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专题十四 《计数原理》讲义
14.2 二项式定理
知识梳理 . 二项式定理
1.二项式定理的概念:
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
2.展开式中二项式系数的性质:
(1)
(2)
(3)当 时， 当 时，
(4)
3．赋值法求展开式系数和
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定
为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，
－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需
令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
4．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
题型一 . 二项式展开后的某项
1．二项式 1 8 的展开式中，常数项为 11 2 （用数字作答）
(2x− )
√3 x
【解答】解：依题意，二项式 1 8 的展开式的第 k+1 项为：T k+1
(2x− )
√3 x− 1 • 8− 4 k，
=Ck (2x) 8−k ⋅(−1) k ⋅(x 3) k=Ck (−1) k ⋅28−k ⋅x 3
8 8
4
由8− k=0解得，k＝6，
3
所以常数项为： 112，
(−1) 6×22×C6=
8
故答案为：112．
1
2．二项式(√x+ ) 40 的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
√3 x
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项
1
【解答】解：二项式(√x+ ) 40 的展开式的通项为
√3 x
120−5r
1 ．
T =Cr ⋅(√x) 40−r ⋅( ) r=Cr ⋅x 6
r+1 40 √3 x 40
∵0≤r≤40，且r N，
∈ 120−5r
∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时， Z．
6
∈
1
∴二项式(√x+ ) 40 的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．
√3 x
故选：B．
x 35
3．(√x− ) 8展开式中二项式系数最大的项为 x6 ．（求出具体的项）
2 8
【解答】解：当n＝8时，展开式中二项式系数最大的项是T ，
5
∴T 的项
5
x
＝C 4（ √x）4（− ）4
8
2
35
= x6．
8
35
展开式中二项式系数最大的项是 x6．
8
35
故答案为 x6
8
1
4．（x√x+ ）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开
x4
式中的常数项是第 4 项．1
【解答】解：由题意可得， 2﹣ 1＝44，可求n＝11，故（x√x+ ）n的展开式的通
n n x4
∁ ∁
项公式为T r+1=C
1
r
1
•
x
33−
2
11r，
33−11r
令 =0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是第第四项，
2
故答案为：4．
题型二 . 多项展开式中项的问题
1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为 1 ．
【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2）2＝（1﹣x3）（1+x+x2），
故x2项的系数为1，
故答案为：1．
2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式T y5﹣r（x2+x）r，
r+1= r
∁
5
令5﹣r＝3，解得r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，
∴x3y3的系数为2 20，
×∁ 2=
5
故选：B．
3．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（ ）
A．﹣30 B．120 C．240 D．420
【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T （2y）6﹣r（x+z）r＝26﹣r y6
r+1= r r
∁ ∁
6 6
﹣r（x+z）r，
（x+z）r的展开式的通项公式：T xr﹣kzk．
k+1= k
∁
r
可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r• xr﹣kzk．
r k
∁ ∁
6 r
令r﹣k+1＝2，6﹣r＝3，k＝2，或r﹣k＝2，6﹣r+1＝3，k＝2．
解得k＝2，r＝3．或k＝2，r＝4．∴x2y3z2的系数为 120．
23
∁
3
∁
2−22
∁
4
∁
2=
6 3 6 4
故选：B．
4．已知（x+1）4+（x﹣2）8＝a +a （x﹣1）+a （x﹣1）2…+a （x﹣1）8，则 a ＝
0 1 2 8 3
（ ）
A．64 B．48 C．﹣48 D．﹣64
【解答】解：由（x+1）4+（x﹣2）8＝[（x﹣1）+2]4+[（x﹣1）﹣1]8＝a +a （x﹣1）+a
0 1 2
（x﹣1）2…+a （x﹣1）8，
8
得 ，
a ⋅(x−1) 3=C1 ⋅(x−1) 3 ⋅2+C5 ⋅(x−1) 3 ⋅(−1) 5
3 4 8
∴ ．
a =8−C5=−48
3 8
故选：C．
题型三 . 二项式系数和、展开式系数和
2
1．已知二项式(x+ ) n的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝ 4 ，展开式中
x
的常数项是 2 4 ．
【解答】解：由题意知：得2n＝16，∴n＝4；
展开式的通项为T ，令4﹣2r＝0得r＝2
r+1=Cr ⋅2r ⋅x4−2r
4
∴展开式中的常数项为24
故答案为：4，24
2．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和
为 51 2 ．
【解答】解：∵（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴ ，∴n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n﹣1＝29＝512，
C3=C7
n n
故答案为：512．
1
3．若（ +x﹣m）5（m为常数）展开式中的所有项系数和为1024，则实数m的值为 ﹣ 2
x
，展开式中的常数项为 25 2 ．
【解答】解：令x＝1得：（2﹣m）5＝1024，
所以m＝﹣2，
1
则（x+ +2）5展开式中的常数项为25+C1•C1•23+C2•C2•21＝252，
x 5 4 5 3
故答案为：252．
4．已知二项式（x+y）n的展开式的二项式项的系数和为64，（2x+3）n＝a +a （x+1）+a
0 1 2
（x+1）2+…+a （x+1）n，则a ＝（ ）
n 2
A．20 B．30 C．60 D．80
【解答】解：由二项式（x+y）n的展开式中的二项式系数和为64可知2n＝64，n＝6，
则（2x+3）n＝（2x+3）6＝[2（x+1）+1]6＝a +a （x+1）+a （x+1）2+…+a （x+1）n，
0 1 2 n
则a •22•14＝60．
2= 2
∁
6
故选：C．
题型四 . 二项式定理综合
1．若二项式（2﹣x）n（n N*）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是 a，所有项
∈
b a
的二项式系数之和是b，则 + 的最小值是（ ）
a b
13 7 15
A．2 B． C． D．
6 3 6
【解答】解：取x＝﹣1，得a＝3n，
又b＝2n，∴b 2n 2 ，
= =( ) n
a 3n 3
b a 2 3 2 3 13
∴ + =( ) n+( ) n≥ + = ．
a b 3 2 3 2 6
故选：B．
2．已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，则
1
x＝ 1 0 ，或 ．
10
【解答】解：由题意可得，末三项的二项式系数分别为 ， ， ，∴
Cn Cn−1 Cn−2
n n n22，
Cn+Cn−1+Cn−2=
n n n
即 22，求得n＝6．
C0+C1+C2=
n n n
故通项公式为 T •x（6﹣r）lgx，显然当r＝3时，系数最大为 20，
r+1=Cr C3=
6 6
故有 •（xlgx）3＝20000，∴x3lgx＝1000，∴3（lgx）2＝3，
C3
6
1
求得 lgx＝±1，可得x＝10，或 x= ，
10
1
故答案为：10，或 ．
10
3．在二项式（x﹣1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 ﹣ 462 （结果用数值表
示）
【解答】解：在二项式（x﹣1）11的展开式中，通项公式为T •x11﹣r•（﹣1）r，
r+1=Cr
11
要使此项的系数最小，需r为奇数，且 最大．
Cr
11
根据二项式系数的性质可得，当r＝5或6时， 最大，故系数最小的项为第6项（r＝
Cr
11
5），
等于 462，
−C5 =−
11
故答案为﹣462．
4．若 ，则|a |﹣|a |+|a |﹣|a |+|a |﹣|a |＝（
(1−x) 5=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
）
A．0 B．1 C．32 D．﹣1
【解答】解：T （﹣1）r xr，
r+1= ∁ r (−x) r= ∁ r
5 5
当r为奇数时， 0．当r为偶数时， 0．
a∁ r＜ a∁ r＞
r 5 r 5
∴|a |﹣|a |+|a |﹣|a |+|a |﹣|a |＝a +a +a +a +a +a ．
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5对 ，
(1−x) 5=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5
0 1 2 3 4 5
令x＝1，可得：a +a +a +a +a +a ＝（1﹣1）2＝0．
0 1 2 3 4 5
故选：A．
题型五 . 杨辉三角
1．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的
“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 …2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 …4027 4029 4031
8 12 16 …8056 8060
20 28 …16116
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中
最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014
【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，
第2016行只有M，
则M＝（1+2016）•22014＝2017×22014，
故选：B．
2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n
1
行有n个数且两端的数均为 （n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + ， = + ， = + ，…，则第9行第4个数（从左往右数）为 ．
1 2 2 2 3 6 3 4 12 504【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m） ，
1 1 1 1
由题意知a（6，1）= ，a（7，1）= ，a（8，1）= ，a（9，1）=
6 7 8 9
1 1
∴a（7，2）＝a（6，1）﹣a（7，1）= ，a（8，2）＝a（7，1）﹣a（8，1）=
42 56
1
，a（9，2）＝a（8，1）﹣a（9，1）= ，
72
1 1
a（8，3）＝a（7，2）﹣a（8，2）= ，a（9，3）＝a（8，2）﹣a（9，2）=
168 252
1
a（9，4）＝a（8，3）﹣a（9，3）=
504
1
故答案为： ．
504
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课后作业 . 二项式定理
1．在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是 1 6√2 ，系数为有理数的项的个数是
5 ．
9−r
【解答】解：二项式 (√2+x) 9的展开式的通项为 T =Cr (√2) 9−rxr=2 2 Crxr ．
r+1 9 9
由r＝0，得常数项是 ；
T =16√2
1
当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，
∴系数为有理数的项的个数是5个．
故答案为：16√2，5．
2．已知二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，则x2项的系数为（ ）A．28 B．36 C．56 D．84
【解答】解：二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，∴n＝8．
通项公式T x2＝28x2．
2+1= 2
∁
8
则x2项的系数为28．
故选：A．
1
3．已知(x− ) n的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是 ﹣
3x
4 ．
1
【解答】解：因为(x− ) n的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，
3x
所以 ，所以n＝12，
C5=C7
n n
1 1
则展开式的通项公式为：T =Cr •x12﹣r•（− ）r＝（− ）r•Cr •x12﹣2r，
r+1 12 3x 3 12
令12﹣2r＝10，可得r＝1，
1
所以含x10项的系数是：（− ）C1 =−4．
3 12
故答案为：﹣4．
y2
4．(x− )(x+ y) 5的展开式中，x3y3的系数为 5 ．
x
y2 y2
【解答】解：∵(x− )(x+ y) 5=（x− ）（x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5），
x x
故它的展开式中，x3y3的系为10﹣5＝5，
故答案为：5．
4 1
5．（x2﹣3x+ ）（1− ）5的展开式中常数项为（ ）
x √x
A．﹣30 B．30 C．﹣25 D．25
4 1 4
【 解 答 】 解 ： ∵ （ x2﹣ 3x+ ） （ 1− ） 5 ＝ （ x2﹣ 3x+ ） • （ 1
x √x x
5 10 10 5 1
− + − + − ），
√x x x√x x2 x2√x
5 10
∴其展开式中常数项为x2• −3• =−25．
x2 x故选：C．
6．已知（1+x）6＝a +a （1﹣x）+a （1﹣x）2+…+a （1﹣x）6，则下列选项正确的有（
0 1 2 6
）
A．a ＝1 B．a ＝1
0 6
C．a +a +…+a ＝64 D．a +a +a ＝﹣364
0 1 6 1 3 5
【解答】解：∵（1+x）6＝[﹣2+（1﹣x）]6＝a +a （1﹣x）+a （1﹣x）2+…+a （1﹣
0 1 2 6
x）6，
令x＝1，可得a ＝64，故A错误；
0
a 1，故B正确；
6=C6=
6
令x＝0，可得a +a +…+a ＝1 ①，故C错误；
0 1 6
令x＝2，可得a ﹣a +…+a ＝36②，
0 1 6
1−36
用①②，并除以2，可得a +a +a = =−364，故D正确，
1 3 5
2
故选：BD．
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