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第 9 节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数
爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活
生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函
数模型在社会生活中的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax y＝log x y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随n值
图象 随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表
变化而
的变化 现为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行
各有不同
值的比较 存在一个x ，当x>x 时，有log x0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增
长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越
来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按
九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x ，使ax01)的增长速度会超过并远远大于 y＝
xa(a>0)的增长速度.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)如a＝x ＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
0
2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测
量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数
记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则
其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
解析 由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8，所以该同学视力的
小数记录法的数据约为0.8.
3.(多选)(2021·青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，
收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据
绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论正确的是( )
A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平
稳
答案 BCD
解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余全
部正确.
4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价
定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售
40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(
)
A.3.75元/瓶 B.7.5元/瓶
C.12元/瓶 D.6元/瓶
答案 D
解析 设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)·(9－x)＝－
80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值.
5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log x
2
答案 D
解析 当x＝0.99时，y＝0.01，可排除A，当x＝2.01时，y＝0.98，可排除B、C，故
选D.
6.(2022·北京丰台一模)大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa.1 Pa＝1 N/m2)，
大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p e－kh(k＝0.000 126 m－1)，p 是
0 0
海平面大气压强.已知在某高山A ，A 两处测得的大气压强分别为p ，p ，＝.那么
1 2 1 2
A ，A 两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 2≈0.693)( )
1 2
A.550 m B.1 818 m
C.5 500 m D.8 732 m
答案 C解析 ＝＝＝ek·h2－k·h1＝，故h －h ＝≈＝5 500 m.
1 2
考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
1.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了 2021年1月至
2021年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面
的折线图.
根据折线图，下列结论正确的是( )
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
答案 D
解析 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错
误；
月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；
月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D.
2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度
如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).答案 ①
解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率
可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；
不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；
两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.
3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前 10年的生长
规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长
时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；
②y＝a＋log t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的
2
关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________
米.
答案 ②
解析 由散点图的走势，知模型①不合适.
曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log t；③y＝t＋；④y＝＋，当t
2
＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②.
将t＝8代入②式，得y＝＋log 8＝(米).
2
感悟提升 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模
型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验
证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
考点二 已知函数模型解决实际问题
例1 (2021·承德二模)我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月
以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y＝
y ·ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y 表示t＝0时的人口数(单位：亿)，r表示
0 0
人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报
户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次
人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地
区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332＝177.688 9，12.432＝154.504 9)( )
A.14.30亿 B.15.20亿
C.14.62亿 D.15.72亿
答案 A
解析 由马尔萨斯人口增长模型，得13.33＝12.43e10r，即e10r＝，所以我国2020年
年末的全国总人口数约为y＝13.33e10r＝＝≈14.30(亿).
感悟提升 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练1 (2021·益阳二模)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是
小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表：
小数
0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0
记录x
五分
4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
记录y
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg，x表示小数记录
数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：
小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小
数记录数据为(参考数据：10－0.3≈0.5，5－0.22≈0.7，
10－0.1≈0.8)( )
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.8
答案 B
解析 由题中数据可知，当x＝1时，y＝5，两个函数模型都符合；
当x＝0.1时，由y＝5＋lg x，得y＝5＋lg 0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋lg
＝5.1，与表中的数据不符，
所以选择模型y＝5＋lg x更合适，
此时令y＝4.7，则lg x＝－0.3，
所以x＝10－0.3≈0.5.
考点三 构造函数模型解决实际问题
角度1 构造二次函数模型
例2 某城市对一种售价为每件 160元的商品征收附加税，税率为 R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取
值范围是( )
A.[4，8] B.[6，10]
C.[4%，8%] D.[6%，10%]
答案 A
解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
角度2 构造指数、对数函数模型
例3 (1)(2022·青岛检测)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有
的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(
)
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
解析 设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，
则有y＝.
依题意得≤.
则22x≥100，解得x≥4.
所以至少需要的年数是4.
(2)(2022·武汉检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：
dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约
为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课
时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )
A.1倍 B.10倍
C.100倍 D.1 000倍
答案 B
解析 设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x W/m2，x
1 2
W/m2，
根据题意得d(x )＝9lg＝63，解得x ＝10－6，d(x )＝9lg＝54，
1 1 2
解得x ＝10－7，所以＝10，
2
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
角度3 构建分段函数模型
例4 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万
元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝
6x＋－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售
完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售
收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是
多少？
解 (1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元.
当04.7，所以该次地震为“破坏性地震”.
(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E ，E .
1 2
由题意知，lg E ＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E ＝4.8＋1.5×9＝18.3，
1 2
即E ＝1016.8，E ＝1018.3，
1 2
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.
11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水
围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)
是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千
克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并
求出最大值.
解 (1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2；
当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，
显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，
f(x)＝
当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x) ＝f(4)＝4×2＝8；
max
当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x) ＝f(10)＝12.5.
max
所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千
克/立方米.
12.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术
问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊
桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行.L 点是平衡点，位于地月连线
2 2
的延长线上.设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离
1 2 2
为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
＋＝(R＋r).
设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A.R B.R
C.R D.R
答案 D
解析 由α＝得r＝αR，
代入＋＝(R＋r)，
整理得＝.又≈3α3，即3α3≈，
所以α≈，故r＝αR≈R.
13.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文
明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华
五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变
而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满
足N＝N ·2(N 表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来
0 0
的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此
推测良渚古城存在的时期距今约在 5 730 年到________年之间.(参考数据：lg
2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)
答案 6 876
解析 ∵N＝N ·2，∴当T＝5 730时，N＝N ·2－1＝N ，
0 0 0
∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的.
由题意可知2＞，两边同时取以2为底的对数得：log 2＞log ，∴＞＝≈－1.2，∴T
2 2
＜6 876，
∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间.
14.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享
单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要
投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝
4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万
元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 (1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，
故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益
为88万元.
