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§10.2 二项式定理
课标要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝_____________________________________________(n∈N)
+
二项展开
T ＝____________________，它表示展开式的第________项
k＋1
式的通项
二项式系数 ________(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．
(2)增减性与最大值：
①当k<时，C随k的增加而________；由对称性知，当k>时，C随k的增加而________．
②当n是偶数时，中间的一项________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项__________
与____________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为 C＋C＋C＋…＋C＝
________.
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( )
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．( )
(3)通项公式T ＝Can－kbk中的a和b不能互换．( )
k＋1
(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．( )
2．10的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
3．的值为( )
A．1 B．2C．2 023 D．2 023×2 024
4．在二项式n的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为________.
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N)的展开式
+
例1 (1)(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为________(用数字作答)．
(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N)的展开式
+
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
(2)若(x2＋a)8的展开式中x8的系数为9，则a的值为________．
破解三项展开式问题
求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开．
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解．
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．
典例 (1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为________．
(2)(1＋2x－3x2)5的展开式中含x5的项的系数为________．
跟踪训练1 (1)(多选)已知n的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成
立的是( )
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
(2)(2024·攀枝花模拟)(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝________.
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(多选)已知2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则( )
A．n＝4
B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为24
D．展开式中不含常数项
(2)(多选)(2023·重庆模拟)已知(1－2x)2 024＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023＋a x2 024，则( )
0 1 2 2 023 2 024
A．展开式中二项式系数最大项为第1 012项B．展开式中所有项的系数和为1
C.＋＋＋…＋＋＝－1
D．a＋2a＋3a＋…＋2 023a ＋2 024a ＝4 048
1 2 3 2 023 2 024
命题点2 系数与二项式系数的最值
例4 已知n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是( )
A．二项展开式中各项系数之和为37
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为240x3
思维升华 (1)赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展
0 1 2 n
开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n
的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
(2)二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数
分别为A，A，…，A ，且第k项系数最大，应用从而解得k.
1 2 n＋1
跟踪训练2 (1)已知(mx＋1)n(n∈N，m∈R)的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx＋
+
1)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，若a＝8，则a＋a＋…＋a 等于( )
0 1 2 n 1 2 3 n
A．63 B．64 C．247 D．255
(2)(多选)若(3x－2)2 025＝a＋ax＋ax2＋ax3＋…＋a x2 025(x∈R)，则( )
0 1 2 3 2 025
A．a＝22 025
0
B．a＋a＋a＋…＋a ＝
0 2 4 2 024
C．a＋a＋a＋…＋a ＝
1 3 5 2 025
D.＋＋＋…＋＝22 025－1
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(
)
A．－3 B．2 C．10 D．11
(2)利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
