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第 6 节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成
自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算
工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y
＝ax与对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)互为反函数.
a
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中
a
a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R).
a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
a
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是
a
(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01时，y>0； 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 y ＝ log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它
a
们的图象关于直线 y ＝ x 对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)log b＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
a
(2)log bn＝log b(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
am a
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标
为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐
渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log x2＝2log x.( )
2 2
(2)函数y＝log (x＋1)是对数函数.( )
2
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若log x>log x，则a0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
a
答案 (2，2)
解析 当x＝2时，函数y＝log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定
a
点(2，2).
6.(易错题)已知函数f(x)＝log (2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围
a
是________.
答案
解析 由题意得
或解得＜a＜1.
考点一 对数的运算
1.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
答案 A
解析 由已知，得a＝log m，b＝log m，
2 5
则＋＝＋＝log 2＋log 5＝log 10＝2.
m m m
解得m＝.
2.计算：＝________.
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.3.已知a>b>1，若log b＋log a＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
a b
答案 4 2
解析 设log a＝t，则t>1，因为t＋＝，
b
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
b
所以b2b＝b 2，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
4.(多选)(2022·北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式C＝Wlog 是被广
2
泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最
大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部
的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.
根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)( )
A.若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍
B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪
声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍
C.若不改变信道带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，则C增加了25%
D.若不改变信道带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，则C大约增加了23.3%
答案 ACD
解析 A正确；
对于B，因为Wlog
2
≠Wlog ＝2Wlog ，所以B错误；
2 2
对于C，若将信噪比从255提升至1 023，则－1＝－1＝－1＝，所以C增加了
25%，所以C正确；
对于D，若将信噪比从999提升至4 999，则－1＝－1＝－1＝－1＝≈0.233，所以
D正确.
感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转
化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝log N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算
a
中应注意互化.
⇔
考点二 对数函数的图象及应用
例1 (1)(多选)(2021·重庆一模)a，b，c∈R，且b＞0，若ea＝ln b＝，则a，b，c的大小关系可以是( )
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.a＜c＜b
答案 ACD
解析 设ea＝ln b＝＝m，
如图，在同一坐标系中画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝的图象，
当直线y＝m与三者都相交时，交点的横坐标即为a，b，c的值，
由图知，当m从大到小时，依次出现c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c.故选ACD.
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的
取值范围是________.
答案 (1，＋∞)
解析 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a
的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交
点.
(3)已知函数f(x)＝|log x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上
2
的最大值为2，则＋b＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)＝|log x|，
2
∴f(x)的图象如图所示，
又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，
∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，
∴a2＜a，由图知，
f(x) ＝f(a2)＝|log a2|＝－2log a＝2，
max 2 2
∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4.
感悟提升 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特
殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法
求解.训练1 (1)图中曲线是对数函数y＝log x的图象，已知a取，，，四个值，则对应于
a
C ，C ，C ，C 的a值依次为( )
1 2 3 4
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案 A
解析 作直线y＝1，由log x＝1得x＝a，
a
则对应C ，C ，C ，C 的a值依次为，，，.
1 2 3 4
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log x恒成立，则a的取值范围是( )
a
A.(0，1) B.(1，2)
C.(1，2] D.
答案 C
解析 设f (x)＝(x－1)2，f (x)＝log x，
1 2 a
要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜log x恒成立，
a
只需在区间(1，2)上，f (x)＝(x－1)2的图象在f (x)＝log x的图象的下方即可.
1 2 a
当0＜a＜1时，显然不成立.
当a＞1时，如图所示，
要使在区间(1，2)上，f (x)＝(x－1)2的图象在f (x)＝log x的
1 2 a
图象的下方，
只需f (2)≤f (2)，即(2－1)2≤log 2，
1 2 a
所以log 2≥1，解得1＜a≤2.
a
考点三 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例2 (1)设a＝log 12，b＝log 15，c＝log 18，则( )
4 5 6
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
答案 A
解析 a＝1＋log 3，b＝1＋log 3，c＝1＋log 3，∵log 3＞log 3＞log 3，∴a＞b＞c.
4 5 6 4 5 6
(2)(2021·天津卷)设a＝log 0.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(
2)
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
答案 D
解析 ∵log 0.3＜log 1＝0，∴a＜0.
2 2
∵log0.4＝－log 0.4＝log ＞log 2＝1，∴b＞1.
2 2 2
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b.
角度2 解对数不等式
例3 (2022·湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递
减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log 8)的解集为________.
3
答案 ∪
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
所以可将f(log(2x－5))＞f(log 8)化为|log(2x－5)|＞|log 8|，
3 3
即log (2x－5)＞log 8或log (2x－5)＜－log 8＝log ，
3 3 3 3 3
即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.
角度3 对数函数性质的综合应用
例4 (1)(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 ACD
解析 f(x)＝ln，令＞0，
解得x＞或x＜－，
∴f(x)的定义域为∪，
又f(－x)＝ln ＝ln
＝ln＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误.
又f(x)＝ln ＝ln，
令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，
又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，
∴f(x)在上单调递减，故C正确；
∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确.
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(
)
A.[1，2) B.[1，2]
C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，
要使函数在(－∞，1]上递减，
则有即解得1≤a＜2，即a∈[1，2).
感悟提升 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单
调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨
论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函
数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练2 (1)(2022·济南调研)已知a＝log ，b＝30.7，c＝sin 3，则( )
3
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.b＞c＞a
答案 D
解析 因为log ＜log 1＝0，所以a＜0，
3 3
因为30.7＞30＝1，所以b＞1，
因为＜3＜π，所以0＜sin 3＜1，即0＜c＜1，
所以b＞c＞a.
(2)(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上的最大值为0
C.f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.f(x)的图象关于点(1，0)对称
答案 BC
解析 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0，2)，
f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，
令t＝－x2＋2x，y＝ln t，
∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确；
f(x) ＝f(1)＝0，故B正确；
max
∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，
∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确.
1.已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A.a20＝1，00，得x<－1或x>5.
令t＝x2－4x－5，则函数t＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递
增，函数y＝lg t为增函数，
故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则有(a，＋∞) (5，＋∞)，即
a≥5.
⊆
5.已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝log x的图象可能是( )
b
答案 C
解析 由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.
∴f(x)＝a－x＝＝bx，
因此f(x)＝bx与g(x)＝log x单调性相同.
b
A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.
6.(多选)(2021·临沂期末)若10a＝4，10b＝25，则( )
A.a＋b＝2 B.b－a＝1
C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg 6
答案 ACD
解析 由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝
2，故A正确；
b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＞lg 6且lg ＜1，故B错误，D正确；
ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5＞4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确.故选ACD.
7.若log 3＝mlog 3，则log m＝________.
4 2答案 －2
解析 ∵log 3＝log 3，
4 2
∴m＝，∴log m＝－2.
8.已知函数f(x)＝log (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实
a
数a的取值范围是________.
答案
解析 当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒
a
成立，
则f(x) ＝f(2)＝log (8－2a)>1，
min a
即8－2a>a，且8－2a>0，
解得11在区间[1，2]上恒成立，
知f(x) ＝f(1)＝log (8－a)>1，
min a
且8－2a>0.
∴8－a0，此时解集为∅.
综上可知，实数a的取值范围是.
9.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且am)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定
义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝log (a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为 R
⊆ a
的“成功函数”，则t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为g(x)＝log (a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”，
a所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，
即g(x)＝x有两个不相同的实数根.
又log (a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.
a
令s＝ax，s>0，
即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，
可得
解得00，使得f(x)有三个零点.
∃
以上正确结论的序号是________.
∃
答案 (1)(2)(4)
解析 零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.
令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，
可转化成两个函数y ＝|lg x|，y ＝kx＋2的图象的交点个数问题.
1 2
对于(1)，当k＝0时，y ＝2与y ＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正确；
2 1
对于(2)，存在k<0，使y ＝kx＋2与y ＝|lg x|的图象相切，(2)正确；
2 1
对于(3)，若k<0，y ＝|lg x|与y ＝kx＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；
1 2
对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的切线，此时共有两个
交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.
14.已知函数f(x)＝3－2log x，g(x)＝log x.
2 2
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)h(x)＝(4－2log x)log x
2 2
＝2－2(log x－1)2.
2
因为x∈[1，4]，所以log x∈[0，2]，
2
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log x)(3－log x)>k·log x，
2 2 2
令t＝log x，因为x∈[1，4]，
2
所以t＝log x∈[0，2]，
2所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).
