文档内容
第3讲 二项式定理
最新考纲 考向预测
1.能用多项式运算法则和 二项式定理的正用和逆用、二项式系
计数原理证明二项式定 数的性质与各项的和，尤其是二项展
理． 命题趋势 开式的通项公式的应用是高考考查
2.会用二项式定理解决与 的热点，题型仍将是选择题与填空
二项展开式有关的简单 题．
问题. 核心素养 数学运算、数学抽象
1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为T ＝ C a n － k b k．
k＋1
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
2．二项式系数的性质
常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升
幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
常见误区
1．二项式定理中，通项T ＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
k＋1
2．二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T ＝Can－kbk中，
k＋1
C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.( )
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)通项T ＝Can－rbr中的a和b不能互换．( )
r＋1
(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．(易错题)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为( )
A．80 B．40 C．20 D．10
解析：选B.T ＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.
r＋1
3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：选B.二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，T ＝C·x6－r·＝Cx6－2r，当6－
r＋1
2r＝0，即当r＝3时为常数项，T ＝C＝20.
4
4．在(x－)6的展开式中，第3项为________．
解析：展开式的通项公式为T ＝C·(－1)r·x6－，所以T ＝C(－1)2x5＝15x5.
r＋1 3
答案：15x5
5．若(x－1)4＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋a x4，则a ＋a ＋a 的值为________．
0 1 2 3 4 0 2 4
解析：令x＝1，则a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝0，令x＝－1，则a －a ＋a －a ＋a ＝
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
16，两式相加得a ＋a ＋a ＝8.
0 2 4
答案：8二项展开式的特定项(系数)
角度一 形如(a＋b)n(n∈N*)型
(1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋
(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．60 B．80
C．84 D．120
(2)(2020·云南大理联考)已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二
项式系数之比是2∶5，则x3的系数为( )
A．14 B．－14
C．240 D．－240
【解析】 (1)在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数是C＋C
＋…＋C＝120.故选D.
(2)展开式的通项为T ＝C(2x)n－r·，因为展开式中第2项与第3项的二项式
r＋1
系数之比是2∶5，所以C∶C＝2∶5，解得n＝6.所以T ＝C26－r(－1)rx6－r，r＝
r＋1
0，1，2，…，6.
令6－r＝3，得r＝2，所以x3的系数为C26－2(－1)2＝240，故选C.
【答案】 (1)D (2)C
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项
相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
角度二 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)型
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)(2020·成都市诊断性检测)(x2＋2)的展开式中的常数项为( )
A．25 B．－25 C．5 D．－5
【解析】 (1)因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项T ＝Cx5－ryr，所以(x＋)(x＋y)5
r＋1
的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C.(2)因为的展开式中的常数项与2的乘积为2Cx3＝－2C＝－40，的展开式中
含x－2的项与x2的乘积为Cx2×x2＝C＝15.所以(x2＋2)的展开式中的常数项为－
40＋15＝－25.
【答案】 (1)C (2)B
求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路
(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋
b2)(c＋d)n，然后分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2
＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．
角度三 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)型
(1)(2020·四川成都月考)的展开式中的常数项为( )
A．11 B．－11
C．8 D．－7
(2)(2020·广州市阶段训练)(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的系数是________．
(用数字填写答案)
【解析】 (1)将x＋看成一个整体，展开得到通项公式为T ＝C(－1)r，
r＋1
的展开式为T ＝Cx4－r－mx－2m＝Cx4－r－3m，
m＋1
取4－r－3m＝0，
当m＝0时，r＝4，常数项为C×C×(－1)4＝1；
当m＝1时，r＝1，常数项为C×C×(－1)1＝－12.
所以所求常数项为1－12＝－11.故选B.
(2)方法一：因为(3x2－2x－1)5＝[(3x2－2x)－1]5展开式的通项公式为T ＝
r＋1
C(3x2－2x)5－r·(－1)r，当r＝0或r＝1或r＝2时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中无
x2项；当r＝3时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中x2的系数为4；当r＝4时，二项式
(3x2－2x)5－r的展开式中x2的系数为3；当r＝5时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中
无x2项．所以所求展开式中x2的系数为4×C×(－1)3＋3×C×(－1)4＝－25.
方法二：(3x2－2x－1)5＝(3x＋1)5(x－1)5，(3x＋1)5的展开式中常数项为1，x的
系数为3C＝15，x2的系数为9C＝90，(x－1)5的展开式中常数项为－1，x的系数为
C×(－1)4＝5，x2的系数为C×(－1)3＝－10，所以(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的
系数为1×(－10)＋15×5＋90×(－1)＝－25.【答案】 (1)B (2)－25
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________(用数字作答)．
解析：展开式的通项T ＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以
r＋1
常数项为C24＝240.
答案：240
2．(2020·贵阳市第一学期监测考试)的展开式中x2的系数为________．
解析：因为二项式(1－2x)7的展开式的通项公式为 T ＝C(－2x)r＝(－
r＋1
2)rC·xr，所以的展开式中x2的系数为(－2)3C＝－280.
答案：－280
3．(2020·四省八校第二次质量检测)(x>0)的展开式中含 x3项的系数为
________．
解析：方法一：因为＝，所以其展开式的通项公式为T ＝C()12－r＝C(－1)r()12
r＋1
－2r＝C(－1)rx6－r，由6－r＝3得r＝3，所以含x3项的系数为C(－1)3＝－220.
方法二：＝＝，要求其展开式中含x3项的系数即求(x－1)12的展开式中含x9项
的系数，为C(－1)3＝－220.
答案：－220
二项展开式中的系数和问题
(1)(多选)已知(x－1)5＝a ＋a (x＋1)＋a (x＋1)2＋…＋a (x＋1)5，则( )
0 1 2 5
A．a ＝－32 B．a ＝－80
0 2
C．a ＋4a ＝0 D．a ＋a ＋…＋a ＝1
3 4 0 1 5
(2)(多选)关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )
A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为212
C．存在常数项
D．x3的系数为40
【解析】 (1)令x＝－1得(－1－1)5＝a ，即a ＝－32，故A正确．令x＝0得
0 0
(－1)5＝a ＋a ＋…＋a ，即a ＋a ＋…＋a ＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x
0 1 5 0 1 5
－1)5＝a ＋a (x＋1)＋a (x＋1)2＋…＋a (x＋1)5就变为(y－2)5＝a ＋a y＋a y2＋…
0 1 2 5 0 1 2
＋a y5，根据二项式定理知，a 即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，T ＝Cy5－
5 2 r＋1
r·(－2)r，故a ＝C·(－2)3＝－80，B正确．a ＝C(－2)1＝－10，a ＝C(－2)2＝40.故C
2 4 3
正确．故选ABC.
(2)由题意可得，各项系数之和为26，各项系数的绝对值之和为212.＝，易知该
多项式的展开式中一定存在常数项．由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组
合 只 有 ·( － x)3 和 ·( － x)4 ， 结 合 排 列 组 合 的 性 质 可 得 x3 的 系 数 为
C×13×C×20×(－1)3＋C×11×C×21×(－1)4＝40.
【答案】 (1)ABC (2)BCD
赋值法求系数和的应用技巧
(1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的
各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子
求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶
0 1 2 n
次项系数之和为a ＋a ＋a ＋…＝，奇次项系数之和为a ＋a ＋a ＋…＝.令x＝
0 2 4 1 3 5
0，可得a ＝f(0)．
0
1．(2020·贵阳市适应性考试)在的二项展开式中，各项系数之和为A，二项式
系数之和为B，若A＋B＝72，则二项展开式中常数项的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：选B.在中，令x＝1，得A＝4n，由题意知B＝2n，所以4n＋2n＝72，得n＝
3，的二项展开式的通项公式为T ＝C()3－r＝3rCx，令＝0，得r＝1，所以常数项为
r＋1
T ＝3C＝9.
2
2．若(1＋x)(1－2x)8＝a ＋a x＋…＋a x9，x∈R，则a ·2＋a ·22＋…＋a ·29的值
0 1 9 1 2 9
为( )A．29 B．29－1
C．39 D．39－1
解析：选D.(1＋x)(1－2x)8＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x9，令x＝0，得a ＝1；令x＝
0 1 2 9 0
2，得a ＋a ·2＋a ·22＋…＋a ·29＝39，所以a ·2＋a ·22＋…＋a ·29＝39－1.故选D.
0 1 2 9 1 2 9
二项展开式中的系数最值问题
二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指
数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
【解析】 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，
所以的展开式的通项为
T ＝C·(x)20－r·
r＋1
＝()20－r·C·x20－，
要使x的指数是整数，需r是3的倍数，
所以r＝0，3，6，9，12，15，18，
所以x的指数是整数的项共有7项．
【答案】 D
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最
大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数
的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数的是离
散型变量，设展开式各项的系数分别为A ，A ，…，A ，且第k项系数最大，因此
1 2 n＋1
在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结
果．
(多选)(2020·山东泰安第二中学月考)展开式中系数最大的项是(
)
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
解析：选BC.的展开式的通项为T ＝C()8－r·＝Cx4－r，所以其展开式中各项
r＋1
的系数依次为1，4，7，7，，，，，，所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项．故选BC.
[A级 基础练]
1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
解析：选D.(x－y)n二项展开式第m项的通项为
T ＝C(－y)m－1xn－m＋1，
m
所以系数为C(－1)m－1.
2．二项式的展开式中，的系数是( )
A. B．－ C．15 D．－15
解析：选B.的二项展开式的通项为T ＝C·＝(－1)r22r－10Cx5－，令5－＝，得
r＋1
r＝3，所以的系数是(－1)3·2－4·C＝－.故选B.
3．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
4．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(
)
A．15 B．45 C．135 D．405
解析：选C.由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为T ＝Cx6－r＝3rCx6－，
r＋1
令6－＝3，得r＝2，则x3的系数为32C＝135.故选C.
5．(2020·长沙市统一模拟考试)(1＋x)(1－2x)5的展开式中x3的系数为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
解析：选B.(1－2x)5的展开式的通项为T ＝C(－2x)r，令r＝2，得T ＝C(－
r＋1 3
2x)2＝40x2，令r＝3，得T ＝C(－2x)3＝－80x3，故(1＋x)(1－2x)5的展开式中x3的系
4
数为40－80＝－40.
6．设a∈R，若与的展开式中的常数项相等，则a＝( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析：选A.的展开式的通项为T ＝C(x2)9－k·＝Cx18－2k·2kx－k＝C·2kx18－3k，由
k＋1
18－3k＝0得k＝6，即常数项为T ＝C·26＝84×64.的展开式的通项为T ＝Cx9
6＋1 r＋1－r＝Cx9－r·arx－2r＝C·arx9－3r，由9－3r＝0得r＝3，即常数项为T ＝C·a3＝84a3.因
3＋1
为两个展开式中的常数项相等，所以84a3＝84×64，所以a3＝64，即a＝4，故选
A.
7．(2020·河南部分重点高中联考)已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数
最大，且n为偶数，则(3x－1)n展开式中x2的系数为( )
A．－252 B．252 C．－28 D．28
解析：选B.由题意可得n＝8，则(3x－1)8的展开式的通项是T ＝C(3x)8－r·(－
r＋1
1)r，令8－r＝2，解得r＝6，则展开式中x2的系数为C32＝252.
8．(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
解析：选AD.二项式(n∈N*)展开式的通项为T ＝C(x3)r＝Cx4r－n.不妨令n＝
r＋1
4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A项正确，B项错误；令n＝3，则r＝1时，展
开式中有x的一次项，故C项错误，D项正确．故选AD.
9．(多选)若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则下列结论正确的是(
)
A．a的值为－2
B．展开式中各项系数和为0
C．展开式中x的系数为4
D．展开式中二项式系数最大为70
解析：选BD.(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5项为CC(－ax)3x2＋
CC(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.(1－ax＋x2)4＝
(x－1)8，令x＝1，则展开式中各项系数和为0，展开式中x的系数为C(－1)7＝－
8，展开式中二项式系数最大为C＝70，故选BD.
10．(多选)已知的二项展开式中二项式系数之和为256，则下列结论正确的是(
)
A．x2项的系数为560
B．二项展开式中没有常数项
C．各项系数之和为1
D．各项系数中的最大系数为896解析：选BC.由题意可得C＋C＋…＋C＝2n＝256，所以n＝8，故的二项展开
式的通项T ＝C(2x)8－r＝(－1)rC28－rx8－.令8－＝2，可得r＝4，所以x2的系数为
r＋1
(－1)4C24＝1 120，A项不正确；因为8－不可能等于0，所以二项展开式中没有常
数项，B项正确；令x＝1，则各项系数之和为1，C项正确；由得2≤r≤3，当r＝2
时，系数为1 792，当r＝3时，系数为－1 792，D项不正确．
11．(2020·高考天津卷)在(x＋)5的展开式中，x2的系数是________．
解析：二项式(x＋)5的展开式的通项为T ＝C·x5－r·()r＝C·2r·x5－3r.令5－3r＝2
r＋1
得r＝1.因此，在(x＋)5的展开式中，x2的系数为C·21＝10.
答案：10
12．(2020·广州市调研检测)若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的
常数项的值是________．
解析：因为展开式的二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，即＝.其展开式的
通项为T ＝C·(3x)6－r·(x－)r＝36－r·C·x6－r，当6－r＝0时，r＝4，所以展开式中
r＋1
的常数项的值为36－4·C＝9×15＝135.
答案：135
13．(2020·河北九校第二次联考)已知的展开式中第5项为常数项，则该展开
式中所有项的系数和为________．
解析：的展开式的通项T ＝C(x2)n－r·＝(－1)rC(x2)n－r，所以T ＝(－1)4C(x2)n－4
r＋1 5
＝34Cx2n－10，因为第5项为常数项，所以2n－10＝0，所以n＝5，令x＝1，得该展开
式中所有项的系数和为(1－3)5＝－32.
答案：－32
14．若在的二项展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等且最大，则·的
展开式中的常数项为________．
解析：由的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，
则展开式共6项，即n＝6－1＝5，
又展开式的通项为
T ＝C(2x)5－r＝25－rCx5－2r，
r＋1
则·的展开式中的常数项为22C－2·23C＝－120.
答案：－120
[B级 综合练]
15．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值为(
)A．64 B．32 C．63 D．31
解析：选C.因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，
所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C.
16．(多选)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式
的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x15项的系数为45
解析：选BCD.因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以C＝
C，得n＝10.因为展开式中各项系数之和为 1 024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1
024，得a＝1.故给定的二项式为，其展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝
512，故A不正确．由n＝10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项，而展开
式的系数与对应的二项式系数相等，故 B 正确．展开式的通项公式为 T ＝
k＋1
C(x2)10－k·＝Cx20－(k＝0，1，2，…，10)，令20－＝0，解得k＝8，即常数项为第9项，
故C正确．令20－＝15，得k＝2，故展开式中含x15项的系数为C＝45，故D正确
故选BCD.
17．已知(1－2x)7＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x7，求：
0 1 2 7
(1)a ＋a ＋…＋a ；
1 2 7
(2)a ＋a ＋a ＋a ；
1 3 5 7
(3)a ＋a ＋a ＋a ；
0 2 4 6
(4)|a |＋|a |＋|a |＋…＋|a |.
0 1 2 7
解：令x＝1，
则a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝－1.①
0 1 2 3 4 5 6 7
令x＝－1，
则a －a ＋a －a ＋a －a ＋a －a ＝37.②
0 1 2 3 4 5 6 7
(1)因为a ＝C＝1，
0
所以a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－2.
1 2 3 7
(2)(①－②)÷2，得a ＋a ＋a ＋a ＝＝－1 094.
1 3 5 7
(3)(①＋②)÷2，得a ＋a ＋a ＋a ＝＝1 093.
0 2 4 6
(4)因为(1－2x)7的展开式中a ，a ，a ，a 大于零，而a ，a ，a ，a 小于零，
0 2 4 6 1 3 5 7
所以|a |＋|a |＋|a |＋…＋|a |
0 1 2 7＝(a ＋a ＋a ＋a )－(a ＋a ＋a ＋a )
0 2 4 6 1 3 5 7
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
18．若展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项．
解：易求得展开式前三项的系数为1，2C，4C.
由题意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.
(1)设展开式中的有理项为T ，
r＋1
由T ＝C()9－r＝2rCx，
r＋1
又因为0≤r≤9，所以r＝2，6.
故有理项为T ＝22C·x＝144x3，
3
T ＝26·C·x＝5 376.
7
(2)设展开式中T 项的系数最大，则
r＋1
所以≤r≤，
又因为r∈N，所以r＝6，
故展开式中系数最大的项为T ＝5 376.
7
[C级 创新练]
19．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，
b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余．记为
a≡b(mod m)，若a＝C＋C×2＋C×22＋…＋230，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(
)
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
解析：选 A.a＝C＋C×2＋…＋230＝(1＋2)30＝330＝915＝(10－1)15＝
C×1015×(－1)0＋C×1014×(－1)1＋…＋C×101×(－1)14＋C×100×(－1)15，除了
最后一项，其他项均含有10的倍数，都可以整除，所以a除以10的余数为－1＋
10＝9，而2 019除以10余9.故选A项．
20．若(1＋2 020x)2 020＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x2 020，则＋＋＋…＋＝
0 1 2 2 020
________．
解析：因为＝＝nC＝2 020C，
所以＋＋＋…＋
＝2 020(C＋C＋…＋C)＝2 020×＝2 020×22 018.
答案：2 020×22 018
