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第 3 节 圆的方程
考试要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标
准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
(x－a)2＋(y－b)2＝ 圆心C(a，b)
标准
r2(r＞0) 半径为r
方
x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
程
一般 F＝0 圆心坐标：
(D2＋E2－4F＞0) 半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x ，y )与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x －a)2＋(y －b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x －a)2＋(y －b)2＝r2 M在圆上；
⇔ 0 0 ⇔
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x －a)2＋(y －b)2＜r2 M在圆内.
⇔ 0 0 ⇔
⇔ ⇔
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x ，y )，B(x ，y )为直径端点的圆的方程为(x－x )·(x－x )＋(y－y )(y－y )＝0.
1 1 2 2 1 2 1 2
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2
＋E2－4AF>0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.
2.(易错题)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A.a＜－2 B.－＜a＜0
C.－2＜a＜0 D.－2＜a＜
答案 D
解析 由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，∴
－2＜a＜.
3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以
b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝
1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
4.(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的有( )
A.圆M的圆心坐标为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
答案 ABD
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，圆的圆心
坐标为(4，－3)，半径为5，显然C不正确，ABD均正确.
5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值
为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 A
解析 由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距
离最小且最小值为d ＝－1＝4.
min
6.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x－y－3
＝0的距离为( )A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0).
∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；
当a＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
考点一 圆的方程
例1 (1)(多选)(2021·济南质检)已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，且
被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x＋y＝0的距离最小时，圆C的方程为(
)
A.(x＋4)2＋(y－)2＝20
B.(x－4)2＋(y＋)2＝20
C.(x＋4)2＋(y＋)2＝20
D.(x－4)2＋(y－)2＝20
答案 AB
解析 设圆心为C(a，b)，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则
其中劣弧所对圆心角为120°，
由圆的性质可得r＝2|b|，
又圆被y轴截得的弦长为4，∴a2＋4＝r2，∴a2＋4＝4b2，变形为b2－＝1，
即C(a，b)在双曲线y2－＝1上，
易知双曲线y2－＝1上与直线x＋y＝0平行的切线的切点为(a，b)，此点到直线x
＋y＝0的距离最小.
设切线方程为x＋y＝m，
由
消去y得x2＋8mx－(4m2－20)＝0，
∴Δ＝64m2＋4(4m2－20)＝0，解得m＝±1，
m＝1时，m＝－1时，
即切点为(－4，)或(4，－)，半径为r＝2，
∴圆的方程为(x＋4)2＋(y－)2＝20或(x－4)2＋(y＋)2＝20.
(2)(2022·武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程
为________.
答案 (x－4)2＋(y－6)2＝4
解析 设对称圆的圆心为(m，n)，
则解得所以所求圆的圆心为(4，6)，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方
程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆
的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
训练1 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为
________________.
答案 x2＋y2－2x＝0
解析 法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则k ＝1，k ＝－1，所以k ·k ＝－1，即
OA AB OA AB
OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径
则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y
－3＝0所得的弦长为，则圆C的方程为________.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距
离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离
d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
考点二 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何意义求最值
例2 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
解 (1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共
点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小
值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆
心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
角度2 利用对称性求最值
例3 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，
则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，所以
解得故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|
PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
角度3 建立函数关系求最值
例4 (2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，
B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________.
答案 12
解析 由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋
1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
所以，当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
感悟提升 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，
利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问
题；
②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a，b)的距离的
平方的最值问题.
训练 2 (1)已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，则 x2＋y2的最大值为
________，最小值为________.
答案 7＋4 7－4
解析 x2＋y2表示圆(x－2)2＋y2＝3上的一点与原点距离的平
方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处
取得最大值和最小值(如图).
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
(2)已知圆C ：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C ：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C ，
1 2 1
C 上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
2
答案 5－4解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC |－1，同理|PN|的最小值为|
1
PC |－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC |＋|PC |－4.
2 1 2
作C 关于x轴的对称点C ′(2，－3)，
1 1
所以|PC |＋|PC |＝|PC ′|＋|PC |≥|C ′C |＝5，
1 2 1 2 1 2
即|PM|＋|PN|＝|PC |＋|PC |－4≥5－4.
1 2
(3)已知圆O：x2＋y2＝9，若过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则△OPQ
的面积最大值为________.
答案
解析 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，－)，
所以S ＝×2×2＝2.
△OPQ
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线PQ的距离d
＝，
由平面几何知识得|PQ|＝2，
S ＝·|PQ|·d＝·2·d＝≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S 取得最大值.
△OPQ △OPQ
因为2＜，所以S 的最大值为.
△OPQ
考点三 与圆有关的轨迹问题
例5 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行
四边形MONP，求点P的轨迹方程.
解 如图，设P(x，y)，
N(x ，y )，
0 0
则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为
.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又点N(x ，y )在圆x2＋y2＝4上，
0 0
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
训练3 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以k ·k ＝－1，
AC BC
又k ＝，k ＝，所以·＝－1，
AC BC
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|
CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由
于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x ，y )，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x
0 0
＝，y＝，
所以x ＝2x－3，y ＝2y.
0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x ＝2x－3，y ＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
0 0
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
2.圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y－1)2＝5B.(x－1)2＋(y－3)2＝5
C.(x＋1)2＋(y＋3)2＝5
D.(x－1)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 圆(x－3)2＋(y－1)2＝5的圆心(3，1)关于直线y＝－x对称点为(－1，－3)，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.
3.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A.(－∞，－)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 B
解析 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任意一点为(x ，y )，中点为(x，y)，则所以代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2
1 1
＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点
为M(0，1)，则实数a的取值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 AB
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a＜5.
又因为弦AB的中点为M(0，1)，
故M点在圆内，
所以(0＋1)2＋(1－2)2＜5－a，即a＜3.
综上a＜3.故选AB.
6.(2022·广州调研)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为( )
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
答案 C
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
将P，Q两点的坐标代入得
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， ③
设x ，x 是方程③的两根，由|x －x |＝6得D2－4F＝36， ④
1 2 1 2
由①②④得或
故所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
7.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的
值为________.
答案 2
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1，
3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
8.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP
的面积的最小值为________.
答案
解析 求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直
线AB的距离减去半径.
直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，
圆x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，
∵圆心到直线AB的距离为
d＝＝，
∴P到直线AB的最小值为－1＝，
∵|AB|＝5，
△ABP面积的最小值为×5×＝.
9.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动
点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
答案 5－3解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝
1，
则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝－3＝5－3.
10.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ| ＝4＋2＝6，
max
|MQ| ＝4－2＝2.
min
(2)可知表示直线MQ的斜率k，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
11.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，
线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y).
由题设知CM·MP＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O
在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S ＝××＝，
△POM
故△POM的面积为.
12.(多选)设有一组圆C ：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
k
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆C 均不经过点(3，0)
k
C.经过点(2，2)的圆C 有且只有一个
k
D.所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根， ∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆C 有两个，C错误；
k
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
13.(2022·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的
半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得
∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________.
答案 [－16，4]
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2，0)，半径为r＝，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的
两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，
∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝.
所以＝≥，解得－16≤m≤4.14.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B
两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为
y＝k(x－1)(k>0).
设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x ＋x ＝.
1 2
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x ＋1)＋(x ＋1)＝.
1 2
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－
3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x ，y )，则
0 0
解得或
圆的半径为x ＋＝4或12，
0
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
