图形沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图
2．(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角 的平面角的余弦值．
