文档内容
10.3 平面向量的应用（精讲）（提升版）
考点呈现
例题剖析
考点一 在几何中的运用
【例1-1】（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足： ， ，则该四边
形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【例1-2】（2022·上海）在 中， ， 分别为边 上的点，且
．求证： ．
【例1-3】（2022·全国·模拟预测）已知H为 的垂心，若 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【例1-4】（2022·云南）已知 的面积为 ， ， ，则AC边的中线的长为
（ ）
A． B．3 C． D．4
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中） 中， ，∠A的平分线AD交边BC于D，已知 ，且
，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，点 满足 ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当
最大时， 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
考点二 三角形的四心
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首
次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的
一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 为 的垂心， ，则
B．若 为边长为2的正三角形，则 的最小值为-1
C．若 为锐角三角形且外心为 ， 且 ，则
D．若 ，则动点 的轨迹经过 的外心
【一隅三反】
1．（2022农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足
，则 的轨迹一定过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知 是平面内一点， ， ， 是平面内不共线的
三点，若 ， 一定是 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心3．（2022·全国·）平面内 及一点 满足 ，则点 是 的
（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为
Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使
考点三 三角形的面积比
【例3-1】（2022·天津五十七中模拟预测）若点M是 所在平面内一点，且满足： ．
则 与 的面积之比为________．
【例3-2】（2022·重庆）若 是 内部一点，且满足 ，则 与 的面积比为
_______.
【一隅三反】
1．（2022·全国·课时练习）已知 为 内的一点，满足 ，则 与 的面
积之比为________．
2．（2022北京朝阳）已知 ， 为 所在平面内的两点，且满足 ，，则 __________．
3（2022·全国·课时练习）设 是 内部一点，且 ，则 与 的面积之比为
________________.
4．（2022·江西 ）已知点 为 所在平面内一点，满足 ， ， ，
则 ______．
考点四 平面向量的综合运用
【例4-1】（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇
面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧
CD上，则 的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【例4-2】（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧
视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水
平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 ，
， ， .根据物理学知识得 ，则（ ）
A．28m B．20m C．31m D．22m
【一隅三反】
1．（2022·湖北模拟）设A、B为圆 上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·衡阳二模）设 分别是 的内角 的对边，已知
，设 是 边的中点，且 的面积为1，则
等于（ ）
A．2 B． C． D．-2
3．（2021·深圳模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某
一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 ， ，
， 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（ ）A．18 B．24 C．36 D．48
4．（2022·宜春模拟）设 、 分别是椭圆 的左右焦点，过 的直线l交椭圆
于A、B两点，且 ，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·商洛模拟）设 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，点A，B分别
在双曲线C的左､右支上，若 ，且 ，则双曲线C的渐近线斜率
为（ ）
A． B． C． D．
