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6.2立方根
立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么
叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：
①一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
②任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为
相反数的数的立方根也互为相反数.
题型1：开立方
1.求下列各数的立方根：
（1）﹣27；
（2） ；
（3）0.216；
（4）﹣5．
【变式1-1】求下列各数的立方根：
（1）﹣0.125；
（2）
（3）﹣15
（4）2×32．
题型2：辨析平方根与立方根2.（2022秋•温州期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．﹣8没有立方根
C．8的立方根是±2 D．4的算术平方根是2
【变式2-1】（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2
C． ＝﹣3 D．﹣6没有平方根
【变式2-2】（2022秋•渠县期末）下列说法，其中错误的有（ ）
① 的平方根是9；
② 是2的算术平方根；
③﹣8的立方根为±2；
④ ＝|a|．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3：利用立方根的定义求值
3.（2022秋•东台市月考）已知3是2a﹣1的一个平方根，也是3a+b+10的立方根，求a+b的平方根．
【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知3a﹣7的立方根是2，2a+2b+2的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【变式3-2】（2022秋•天桥区期中）已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求3a+2b的算术平方根．
立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
题型4：利用立方根的性质求值
4.若 ＝k﹣4，求k的值．【变式4-1】已知 与 互为相反数，求x的值．
【变式4-2】已知 ＝a，y2＝b（y＜0），且 ＝8（b＞4a）， ＝18，求xy的
值．
题型5：利用开立方解方程
5.解方程：（1）27x3＝64；
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0．
【变式5-1】解方程：（1）（x+2）3＝﹣64．
（2）2（x﹣1）3+16＝0．
【变式5-2】解方程：（1）2（x+1）3＝﹣54 （2）3（x﹣1）3+24＝0
题型6：分类讨论-求立方根中未知数的值
6.已知√31−a²=1- ²，求a的值。
a
【变式6-1】若一个数a的平方根等于它本身，数b的立方根等于它本身，求a+3b的立方根．
【变式6-2】（2022秋•成县期中）已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c的算
术平方根是其本身，求a+b﹣2c的值．
【变式6-3】已知a的倒数为它本身，b的绝对值为2，c的平方根为它本身，且ab＞0，求2a+3b的立方
根．
立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，
， ， ， .
题型7：立方根与规律性问题
7.（1）填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
（2）观察上表，当数a的小数点每向右（或向左）移动三位时，它的立方根怎样变化？你能总结出其中
的规律吗？
（3）已知 ≈5.625，利用（2）的结论，写出 的近似值．
【变式7-1】一组数1， ， ，2 ，…符合这个规律的第8个数是 ．【变式7-2】计算 ， ， ， ， ，
你能从中找出计算的规律吗？如果将根号内的2换成10，这种计算的规律是否仍然保持？
一、单选题
1．（2021八上·北票期中）下列说法正确的是( )
A．－4没有立方根 B．1的立方根为±1
1 1
C．5的立方根为√35 D． 的立方根是
36 6
2．（2022七上·富阳期中）下列计算正确的是( )
√ 1 √ 1
A．√（−5）2=−5 B．3 =3− C．√16=±4 D．−√0.25=−0.5
27 27
3．（2021七下·宜州期末）对于实数2021描述正确的是（ ）
A．2021不是有理数 B．2021的倒数是1202
C．2021的相反数是-2021 D．-2021没有立方根
4．（2022七下·郯城期中）下列等式正确的是（ ）
A．√−9=−3 B． √ 49 =± 7 C．√3 (−8) 2=4 D．−√(−5) 2=5
144 12
x
5．（2021八上·隆昌期中）已知 √3 y−1 与 √31−2x 互为相反数，则 的值是（ ）
y
1
A． B．0 C．−2 D．2
2
6．（2021八上·隆昌期中）已知x为实数，且 √3 x−3−√32x+1 ＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2
二、填空题
7．（2021八上·高邑期中）实数64的算术平方根是 ，平方根是 ，立方根
．8．下列说法正确的有
①任何数都有立方根，且只有一个立方根；②一个数的平方等于1，那么这个数就是1；③4是8
的算术平方根；④如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0；⑤±2是8的立方根．
9．若x=( ❑ 3√−5 )3，则 √−x−1 = ．
10．（2021八上·青神期末）√3 (−3) 3= ， (−√3) 2= .
三、计算题
11．（2021七上·惠山期中）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）（x+1）3﹣64＝0.
12．（2021七下·密山期末）求下列各式中的x：
121
（1）x2﹣ =0．
49
（2）（x﹣1）3=64．
四、解答题
13．用计算器比较大小：A= √25.4 ，B= ❑ 3√38.8 ．
14．（2021八上·兴平期中）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后
将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的
棱长．
五、综合题
15．（2022八下·泾阳月考）已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
