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第 1 节 导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际
背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义求基本初等函数
的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的
导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝
f(x)在x＝x 处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x 处的导数(也称瞬时变
0 0
化率)，记作 f ′( x )或 y ′ | ，即f′(x )＝ ＝ .
0 x＝x0 0
(2)当x＝x 时，f′(x )是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们
0 0
称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点P(x ，f(x ))处的切
0 0 0
线的斜率，相应的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′( x )( x － x ).
0 0 0
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x f′(x)＝ － si n__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝ a x ln __af(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝log x(a＞0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ cf ′( x ) .
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f ( g ( x )) .
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y ′＝
x
y ′· u ′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
u x
1.f′(x )代表函数f(x)在x＝x 处的导数值；(f(x ))′是函数值f(x )的导数，则(f(x ))′＝
0 0 0 0 0
0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只
有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化
的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越
“陡”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x )是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率.( )
0 0
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( )
(3)求f′(x )时，可先求f(x )，再求f′(x ).( )
0 0 0
(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)f′(x )表示y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率，(1)错.
0 0
(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.(3)求f′(x )时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.
0
(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为
切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组
的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不
止一条，(4)错.
2.(多选)下列导数的运算中正确的是( )
A.(3x)′＝3xln 3
B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝
D.(sin xcos x)′＝cos 2x
答案 ABD
解析 因为′＝，所以C项错误，其余都正确.
3.(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________.
答案 y＝5x＋2
解析 y′＝′＝＝，所以y′| ＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋
x＝－1
2.
4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.
答案 1
解析 由f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1.
5.(2022·湖北九师联盟质量检测)已知函数f(x)＝x2＋xln x的图象在点(1，f(1))处的
切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________.
答案
解析 因为f(x)＝x2＋xln x，所以f′(x)＝2x＋ln x＋1，切线斜率k＝f′(1)＝2＋1＝3，
又该切线与直线x－ay－1＝0平行，所以＝3，所以a＝.
6.(易错题)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为________.
答案 y＝0或27x－4y＝0
解析 函数y＝(x－1)3的导数为
y′＝3(x－1)2，
设过原点的切线的切点坐标为(x ，(x －1)3)，
0 0
则切线的斜率为k＝y′| ＝3(x －1)2.
x＝x0 0
∵切线过原点(0，0)，
∴k＝3(x －1)2＝，
0
解得x ＝1或x ＝－，
0 0则切点坐标为(1，0)或，对应的斜率k＝0或k＝，
∴对应的切线方程为
y＝0或y＋＝，
即y＝0或27x－4y＝0.
考点一 导数的运算
1.已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝( )
A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x
答案 A
解析 f′(x)＝－2sin 2x＋2e2x，选A.
2.(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x ∈R使得f(x )＝f′(x )，则称x 是
0 0 0 0
f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x
答案 AC
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符
合要求；
若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的
图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故
C符合要求；
若f(x)＝tan x，则f′ (x)＝′＝，
令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求.故选
AC.
3.若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝________.
答案 －
解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－2f′(1)x＋3，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋3，解得f′(1)＝，
所以f′(x)＝－x＋3，将x＝3代入f′(x)，可得f′(3)＝－.
4.求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商
再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
考点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例1 (1)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的
方程为________.
答案 2x－y＝0
解析 设切点坐标为(x ，y )，
0 0
∵y＝ln x＋x＋1，所以y′＝＋1，
∴切线的斜率为＋1＝2，解得x ＝1，
0
∴y ＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，
0
∴切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
(2)设函数f(x)＝x3＋，则曲线y＝f(x)过P(2，4)的切线方程为________.
答案 x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
解析 设切点为，因为f′(x)＝x2，所以f′(x )＝x，从而得到切点处的切线方程为y－
0
＝x(x－x )，将(2，4)代入，化简得到x－3x＋4＝0，即(x ＋1)(x －2)2＝0，解得x ＝
0 0 0 0
－1或x ＝2.当x ＝－1时，切线方程为x－y＋2＝0；当x ＝2时，切线方程为4x
0 0 0
－y－4＝0.
角度2 求曲线的切点坐标
例2 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线
经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.答案 (e，1)
解析 设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).
又切线过点(－e，－1)，
所以有n＋1＝(m＋e).
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1).
角度3 导数与函数图象问题
例3 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切
线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
答案 0
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题意可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
感悟提升 1.求曲线在点P(x ，y )处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在
0 0
P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线
垂直于x轴，切线方程为x＝x .
0
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处
的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点
坐标是解题的关键.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其
导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数 y＝f(x)图象的切线的斜率先
增大后减小，故选B.
(2)(2021·杭州二模)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.2x－ey＝0 B.2x＋ey＝0
C.ex－2y＝0 D.ex＋2y＝0
答案 A
解析 对f(x)＝2ln x求导得f′(x)＝，切线l的斜率k＝f′(t)＝，又直线l过原点，所
以k＝＝，从而有ln t＝1，∴t＝e，从而得到k＝，故切线l的方程为y＝x，即2x－
ey＝0.故选A.
(3)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，
则( )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 因为y′＝aex＋ln x＋1，
所以k＝y′| ＝ae＋1，
x＝1
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为
y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
所以解得
考点三 导数几何意义的应用
例4 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A.eb0，则切线方程为y－b＝ex0(x－a).由得ex0(1－x
0 0 0 0＋a)＝b，则由题意知关于x 的方程ex0(1－x ＋a)＝b有两个不同的解.
0 0
设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a).由f′(x)＝0得x＝a，所
以当x0，f(x)单调递增，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x) ＝
max
f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea.当x0，所以f(x)>0，又当x→－∞时，f(x)→0，当
x→＋∞时，f(x)→－∞，故函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，
由题意知f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0f(4) D.以上都不对
答案 B
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，
故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(0)＝f(4)＝3.
4.(2021·辽宁百校联盟质检)函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0
C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0
答案 C
解析 f′(x)＝，所以f′(1)＝2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为
2，切点为(1，e－2)，则切线方程为y－(e－2)＝2(x－1)，即2x－y＋e－4＝0.
5.已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设切点坐标为(x ，ln x )，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x
0 0 0
＝(x－x )，即y＝＋ln x －1.由题意可知解得a＝.
0 0
6.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下
列结论正确的是( )
A.f′(3)＞f′(2)
B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3)
D.f(3)－f(2)＜f′(2)
答案 BCD
解析 f′(x )的几何意义是f(x)在x＝x 处的切线的斜率.由图知f′(2)＞f′(3)＞0，故
0 0
A错误，B正确.设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝＝k ，由图知f′(3)＜k ＜
AB AB
f′(2)，即f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故C，D正确.
7.(2022·武汉一模)已知函数f(x)＝ax2＋ln x满足 ＝2，则曲线y＝f(x)在点处的
切线斜率为________.
答案 3
解析 易知f′(x)＝2ax＋，
由 ＝2，
可得 ＝2，
即f′(1)＝2，所以f′(1)＝3，可得3＝2a＋1，解得a＝1，故f′(x)＝2x＋，
故f′＝2×＋2＝3.
8.已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝________.答案 2
解析 f′(x)＝＋excos x－exsin x＝＋excos x－exsin x，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝
2.
9.已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为
________.
答案 －4
解析 ∵f(x)＝，∴f′(x)＝－，
设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k＝－，故切线方程为y－＝－(x－x )，即y＝
1
－x＋.
与g(x)＝x2联立，得x2＋x－＝0.
∵直线l与曲线g(x)相切，
∴－4＝0，
解得x ＝－，故斜率k＝－＝－4.
1
10.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋
2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.
所以a的取值范围为
∪.
11.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积
为定值，并求此定值.
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为
y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又∵f′(x)＝a＋，
∴解得∴f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x ，y )为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x ，y )处的
0 0 0 0
切线方程为y－＝(x－x ).令x＝0，得y＝－，∴切线与直线x＝0的交点坐标为.令
0
y＝x，得y＝x＝2x ，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x ，2x ).∴曲线y＝f(x)在
0 0 0
点P(x ，y )处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|－||2x |＝6.
0 0 0
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定
值，且此定值为6.
12.(2021·青岛二模)已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－
2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图所示，若使得|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sin
x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函
数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－.
∵0≤x≤π，解得x＝.
13.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝|ex－1|，x <0，x >0，函数f(x)的图象在点
1 2
A(x ，f(x ))和点B(x ，f(x ))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则
1 1 2 2
的取值范围是________.
答案 (0，1)
解析 由题意，f(x)＝|ex－1|
＝
则f′(x)＝
所以点A(x ，1－ex1)和点B(x ，ex2－1)，k ＝－ex1，k ＝ex2，
1 2 AM BN
所以－ex1·ex2＝－1，所以ex1＋x2＝1，所以x ＋x ＝0，
1 2
所以AM的方程为y－1＋ex1＝－ex1(x－x )，
1
M(0，ex1x －ex1＋1)，
1
所以|AM|＝
＝·|x |，
1
同理|BN|＝·|x |，
2
所以＝＝＝＝ex1∈(0，1).
14.(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
解 (1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－
4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，
解得x ＝，x ＝，
1 2
令f′(x)>0，则xx ；
1 2
令f′(x)<0，则x
