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第 2 节 函数的单调性与最大(小)值
考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其
实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果∀x ，x ∈D
1 2
当x ＜x 时，都有 f ( x ) ＜ f ( x )，那 当x ＜x 时，都有 f ( x ) ＞ f ( x )，
1 2 1 2 1 ⊆2 1 2
么就称函数f(x)在区间D上单调 那么就称函数f(x)在区间D上
定义
递增，特别地，当函数f(x)在它的 单调递减，特别地，当函数f(x)
定义域上单调递增时，我们就称 在它的定义域上单调递减时，
它是增函数 我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是下降的
自左向右看图象是上升的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一
区间具有(严格的)单调性， 区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1) x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ； (1) x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2) x ∈I，使得 f ( x ) ＝ M (2) x ∈I，使得 f ( x ) ＝ M
∀ 0 0 ∀ 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
∃ ∃
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，得－22时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
感悟提升 1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基
本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求
出最值.
训练1 (1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________.
答案 [3，＋∞)
解析 函数y＝
作出函数的图象如图所示.
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).
(2)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为 M，
m，则＝________.
答案
解析 ∵f(x)＝＝＝2＋在[3，4]上单调递减，
∴f(x) ＝f(4)＝4，f(x) ＝f(3)＝6，
min max
∴M＝6，m＝4，∴＝＝.
考点三 函数单调性的应用
角度1 比较函数值的大小
例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A.f＞f(2－)＞f(2－)
B.f＞f(2－)＞f(2－)C.f(2－)＞f(2－)＞f
D.f(2－)＞f(2－)＞f
答案 C
解析 f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，
则f＝f(－log 4)＝f(log 4).
3 3
又log 4＞1，0＜2－＜2－＜1，
3
∴f(log 4)＜f(2－)＜f(2－)，
3
即f(2－)＞f(2－)＞f.
感悟提升 利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应
将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.
角度2 解函数不等式
例3 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，
且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递
减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象
如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
[－1，0]∪[1，3].
(2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.
答案 (－，－2)∪(2，)
解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝
2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)2b B.a<2b
C.a>b2 D.a0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
答案 A
解析 原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，
设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增，
即f(x)0，所以A正确，B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )
A.y＝|x| B.y＝x＋3
C.y＝ D.y＝－x2＋4
答案 AB
解析 函数y＝与y＝－x2＋4在(0，1)都是减函数，故选AB.
2.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A. B.－ C.－2 D.2
答案 A
解析 易知f(x)＝－x＋在上单调递减，故其最大值为f(－2)＝.
3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－
3)的大小关系是( )
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
答案 A
解析 因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2).
4.(2021·武汉一模)已知函数f(x)＝log (－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则
a
此函数的单调递增区间是( )
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.[－1，1) D.(－3，－1]
答案 C
解析 令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域
为{x|－3＜x＜1}.
根据f(0)＝log 3＜0，可得0＜a＜1.
a又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，
所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).
5.如果函数f(x)＝满足对任意x ≠x ，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是(
1 2
)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(1，＋∞) D.
答案 D
解析 因为对任意x ≠x ，
1 2
都有＞0，
所以y＝f(x)在R上是增函数，
所以解得≤a＜2.
故实数a的取值范围是.
6.(多选)已知函数f(x)＝log |x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则( )
a
A.0＜a＜1
B.a＞1
C.f(a＋2 021)＞f(2 022)
D.f(a＋2 021)＜f(2 022)
答案 AC
解析 f(x)＝log |x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
a
设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；
在(1，＋∞)上单调递增，
由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；
由于0＜a＜1，可得2 021＜a＋2 021＜2 022.
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f(a＋2 021)＞f(2 022)，故C正确，D错误.
7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
答案 (－∞，－1]和[0，1] (－1，0)和(1，＋∞)
解析 由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).
8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.
答案
解析 由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是
增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则
2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为.
9.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f，b＝f(log 4.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的
2
大小关系为________________.
答案 a＞b＞c
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，
∴a＝－f＝f＝f(log 5).
2
又f(x)在R上是增函数，
且log 5＞log 4.1＞log 4＝2＞20.8，
2 2 2
∴f(log 5)＞f(log 4.1)＞f(20.8)，
2 2
∴a＞b＞c.
10.函数f(x)＝log (1－x)＋log (x＋3)(00，2x ＋1>0，
1 2 1 2 1 2
∴f(x )－f(x )<0，即f(x )0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0，
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f(x) ＝f(2)＝lg.
min
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x) ＝h(2)＝2.
max
故a>2时，恒有f(x)>0.
故a的取值范围为(2，＋∞).
