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6.5 二项式定理（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 指定项系数
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习（理）） 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】二项式展开式的通式为 ，由 ，得r＝2，此时
即 的展开式中 的系数为40故选：C
【例1-2】（2022·广东惠州·高三阶段练习） 展开式中的常数项为（ ）
A．480 B． C．240 D．260
【答案】C
【解析】 展开式的通项为： ，
令 ，解得 ，所以展开式的常数项为 ；故选：C
【例1-3】（2022·湖北武汉·高三开学考试）若二项式 的展开式中 的系数是84，则实数
（ ）A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】二项式 展开式的第 项为 .
又展开式中 的系数是84，即 .所以 ，解得 故选：B.
【例1-4】（2022·江苏无锡·模拟预测）二项式 的展开式中，含 项的二
项式系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．21
【答案】B
【解析】因为二项式为 ，
所以其展开式中，含 项的二项式系数为：
， ， ， ， ，
.
故选：B
【例1-5】（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））二项式 展开式中，有理项共有（ ）
项．
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解析】二项式 展开式中，通项为 ，其中 ，
的取值只需满足 ，则 ，即有理项共有7项，故选：D.
【一隅三反】1．（2022·北京昌平·高三期末）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的通项为 ，
令 ，即 ， ，故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A．-448 B．-112 C．112 D．448
【答案】C
【解析】 ， .
故选：C.
3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））二项式 的展开式中，其中是无理项的项数共有
（ ）
A． 项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】D
【解析】二项式 的展开式中，通项公式为 ，
， 时为有理项共6项，故无理项的项数共有 故选：D.
4．（2022·广东·高三阶段练习） 的展开式中， 的系数为 ，则 ___________．
【答案】
【解析】 的展开式中的第 项为： ，
令 ，则 ，解得 ，即 ；故答案为：
考点二 二项式相乘的系数【例2】（2022·四川省泸县第一中学） 的展开式中含 的项的系数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【解析】 的展开式的通项为 ，
则 的展开式中含 的项是 ，
所以 的展开式中含 的项的系数为15.故选：B
【一隅三反】
1．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B．25 C． D．5
【答案】A
【解析】∵
的展开式为 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，
∴ 的展开式中 的系数为 .
故选：A．
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．80 B．24 C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，显然 展开式中没有 项，
展开式的 项为 ，所以 的展开式中 的系数为80.故选：A
3．（2022·天津河西·三模） 的展开式中， 的系数是__________.
【答案】
【解析】 的展开式的通项 ，
令 ，得 ， ；
令 ，得 ， ，
则 的展开式中 的系数是 ．
故答案为：
考点三 三项式的系数
【例3-1】（2022·江苏泰州·模拟预测） 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．400 B．480 C．720 D．800
【答案】D
【解析】 ，
的展开式通项为 ， 的展开式通项为 ，
所以 的展开式通项为 ，
其中 ， ，且 、 ，令 ，可得 或 或 ，
因此 的展开式中 的系数为 .故选：D.
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若 的展开式中 的系数为35，则正数 （ ）A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】因为 展开式为： ，
即
，
所以 ，
，
，
所以含 的系数为 ，又 为正数，所以 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 可看作5个因式 相乘，
所以其展开式中含 的项为4个因式取 ，2个因式取 ，
所以 展开式中含 的系数为 ．故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理）） 的展开式中，含 项的系数为______.
【答案】【解析】 展开式的通项为 ，
令 ，则展开式中含 的项为 ，
所以含 项的系数为 .
3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理）） 的展开式中 的系数是___________（用数字作
答）
【答案】
【解析】
展开式通项为： ； 展开式通项为： ；
则当 ， 时， 的系数为 ；当 ， 时， 的系数为
；当 ， 时， 的系数为 ；当 ， 时， 的
系数为 ；
的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
考点四 系数和
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，求：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187.【解析】解：令 则 ①；
令 则 ②；
令 则 ③；
（1）②-①得： ；
（2）(②-③) 得： ；
（3）(②+③) 得： ；
（4）由展开式可知 均为负值， 均为正值，
则 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇数项系数和为 ，偶数项系数和为
【解析】(1)二项式系数的和为 .
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为 ，偶数项的二项式系数和为 .
(4)设(2x－3y)10＝ax10＋ax9y＋ax8y2＋…＋a y10
0 1 2 10
令x＝y＝1，得到a＋a＋a＋…＋a ＝1，①
0 1 2 10
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a－a＋a－a＋…＋a ＝510，②
0 1 2 3 10
其中①＋②得： ，∴奇数项系数和为 ；①－②得：，∴偶数项系数和为 .
2．（2022·全国·高三专题练习）在 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5） 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.
【答案】（1） ；
（2）1；
（3）奇数项的二项式系数和为 ，偶数项的二项式系数和为 ；
（4）奇数项的系数和为 ，偶数项的系数和为 ；
（5） 的奇次项系数和为 ， 的偶次项系数和为
【解析】设 ，
各项系数和为 ，
奇数项系数和为 ，偶数项系数和为 ，
的奇次项系数和为 ， 的偶次项系数和为
（1）二项式系数的和为 ；
（2）令 ， ，则 ，
所以各项系数和为1；
（3）奇数项的二项式系数和为 ，
偶数项的二项式系数和为 ；（4）由（2）知， ①，取 ， ，
则 ②，
所以奇数项的系数和 ，
偶数项的系数和 ；
（5）由（4）知， 的奇次项系数和为 ，
的偶次项系数和为 .
