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第 3 节 空间直线、平面的平行
考试要求 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中
直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果平面外一条直线
与此平面内的一条直 a⊄α，b α，
判定定理
线平行，那么该直线 a∥b a∥α
⊂
与此平面平行
⇒
一条直线和一个平面
平行，如果过该直线
a∥α，a β，α∩β＝
性质定理 的平面与此平面相
b a∥b
⊂
交，那么该直线与交
线平行 ⇒
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面内的
a β，b β，a∩b＝
两条相交直线与另
判定定理 P，a∥α，
⊂ ⊂
一个平面平行，那
b∥α α∥β
么这两个平面平行
⇒
两个平面平行，则
性质 α∥β，a α a∥β
其中一个平面内的
⊂ ⇒
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直线平行于另一个
平面
两个平面平行，如
果另一个平面与这 α∥β，α∩γ＝a，
性质定理
两个平面相交，那 β∩γ＝b a∥b
么两条交线平行
⇒
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，
故(3)错误.
2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行
C.直线a与平面α内无数条直线不相交
D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
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答案 D
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意
一条直线都不相交，故选D.
3.(2021·湖州期末)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是
“α∥β”的( )
⊂
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据m α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的
交线平行即可得到m∥β；
⊂
反之，α∥β，m α，所以 m 和 β 没有公共点，所以 m∥β，即由 α∥β 能得到
m∥β.
⊂
所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
4.(多选)(2021·济宁期末)已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的
平面，则下列说法正确的是( )
A.若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
C.若m∥n，n α，α∥β，m⊄β，则m∥β
D.若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
⊂
答案 BC
解析 A.若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m、n异面，或m，n相交，A
错误；
B.若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；
C.若m∥n，n α，则m∥α或m α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；
D.若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m β，D错误.
⊂ ⊂
5.(多选)(2022·青岛质检)在正方体 ABCD－A B C D 中，E，
1 1 1 1⊂
F，G分别是A B ，B C ，BB 的中点，下列四个推断中正确
1 1 1 1 1
的是( )
A.FG∥平面AA D D
1 1
B.EF∥平面BC D
1 1
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C.FG∥平面BC D
1 1
D.平面EFG∥平面BC D
1 1
答案 AC
解析 ∵在正方体ABCD－A B C D 中，E，F，G分别是A B ，B C ，BB 的中
1 1 1 1 1 1 1 1 1
点，
∴FG∥BC ，∵BC ∥AD ，∴FG∥AD ，
1 1 1 1
∵FG⊄平面AA D D，AD 平面AA D D，
1 1 1 1 1
∴FG∥平面AA D D，故A正确；
1 1 ⊂
∵EF∥A C ，A C 与平面BC D 相交，
1 1 1 1 1 1
∴EF与平面BC D 相交，故B错误；
1 1
∵E，F，G分别是A B ，B C ，BB 的中点，∴FG∥BC ，
1 1 1 1 1 1
∵FG⊄平面BC D ，BC 平面BC D ，
1 1 1 1 1
∴FG∥平面BC D ，故C正确；
1 1 ⊂
∵EF与平面BC D 相交，∴平面EFG与平面BC D 相交，故D错误.
1 1 1 1
6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH为
截面，则四边形EFGH的形状为________.
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图所示，正方形 ABCD与正方形ABEF所在的平面相
交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：
PQ∥平面BCE.
证明 法一 如图所示，作 PM∥AB 交 BE 于 M，作
QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，
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又PM∥AB∥QN，
∴＝＝＝，∴＝.
又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴PQ∥MN.又MN 平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
⊂
法二 如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥BE 交 AB
于点M，连接QM.
则PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，
∴＝，又AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，
∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ 平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
角度2 直线与平面平行的性质
⊂
例 2 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是
平行四边形，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G
和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
⊂
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
感悟提升 (1)判断或证明线面平行的常用方法
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①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
⊂ ⇒
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α a∥β).
⊂ ⇒
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线
⇒
作辅助平面确定交线.
训练 1 如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形
ACEF是矩形，M是线段EF的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面 ADM∩平面 BDE＝l，平面 ABM∩平面 BDE＝
m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，
四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE 平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
⊂
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
⊂
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
⊂
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱 ABCD－A B C D 的底面 ABCD 是正方
1 1 1 1
形.
(1)证明：平面A BD∥平面CD B ；
1 1 1
(2)若平面ABCD∩平面B D C＝l，证明：B D ∥l.
1 1 1 1
证明 (1)由题设知 BB 綉 DD ，所以四边形 BB D D 是平行四边形，所以
1 1 1 1
BD∥B D .
1 1
又BD⊄平面CD B ，B D 平面CD B ，
1 1 1 1 1 1
⊂
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所以BD∥平面CD B .
1 1
因为A D 綉B C 綉BC，
1 1 1 1
所以四边形A BCD 是平行四边形，所以A B∥D C.
1 1 1 1
又A B⊄平面CD B ，D C 平面CD B ，
1 1 1 1 1 1
所以A B∥平面CD B .
1 1 1 ⊂
又因为BD∩A B＝B，BD，A B 平面A BD，
1 1 1
所以平面A BD∥平面CD B .
1 1 1 ⊂
(2)由(1)知平面A BD∥平面CD B ，
1 1 1
又平面ABCD∩平面B D C＝l，
1 1
平面ABCD∩平面A BD＝BD，
1
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A B C D 中，四边形BDD B 为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
所以B D ∥BD，所以B D ∥l.
1 1 1 1
感悟提升 1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的
两条直线是相交直线.
训练2 如图，在三棱柱ABC－A B C 中，E，F，G分别为
1 1 1
B C ，A B ，AB的中点.
1 1 1 1
(1)求证：平面A C G∥平面BEF；
1 1
(2)若平面A C G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.
1 1
证明 (1)∵E，F分别为B C ，A B 的中点，∴EF∥A C ，
1 1 1 1 1 1
∵A C 平面A C G，EF⊄平面A C G，
1 1 1 1 1 1
∴EF∥平面A C G，
⊂ 1 1
又F，G分别为A B ，AB的中点，
1 1
∴A F＝BG，又A F∥BG，
1 1
∴四边形A GBF为平行四边形，
1
则BF∥A G，
1
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∵A G 平面A C G，BF⊄平面A C G，
1 1 1 1 1
∴BF∥平面A C G，
⊂ 1 1
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A C G∥平面BEF.
1 1 ⊂
(2)∵平面 ABC∥平面 A B C ，平面 A C G∩平面 A B C ＝
1 1 1 1 1 1 1 1
A C ，平面A C G与平面ABC有公共点G，则有经过 G的
1 1 1 1
直线，设交BC于点H，
则A C ∥GH，得GH∥AC，
1 1
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.
考点三 平行关系的综合应用
例 4 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝
AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与
BE交于O点，G是线段OF上一点.
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
因为FO 平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
⊂
(2)连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
因为PD 平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
⊂
又因为O是AC的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD 平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
⊂
又FH∩OH＝H，FH，OH 平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
⊂
又因为GH 平面OHF，
⊂
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所以GH∥平面PAD.
感悟提升 三种平行关系的转化
训练3 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是
AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为
平行四边形，所以O为AE的中点.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
⊂
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，
又DE⊄平面MNG，NG 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
⊂
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD⊄平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
⊂
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
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所以平面BDE∥平面MNG.
1.(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线.给出下列命题，其中正确
的命题是( )
A.若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C.若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β
D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
答案 BC
解析 对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l
不与α平行，所以A错误；
对于B，因为l∥β，所以存在直线m β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又
m β，所以β⊥α，所以B正确；
⊂
对于 C，l∥α，故存在 m α 使得 l∥m，因为 α∥β，所以 m∥β，因为 l∥m，
⊂
l⊄β，所以l∥β，C正确；
⊂
对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误.
2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和
直线AC的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.AC在此平面内 D.平行或相交
答案 A
解析 把这三条线段放在正方体内可得如图，显然 AC∥EF，
AC⊄平面EFG，∵EF 平面EFG，故AC∥平面EFG.
3.下列命题中正确的是( )
⊂
A.若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何
平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
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解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，
两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.
4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有
( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
答案 C
解析 如图所示，平面 α即平面EFGH，则四边形 EFGH为
平行四边形，则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
⊂
又∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD⊄平面EFGH.
⊂
∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，
⊂
所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
5.(2021·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A B C D 中，四边形ABCD为平行四边
1 1 1 1
形，E，F 分别在线段 DB，DD 上，且＝＝，G 在 CC 上且平面 AEF∥平面
1 1
BD G，则＝( )
1
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，延长 AE 交 CD 于 H，连接 FH，则
△DEH∽△BEA，所以＝＝.因为平面 AEF∥平面
BD G，平面 AEF∩平面 CDD C＝FH，平面 BD G∩平
1 1 1
面 CDD C ＝D G，所以 FH∥D G.又四边形 CDD C 是
1 1 1 1 1 1
平行四边形，所以△DFH∽△C GD ，所以＝，因为
1 1
＝＝，所以＝，因为＝，所以FD ＝C G，DF＝CG，所以＝，故选B.
1 1
6.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A B C D 内灌进一些水，固
1 1 1 1
定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个
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结论，其中正确的是( )
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.随着容器倾斜程度的不同，A C 始终与水面所在平面平行
1 1
D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
答案 AD
解析 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻
两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；
由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改
变，可知B错误；
因为A C ∥AC，AC 平面ABCD，A C ⊄平面ABCD，所以A C ∥平面ABCD，
1 1 1 1 1 1
当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A C 不平行于水面所在平面，故C错误；
⊂ 1 1
当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的
体积V为定值，又V＝S ·AB，高AB不变，所以S 也不变，即AE·AH为
△AEH △AEH
定值，故D正确.
7.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝
m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使
该命题为真命题.
⊂
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号).
⊂ ⊂
答案 ①或③
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平
行或异面，②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，
所以m∥n，③正确.
⊂
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8.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在
棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.
答案 ①④
解析 ①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
9.在正四棱柱 ABCD－A B C D 中，O 为底面 ABCD 的中心，
1 1 1 1
P 是 DD 的中点，设 Q 是 CC 上的点，则点 Q 满足条件________时，有平面
1 1
D BQ∥平面PAO.
1
答案 Q为CC 的中点
1
解析 如图所示，设Q为CC 的中点，因为P为DD 的中点，
1 1
所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD ，DB的中点，
1
所以 D B∥PO，又 D B⊄平面 PAO，QB⊄平面 PAO，PO 平
1 1
面 PAO，PA 平面 PAO，所以 D B∥平面 PAO，QB∥平面
1 ⊂
PAO，又D B∩QB＝B，D B，QB 平面D BQ，所以平面D BQ∥平面PAO.故Q
1 ⊂ 1 1 1
为CC 的中点时，有平面D BQ∥平面PAO.
1 1 ⊂
10.(2022·百校大联考)已知在四棱锥 P－ABCD中，PD⊥平
面 ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q 为 PC 的中
点.
(1)求证：BQ∥平面PAD；
(2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段 PC上确定一点 S，使得三棱锥 S－
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BCD的体积为.
(1)证明 取PD的中点G，连接AG，GQ，
因为Q为PC的中点，所以GQ∥DC，且GQ＝DC，
又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，
所以四边形ABQG是平行四边形，
所以BQ∥AG，
又BQ⊄平面PAD，AG 平面PAD，所以BQ∥平面PAD.
(2)解 因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，
⊂
所以点B在线段CD的垂直平分线上，
又因为BC＝，BC⊥BD，
所以BD＝BC＝，
所以△BCD的面积S＝××＝1.
设点S到平面ABCD的距离为h，
所以×1×h＝，所以h＝2，
又PD⊥平面ABCD，PD＝3，
所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.
11.(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱 ABCD－A B C D 的底面
1 1 1 1
是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是
1
BC，BB ，A D的中点.
1 1
(1)证明：MN∥平面C DE；
1
(2)求点C到平面C DE的距离.
1
(1)证明 如图，连接B C，ME.
1
因为M，E分别为BB ，BC的中点，
1
所以ME∥B C，且ME＝B C.
1 1
又因为N为A D的中点，所以ND＝A D.
1 1
由题设知A B 綉DC，
1 1
可得B C綉A D，故ME綉ND，
1 1
因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED.
又MN⊄平面C DE，DE 平面C DE，
1 1
所以MN∥平面C DE.
1 ⊂
(2)解 过点C作C E的垂线，垂足为H.
1
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由已知可得DE⊥BC，DE⊥C C，又BC∩C C＝C，BC，C C 平面C CE，所以
1 1 1 1
DE⊥平面C CE，
1 ⊂
故DE⊥CH.所以CH⊥平面C DE，
1
故CH的长即为点C到平面C DE的距离.
1
由已知可得CE＝1，C C＝4，
1
所以C E＝，故CH＝.
1
从而点C到平面C DE的距离为.
1
12.(多选)《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑
堵”.即两底面为直角三角形的直棱柱，亦即长方体的斜截
平分体.如图所示，堑堵(即直三棱柱)ABC－DEF 中，
AB⊥AC，AB＝AC＝2，AD＝4，G是FC的中点，则下列说
法正确的是( )
A.BE与AG的夹角为
B.平面ABC内存在直线平行于平面AEG
C.三角形AGE为直角三角形
D.点D到平面AGE的距离为
答案 BC
解析 ∵BE∥CG，∴∠AGC即为BE与AG所成的角(或其补角)，∵G为CF的
中点，CF＝AD＝4，AC＝2，∴AC＝CG，又CF⊥平面ABC，∴∠AGC＝，A
错误；
取ED，EA的中点M、N，连接MN，FM，GN，则MN∥FG，MN＝FG，∴四
边形MNGF为平行四边形，∴MF∥NG，∵MF⊄平面 AGE，NG 平面 AGE，
∴MF∥平面AGE，而MF 平面DEF，平面ABC∥平面DEF，B正确；
⊂
依题意可知，AG＝2，EG＝2，EA＝2，∴AG2＋EG2＝EA2，∴AG⊥GE，
⊂
∴△AGE为直角三角形，C正确；
设点 D 到平面 AGE 的距离为 h，则由 V ＝V 可知 h·×2×2＝
D－AGE E－ADG
×2××2×4，则h＝，D错误.
13.(多选)(2021·肇庆二模)在长方体 ABCD－A B C D 中，AB＝AD＝1，AA ＝
1 1 1 1 1
2，P是线段BC 上的一动点，则下列说法中正确的是( )
1
A.A P∥平面AD C
1 1
B.A P与平面BCC B 所成角的正切值的最大值是
1 1 1
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C.A P＋PC的最小值为
1
D.以A为球心，为半径的球面与侧面DCC D 的交线长是
1 1
答案 ACD
解析 对于A，由于平面A BC ∥平面AD C，A P 平面A BC ，所以A P∥平
1 1 1 1 1 1 1
面AD C，所以A正确；
1 ⊂
对于B，当B P⊥BC 时，A P与平面BCC B 所成角的正切值最大，易求最大值
1 1 1 1 1
是，所以B错误；
对于C，将△A C B沿BC 翻折与△BCC 在同一平面，且点A ，C在直线BC 的
1 1 1 1 1 1
异侧，此时在△A CC 中，由三角恒等变换可求得 cos∠A C C＝－，由余弦定
1 1 1 1
理可得A C＝，所以A P＋PC的最小值为，C正确；
1 1
对于D，由于AD⊥平面DCC D ，所以交线为以D为圆心，1为半径的圆周的
1 1
四分之一，所以交线长是，D正确.
14.如图，在正方体 ABCD－A B C D 中，P，Q 分别为对
1 1 1 1
角线BD，CD 上的点，且＝＝.
1
(1)求证：PQ∥平面A D DA；
1 1
(2)若R是AB 上的点，的值为多少时，能使平面 PQR∥平
面A D DA？请给出证明.
1 1
(1)证明 连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD ，
1
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，
所以＝＝，
所以PQ∥MD .
1
又MD 平面A D DA，
1 1 1
PQ⊄平面A D DA，
⊂ 1 1
故PQ∥平面A D DA.
1 1
(2)解 当的值为时，能使平面PQR∥平面A D DA.
1 1
如图，证明：
因为＝，
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即＝，故＝.所以PR∥DA.
又DA 平面A D DA，PR⊄平面A D DA，
1 1 1 1
所以PR∥平面A D DA，
⊂ 1 1
又PQ∥平面A D DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
1 1
所以平面PRQ∥平面A D DA.
1 1 ⊂
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