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第 4 节 空间直线、平面的垂直
考试要求 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直
线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂
直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个
判定定 平面内的两条相交直
l⊥α
理 线垂直，那么该直线
⇒
与此平面垂直
性质定 垂直于同一个平面的
a∥b
理 两条直线平行
⇒
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平
面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行
或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l
－β的平面角是 ∠ AOB .
⊂ ⊂
(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个
判定定理 平面的垂线，那么这两个 α⊥β
平面垂直
⇒
两个平面垂直，如果一个
平面内有一直线垂直于
性质定理 这两个平面的交线，那么 l⊥α
这条直线与另一个平面
⇒
垂直
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线
线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l α
或l∥α，故(1)错误.
⊂
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另
一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.
2.(2022·百校大联考)若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的
平面，则下列为真命题的是( )
A.若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
答案 B
解析 A中，m，n可能平行，相交或异面；
C中，α与β可能平行或相交；
D中，α与β可能平行或相交.故选B.
3.(多选)已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α，β，且l⊥β，下面四个命
题正确的是( )
A.若m⊥β，则l∥m B.若α∥β，则l⊥α
C.若α⊥β，则l∥α D.若l⊥m，则m∥β
答案 AB
解析 对于A，由l⊥β，m⊥β，可得l∥m，故A正确；
对于B，若l⊥β，α∥β，可得l⊥α，故B正确；
对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l α，故C错误；
对于D，若l⊥β，l⊥m，则m∥β或m β，故D错误.
⊂
4.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A B C D ，M，N分
⊂ 1 1 1 1
别是A D，D B的中点，则( )
1 1
A.直线A D与直线D B垂直，直线MN∥平面ABCD
1 1
B.直线A D与直线D B平行，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
C.直线A D与直线D B相交，直线MN∥平面ABCD
1 1
D.直线A D与直线D B异面，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
答案 A
解析 连接AD (图略)，则易得点M在AD 上，且M为AD 的中点，AD ⊥A D.
1 1 1 1 1
因为AB⊥平面AA D D，A D 平面AA D D，所以AB⊥A D，
1 1 1 1 1 1
又AB∩AD ＝A，AB，AD 平面ABD ，
1 1 ⊂ 1
所以A D⊥平面ABD ，又BD 平面ABD ，显然A D与BD 异面，所以A D与
1 1 ⊂ 1 1 1 1 1
BD 异面且垂直.
1 ⊂在△ABD 中，由中位线定理可得MN∥AB，
1
又MN⊄平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
⊂
易知直线AB与平面BB D D成45°角，
1 1
所以MN与平面BB D D不垂直.
1 1
所以选项A正确.
5.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆
上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一
点，则下列判断中正确的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
答案 ABD
解析 对于A，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，而 BC 底面圆面，则
PA⊥BC，
⊂
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
则BC⊥平面PAC，所以A正确；
⊂
对于B，由A项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PCB，
所以AE⊥平面PCB.而EF 平面PCB，
⊂
所以AE⊥EF，所以B正确；
⊂
对于C，由B项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，
所以AC⊥PB不成立，所以C错误；
对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE 平面AEF，
由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确.
⊂
6.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，图1
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O
为△ABC的外心.
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，
PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB.又AB 平面PAB，
⊂
图2
所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG 平面
PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为
⊂
△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.考点一 直线、平面垂直的判定与性质
例 1 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中
点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
⊂
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
⊂
可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
⊂
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
⊂
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
感悟提升 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；
③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性
质.
训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，
AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，
PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB.
⊂又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
⊂
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
⊂
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，
PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，
∴PD⊥AM.
⊂
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD 平面PBD，
∴AM⊥平面PBD.
⊂
又AM 平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD.
⊂
(2)解 ∵M为BC的中点，∴BM＝AD.
由题意可知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD 平面PBD，
∴AM⊥BD，
⊂
由∠BAM＋∠MAD＝90°，
∠MAD＋∠ADB＝90°，
得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，
所以＝，即＝，得AD＝，
所以S ＝AD·DC＝×1＝，
矩形ABCD
则四棱锥P－ABCD的体积V ＝S ·PD＝××1＝.
P－ABCD 矩形ABCD
感悟提升 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(i)面面垂直的定义；
(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
⊂ ⇒②一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂
线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意
“平面内的直线”.
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.
训练2 如图，在三棱柱ABC－A B C 中，∠ACB＝∠AA C＝
1 1 1 1
90°，平面AA C C⊥平面ABC.
1 1
(1)求证：AA ⊥A B；
1 1
(2)若AA ＝2，BC＝3，∠A AC＝60°，求点C到平面A ABB 的距离.
1 1 1 1
(1)证明 因为平面AA C C⊥平面ABC，平面AA C C∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
1 1 1 1
所以BC⊥平面AA C C.
1 1
又AA 平面AA C C，
1 1 1
所以BC⊥AA .
⊂ 1
因为∠AA C＝90°，所以AA ⊥A C.
1 1 1
又因为BC∩A C＝C，
1
所以AA ⊥平面A BC.又A B 平面A BC，
1 1 1 1
所以AA ⊥A B.
1 1 ⊂
(2)解 由(1)可知A A⊥平面A BC，A A 平面A ABB ，
1 1 1 1 1
所以平面A BC⊥平面A ABB ，且交线为A B，
1 1 1 ⊂ 1
所以点C到平面A ABB 的距离等于△CA B的A B边上的高，设其为h.
1 1 1 1
在Rt△AA C中，A A＝2，∠A AC＝60°，则A C＝2.
1 1 1 1
由(1)得BC⊥A C，
1
所以在Rt△A CB中，BC＝3，A B＝，
1 1
h＝＝＝.
故点C到平面A ABB 的距离为.
1 1
考点三 平行、垂直关系的综合应用
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平
面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为
AD，PB的中点.求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
⊂
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
⊂
所以PD⊥平面PAB.又PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
⊂
(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEFG为平行四边形，
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
⊂
感悟提升 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直
间的转化.求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般
要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步
转化为线线垂直.
训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点
E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
证明 (1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC，CD 平面PDC，
⊂所以AB∥平面PDC.
又因为AB 平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.
⊂
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，
所以AB⊥AF.又AB⊥AD，
由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD.
⊂
又AB 平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
⊂
几何法求空间角
一、几何法求线面角
求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，
关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆
周上不同于A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为
时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)证明 ∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.
∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
⊂
∴△BPC是直角三角形.
(2)解 如图，过A作AH⊥PC于H，
连接BH，
∵BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AH.
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
⊂∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，
∴tan∠PCA＝＝，
又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC中，AH＝＝，
∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
二、几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作
另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二
面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为
2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中
点，PN⊥AB.
(1)求三棱锥P－AMN的体积；
(2)求二面角M－AN－D的正切值.
解 (1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，
又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，
AB，BC 平面ABCD，
∴PN⊥平面ABCD.
⊂
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M为PD的中点，∴PN＝，
V ＝V ＝V ，
P－AMN D－AMN M－ADN
∴V ＝V ＝V ＝××4×＝.
P－AMN P－ADN P－ABCD
(2)如图，取DN的中点E，连接ME，
∵M，E分别为PD，DN的中点，
∴ME∥PN.∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.
过E作EQ⊥AN，连接MQ，
又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，
∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，
∠MQE即为二面角M－AN－D的平面角，
∴tan∠MQE＝.
∵PN＝，∴ME＝.
∵AN＝DN＝，AD＝2，
∴QE＝×＝，
∴tan∠MQE＝.
即该二面角的正切值为.
1.(2021·北京丰台区二模)已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，
下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B.若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C.若a∥α，b∥α，则a∥b
D.若a∥α，a∥β，则α∥β
答案 B
解析 A中，若α⊥γ，β⊥γ，α，β可能相交也可能平行，错误；
B中，a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质可判断a∥b，正确；
C中，若a∥α，b∥α，a，b的位置不定，错误；
D中，若a∥α，a∥β，α，β可能相交也可能平行，错误.
2.(2022·广州一模)已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列
条件中，可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m，l⊥n，m α，n α
B.l⊥m，m∥α
⊂ ⊂
C.α⊥β，l∥β
D.l∥m，m⊥α
答案 D解析 对于A，l⊥m，l⊥n，m α，n α，则l与α相交、平行或l α，故A错误；
对于B，l⊥m，m∥α，则l与α相交、平行或l α，故B错误；
⊂ ⊂ ⊂
对于C，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l α，故C错误；
⊂
对于D，l∥m，m⊥α，则l⊥α，故D正确.
⊂
3.在正方体ABCD－A B C D 中，E，F分别为AB，B C的中点，则EF与平面
1 1 1 1 1
ABCD所成角的正切值为( )
A.2 B. C. D.
答案 D
解析 如图，取BC的中点O，连接OE，OF，
∵F是B C的中点，
1
∴OF∥B B，
1
∴FO⊥平面ABCD，
∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角.
设正方体的棱长为2，则FO＝1，EO＝，
∴EF与平面ABCD所成的角的正切值为.
4.如图，在斜三棱柱ABC－A B C 中，∠BAC＝90°，BC ⊥AC，
1 1 1 1
则C 在底面ABC上的射影H必在( )
1
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
答案 A
解析 由AC⊥AB，AC⊥BC ，
1
得AC⊥平面ABC .
1
因为AC 平面ABC，
所以平面ABC ⊥平面ABC，
⊂ 1
所以C 在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
1
5.(多选)(2021·南京二模)在正方体ABCD－A B C D 中，设M为BC的中点，则下
1 1 1 1
列说法不正确的是( )
A.A M⊥BD
1
B.A M∥平面CC D D
1 1 1
C.A M⊥AB
1 1
D.A M⊥平面ABC D
1 1 1
答案 ABD解析 如图，在正方体ABCD－A B C D 中，
1 1 1 1
对于 A，假设 A M⊥BD，因为 A A⊥平面 ABCD，所以
1 1
A A⊥BD，又 A A∩A M＝A ，所以 BD⊥平面 A AM，所以
1 1 1 1 1
BD⊥AM.而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不正确，故A不正
确；
对于B，假设A M∥平面CC D D，因为平面A MCD ∩平面CC D D＝CD ，A M⊄
1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面CC D D，所以A M∥CD .因为A B∥CD ，所以A M∥A B，显然不正确，故B
1 1 1 1 1 1 1 1
不正确；
对于C，因为MB⊥平面ABB A ，所以MB⊥AB .又A B⊥AB ，A B∩BM＝B，所以
1 1 1 1 1 1
AB ⊥平面A BM，所以A M⊥AB ，故C正确；
1 1 1 1
对于D，假设A M⊥平面ABC D ，因为A D⊥AD ，A D⊥AB，且AB∩AD ＝A，所
1 1 1 1 1 1 1
以A D⊥平面ABC D ，所以A M∥A D，显然不成立，故D不正确.
1 1 1 1 1
6.(多选)(2021·广州调研)如图，在长方体 ABCD－A B C D 中，
1 1 1 1
AA ＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C D ，CC 的中点，则(
1 1 1 1
)
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD C
1 1
C.直线BN与B M所成的角为60°
1
D.BN∥平面ADM
答案 BC
解析 如图所示，对于A中，直线AM，BN是异面直线，故A，
M，N，B四点不共面，故A错误；
对于 B 中，在长方体 ABCD－A B C D 中，可得 AD⊥平面
1 1 1 1
CDD C ，所以平面ADM⊥平面CDD C ，故B正确；
1 1 1 1
对于C中，取CD的中点O，连接BO，ON，则B M∥BO，所以直
1
线BN与B M所成的角为∠NBO.易知三角形BON为等边三角形，所以∠NBO＝
1
60°，故C正确；
对于D中，因为BN∥平面AA D D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.
1 1
7.已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m α；(4)α⊥β；
(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填
⊂
所选条件的序号)
答案 (3)(5) (2)(5)
解析 根据面面平行的特征可得，若m α，α∥β，则m∥β；
⊂根据线面垂直以及面面平行的特征可得，
若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
8.如图，三棱柱ABC－A B C 的底面是边长为2的正三角形，AA ＝3，AA ⊥AC，D
1 1 1 1 1
为A C 的中点，BD＝3，则二面角A －AC－B的正切值为________.
1 1 1
答案 －
解析 取AC的中点E，连接ED，EB.
∵D为A C 的中点，
1 1
△ABC是边长为2的正三角形，
∴DE＝AA ＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC，
1
∴∠BED为二面角A －AC－B的平面角.
1
在△BED中，DE＝3，BE＝3，BD＝3，
∴由余弦定理得
cos∠BED＝＝－，
∴∠BED＝120°，∴tan∠BED＝－.
9.如图，在直三棱柱ABC－A B C 中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，
1 1 1
∠ACB＝90°，D是A B 的中点，F是BB 上的动点，AB ，DF交于
1 1 1 1
点E，要使AB ⊥平面C DF，则线段B F的长为________.
1 1 1
答案
解析 设B F＝x，
1
因为AB ⊥平面C DF，DF 平面C DF，
1 1 1
所以AB ⊥DF.
1 ⊂
由已知可得A B ＝，
1 1
设Rt△AA B 斜边AB 上的高为h，
1 1 1
则DE＝h.
又×2×＝×h，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DB E中，B E＝＝.
1 1
由△B DF的面积相等得××＝×x，得x＝.
110.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE
＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为AC的中点.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.
(1)证明 因为AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，
由余弦定理得
BE＝＝，
所以AB2＋BE2＝AE2，所以BE⊥AB.
由于平面ABCD⊥平面ABE，且两个平面相交于AB，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又因为AC⊥BF，BE∩BF＝B，BE，BF 平面BEF，
所以AC⊥平面BEF.
⊂
(2)解 根据V ＝V ，S ＝，AC＝，EA＝EC＝2，则S ＝.
D－ACE E－ACD △ACD △ACE
因为V ＝V ，设D到平面ACE的距离为h，
D－ACE E－ACD
则·S ·h＝·S ·BE，
△ACE △ACD
解得h＝.
设直线AD与平面ACE所成的角为θ，
则sin θ＝＝.
所以直线AD与平面ACE所成的角的正弦值为.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD
是边长为 2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面
PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长.
(1)证明 如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角
形，则AE⊥BD.
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE
平面ABCD，
⊂
故AE⊥平面PBD.
∵PD 平面PBD，故AE⊥PD.
∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB 平面ABCD，
⊂
故PD⊥平面ABCD.
⊂(2)解 如图所示，过点E作EF⊥PB于点F，连接CF.
∵BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，故EC⊥BD，
故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.
又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，
∴CF⊥PB，
故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角.
∵cos∠EFC＝，
故tan∠EFC＝，又EC＝1，故EF＝，
sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝，
即＝，则PD＝1.
12.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中
点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为2.
对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线
OP，MN所成的角.在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan ∠POC＝＝，故
MN⊥OP不成立，故A错误；
图(1)
对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MN，PQ⊥MN，所以MN⊥平面OPQ，又OP 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；
⊂
图(2)
对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，
故C正确；
图(3)
对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则
AC∥MN.因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其补角)为异面
直线PO，MN所成的角.
图(4)
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，PO＝＝＝，QO2
