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第 6 节 正弦定理和余弦定理
考试要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B； ＝＝＝2R
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝
2 R sin __C；
cos A＝； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
常见变
cos B＝； (3)a∶b∶c＝
形
cos C＝ sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h (h 表示a边上的高).
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin
A>sin B cos Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角
三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
2.(2021·北京西城区一模)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(
)
A. B. C.6 D.5
答案 B
解析 因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝
1，
因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝62＋12－2×1×6×，解得c＝.
3.(2022·全国百校大联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方
程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是( )
A.45° B.60°
C.60°或120° D.45°或135°
答案 D解析 根据题意，得ab＝2，则×2×sin C＝，解得C＝45°或C＝135°.
4.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( )
A. B.2 C.4 D.8
答案 C
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，
得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝
＝，
所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.
5.(易错题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
6.(易错题)在△ABC中，角A，B，C，满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的
形状为________.
答案 直角三角形或等腰三角形
解析 由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝
90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
考点一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝
ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
(1)证明 因为BDsin∠ABC＝asin C，
所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b>0，所以BD＝b.(2)解 法一 如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，
所以＝＝2，
＝，
所以BE＝，DE＝a.
在△BDE中，cos∠BED＝
＝＝
＝.
在△ABC中，cos∠ABC＝
＝＝.
因为∠BED＝π－∠ABC，
所以cos∠BED＝－cos ∠ABC，
所以＝－，
化简得3c2＋6a2－11ac＝0，
方程两边同时除以a2，
得3－11＋6＝0，
解得＝或＝3.
当＝，即c＝a时，cos ∠ABC＝＝＝；
当＝3，即c＝3a时，
cos ∠ABC＝＝＝>1(舍).
综上，cos ∠ABC＝.
法二 因为AD＝2DC，
所以BD＝BC＋BA，
所以BD2＝BC2＋BC·BA＋BA2.
因为BD＝b，
所以b2＝a2＋accos∠ABC＋c2，
所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①
又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②
所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，
所以cos∠ABC＝＝－.
由①②知
所以11＝＋，
所以6－11×＋3＝0，解得＝或＝.当＝时，cos∠ABC＝－＝；
当＝时，cos∠ABC＝－＝(不合题意，舍去).
所以cos∠ABC＝.
感悟提升 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求
解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元
素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以
把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
训练1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则
A＝________.
答案 75°
解析 由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b0，
∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形.
考点三 和三角形面积有关的问题
例3 (2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝
60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案 2
解析 由题意得S ＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
△ABC
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
例4 (2022·湖北八校一联)在条件①btan A＝(2c－b)tan B，②cos 2A＋2cos2＝1，③
sin B＝2sin C中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2.
(1)求角A的值；
(2)求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 (1)若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝(2c
－b)tan B，
∴由正弦定理得sin B·＝(2sin C－sin B)·.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A.
∵sin C≠0，∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
若选②，∵cos 2A＋2cos2＝1，
化简可得2cos2A＋cos A＝1，
解得cos A＝或－1，且A∈(0，π)，
∴A＝.
若选③，∵sin B＝2sin C，
即sin B＝2sin C，
可得sin B＝2sin C，
即sin B·＝2sin C，
解得sin A＝.
又∵0＜A＜π，∴A＝或.
当A＝时，A是△ABC的最大内角，则边a为△ABC的最大力.则b＋c＝2a.
这与b＋c＝6，a＝2矛盾，因此A＝不合题意，舍掉，则A＝.
(2)由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.
由题知a＝2，b＋c＝6，∴bc＝4，
∴S ＝bcsin A＝×4×sin ＝.
△ABC
感悟提升 与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，
求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之
一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
训练3 (2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中
选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
解 选条件①：c＝7，cos A＝－，
且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S ＝absin C＝×8×3×＝6.
△ABC
选条件②：cos A＝，cos B＝，
且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得
＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝＝.
∴S ＝absin C＝×6×5×＝.
△ABC
射影定理的应用
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos
B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名
射影定理.
证明 如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcos C＝CD，ccos B
＝BD，
故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcos C＋ccos
B，
同理可证b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A.
例 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满
足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A.a＝2b B.b＝2a
C.A＝2B D.B＝2A
答案 A
解析 法一 因为sin B(1＋2cos C)
＝2sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin B＋2sin Bcos C
＝sin Acos C＋sin(A＋C)，
所以sin B＋2sin Bcos C
＝sin Acos C＋sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.
法二 由正弦定理和余弦定理得
b＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.
法三 由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝
2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又
因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.
1.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于( )
A.2 B.1 C. D.
答案 D
解析 由正弦定理＝⇒b＝＝.
2.(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A.1 B. C. D.3
答案 D
解析 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得
BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，
因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，
所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝，
所以C＝π－－＝.
4.(2021·株洲二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C
－3bcos C＝3ccos B，则角C的大小为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由正弦定理得 2sin Acos C－3sin Bcos C＝3sin Ccos B，即 2sin Acos C＝
3(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝3sin(B＋C)＝3sin A，
因为sin A≠0，所以cos C＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.
5.(2022·杭州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＋bcos
A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，则＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 在△ABC中，由正弦定理及acos B＋bcos A＝3ccos C.
得sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ccos C，
又sin C≠0，∴cos C＝；
由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0，得a2－c2＝－ab.
又由余弦定理得
cos C＝＝＝，
∴＝.
6.(多选)(2021·武汉调研)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列
四个命题中正确的是( )
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案 ACD
解析 ∵tan A＋tan B
＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)
＋tan C＝tan Atan Btan C＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC
是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，
∴选项D正确.
7.(2021·重庆诊断)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A
＝2B，则a＝________.答案
解析 A＝2B sin A＝sin 2B sin A＝2sin Bcos B，由正弦定理得a＝2bcos B，
又由余弦定理得a＝2b·，
⇒ ⇒
代入b＝2，c＝3，可得a2＝10，故a＝.
8.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百
步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求
三角形沙田的面积.则该沙田的面积为________平方里.
答案 84解析 由题意画出△ABC，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15
里，在△ABC中，由余弦定理得，cos B
＝＝＝，所以 sin B＝＝，则该沙田的面积 S＝AB·BC·sin B＝
×13×14×＝84(平方里).
9.(2021·广州调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(A＋C)＝
2csin Asin2 ，则角B的大小为________；若a＋c＝6，△ABC的面积为2，则b的值
为________.
答案 2
解析 由正弦定理可得
sin Asin Csin(A＋C)＝2sin C·sin Asin2 ，
∵sin Asin C≠0，A＋C＝π－B，
∴sin B＝2sin2 ，
即2sin cos ＝2sin2，
又0＜＜，故tan ＝，
∴＝，即B＝.
∵S ＝acsin B＝2，
△ABC
∴ac＝8，而a＋c＝6，
∴(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36，
∴a2＋c2＝20，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝20－8＝12，解得b＝2.
10.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解 (1)由题设及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为
×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C
＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得cos C＝
＝＝
<0，又a>0，
故解得0a＋2，可得a>1，故1
