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期末真题必刷常考提升 60 题（考题猜想，16 种热考题型）
一.一元二次方程的应用（共3题）
1．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长 ，宽 ，在绿地中开辟三
条道路后，剩余绿地的面积为 ，则图中 的值为 ．
2．（2024春•莱芜区期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．（1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是7.2万件，问月平均增
长率是多少？
（2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售
价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲
莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
3．（2023秋•准格尔旗期末）如图所示，四边形 为矩形， ， ，若点 从 点出
发沿 以 的速度向 运动， 从 点出发沿 以 的速度向 运动，如果 、 分别同时
出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为 ．
（1）当 为何值时， 的面积为 ？
（2）是否存在 使 为等腰三角形？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由．二．反比例函数的图象（共2题）
4．（2023秋•城关区校级期末）一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可
能是
A． B．
C． D．
5．（2023秋•霍林郭勒市校级期末）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数
与一次函数 在同一平面直角坐标系内的图象可能是A． B．
C． D．
三．反比例函数系数k的几何意义（共3题）
6．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数 图象经过正方形 的顶点 ， 边
与 轴交于点 ，若正方形 的面积为12， ，则 的值为
A．3 B． C． D．
7．（2023秋•涵江区期末）反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点 在 的图象
上，过点 作 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，交 的图象于点 ．当点
的横坐标逐渐变大时，四边形 的面积A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定
8．（2023秋•武城县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴正半轴上一点，过点 的直线
轴，且直线 分别与反比例函数 和 图象交于 ， 两点．若 ，则 的值为
．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共2题）
9．（2023 秋•富锦市校级期末）如图，直线 轴于点 ，且与反比例函数 及
的图象分别交于点 ， ，连接 ， ，已知 的值为8，则△ 的面积为
A．2 B．3 C．4 D．
10．（2023秋•信阳期末）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ，
， 的大小关系为
A． B． C． D．
五．反比例函数应用与综合（共4题）11．（2024春•萨尔图区校级期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某
天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 与时间 之间的函数关系如图所示，其中 段是
恒温阶段， 段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求 的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是
，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
12．（2023秋•太平区期末）如图1，点 ， 在反比例函数 上，作直线 ，交坐标轴于
点 、 ，连接 、 ．
（1）求反比例函数的表达式和 的值；
（2）求 的面积；
（3）如图2， 是线段 上一点，作 轴于点 ，过点 作 ，交反比例函数图象于点 ，
若 ，求出点 的坐标．13．（2023秋•武侯区校级期末）如图1，反比例函数 与一次函数 的图象交于
点 ，点 ，一次函数 与 轴相交于点 ．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接 ， ，求 的面积；
（3）如图2，点 是反比例函数图象上 点右侧一点，连接 ，把线段 绕点 顺时针旋转 ，点
的对应点 恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标．14．（2023秋•红旗区校级期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于 、 两点，与 轴相交于点 ，已知点 的坐标为 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 为反比例函数 图象上任意一点，若 ，求点 的坐标；
（3）直接写出不等式 的解集．六．二次函数的图象与性质（共8题）
15．（2023秋•和平区校级期末）函数 在平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
16．（2023秋•阳信县期末）若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，
则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．17．（2023秋•榆林期末）二次函数 在 的范围内有最小值为 ，则 的值为
A．3或 B． C． 或1 D．3
18．（2023秋•南昌期末）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
19．（2023秋•咸阳期末）若点 、 、 在抛物线 上，且 ，
则 的取值范围是
A． B． 或
C． 或 D． 或
20．（2023秋•修水县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一边 在 轴上，顶点 在 轴
正半轴上．若抛物线 经过点 、 ，则点 的坐标为 ．21．（2023秋•召陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 、 、 的坐标分别为
、 、 ．若抛物线 的图象与正方形 有公共点，则 的取值范围是
．
22．（2023秋•丰台区期末）平面直角坐标系 中，将抛物线 在 轴和 轴下方的部分记作 ，
将 沿 轴翻折记作 ， 和 构成的图形记作 ．关于图形 ，如图所示，以下三个结论中，正确的
序号是 ．
①图形 关于原点对称；
②图形 关于直线 对称；
③图形 的面积为 ，满足 ．
七．抛物线与x轴的交点（共2题）
23．（2024春•海曙区校级期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点， 为抛物线对称轴上动点，则 取最小值时，点 坐标是 ．24．（2023秋•城厢区期末）已知：如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴正半轴交
于点 ，点 在以 点为圆心，2个单位长度为半径的圆上， 点是 的中点，连接 ，则 的最小
值为 ．
八．二次函数的应用（共2题）
25．（2023秋•兴庆区校级期末）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷
灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1米，当喷射出的
水流与喷涨架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点 处，草坡上距离
的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树 ， 垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3
米．
（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响？（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
26．（2023秋•广平县校级期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方 的 处射门，已知球门
高 为 ，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为 时，球达到最
高点，此时球的竖直高度为 ．现以 为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
（1）求抛物线表示的二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点 在点 的正上方，且 ．运动员带球向点 的正后方移动了 米射门，若
运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点 与点 之间进球（包括端点），求 的取值
范围．九．二次函数综合题（共4题）
27．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，交
轴于点 ．连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上第二象限上一点，过 点作 于 ，当 有最大值时，求 点坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度后得到新的抛物线， 点在新抛物线的对称轴上， 点为
平面内一点，使以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，且 为菱形的一边，请写出 点坐标，并
以其中一个点 写出求解的过程．28．（2022秋•长丰县校级期末）已知：在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点，与 轴的另一交点为点 ．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 、 ，设直线 交线段 于点 ，
的面积为 ， 的面积为 ．当 时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，且点 的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点 ，使得以 、 、 为顶点的
三角形与 相似，如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．29．（2023秋•龙口市期末）如图1，已知抛物线 经过点 ， 两点，且与 轴
交于点 ．
（1）求 ， 的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点 ，使得 的面积最大？求出点 的坐标及 的面
积最大值．若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点 为线段 上一个动点（不与 ， 重合），经过 、 、 三点的圆与过点 且垂直
于 的直线交于点 ，当 面积取得最小值时，求点 坐标．30．（2023秋•头屯河区期末）如图，点 为二次函数 的顶点，直线 与该二次函
数图象交于 、 两点（点 在 轴上），与二次函数图象的对称轴交于点 ．
（1）求 的值及点 坐标；
（2）连接 、 ，求 ；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
请求出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．十．圆的有关性质（共2题）
31．（2023秋•东莞市校级期末）如图， 是 的直径， ，则 的度数是
A． B． C． D．
32．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而
盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的
弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？十一．切线的性质与判定（共5题）
33．（2023秋•江阳区期末）如图，在 中， ， ， ． 的半径为1，点
是 边上的动点，过点 作 的一条切线 ，点 为切点，则线段 长的最小值为 ．
34．（2023秋•驻马店期末）如图，在 中， ，点 是 边上一点，以 为直径的 与
边 相切于点 ，与边 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
35．（2023秋•梁溪区校级期末）如图， 是 的直径， 是弦， 是 的中点， 与 交于点
． 是 延长线上的一点，且 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）连接 ．若 ， ，求 的长．36．（2023 秋•东港区期末）如图， 是 的直径， 是 延长线上的一点，点 在 上，
，交 的延长线于点 ， 交 于点 ，且点 是 的中点．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．37．（2023秋•朝天区期末）如图，在 中，直径 弦 于点 ，点 是 延长线上一点，连接
， ， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，延长 交 于点 ，若 ， ，求图中阴影部分面积．
十二．正多边形和圆（共1题）
38．（2023秋•阳信县期末）如图，已知六边形 是 的内接正六边形， 的半径为3，连接
、 、 ，则图中阴影部分的面积是 ．
十三．旋转变换（共3题）
39．（2023秋•江津区期末）如图，正方形 的边长为4， ，将 绕点 按顺时针方
向旋转 得到 ．若 ，则 的长为A．3 B． C． D．4
40．（2023秋•黔南州期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，将
绕原点 顺时针方向旋转 ，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得
， ，得到△ ．将△ 绕原点顺时针方向旋转
，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得 ， ，得到
△ ， ，如此继续下去，得到△ ，则点 的坐标是 ．
41．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ 内有一点 ，若点 到顶点 、 、 的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，我们可以将△ 绕顶点 旋转到△ 处，此时△ △ ，这样就可以利用
旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ 中， ， ， 、 为 上的点且 ，求证：
；
（3）能力提升
如图③，在 △ 中， ， ， ，点 为 △ 内一点，连接 ，
， ，且 ，求 的值．
十四．相似三角形的性质与判定（共6题）
42．（2023秋•驻马店期末）如图，在 中， 为 上一点，连接 、 ，且 、 交于点
， ，则
A． B． C． D．
43．（2023 秋•梅河口市期末）如图，四边形 是正方形，点 在 的延长线上，连接 ，
交 于点 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则下列结论中：
① ；
② ；
③ ；
④若 ； ，则△ 的面积为 ．
其中正确的是 ．（将所有正确结论的序号填在横线上）44．（2023秋•金台区校级期末）在矩形 中， ， ，若点 是边 的中点，连接
，过点 作 于点 ，则 长为 ．
45．（2023秋•沈丘县期末）如图1， 中， ， ， ，动点 从点
出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的
速度向点 匀速运动，运动时间为 秒 ，连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）（如图 连接 ， ，若 ，求 的值．46．（2023 秋•越城区期末）如图，点 为线段 上一点，满足 ， ，
．
（1）求 长度；
（2）求证： ．
47．（2023秋•海口期末）如图，在 中， ， ，点 是 边上的一个动点，点
在 上，点 在运动过程中始终保持
．设 的长为 ．
（1）求证： ；
（2）用含 的代数式表示 的长；当 时，求 的值；
（3）当 为何值时， 为等腰三角形．十五．相似三角形的应用（共5题）
48．（2024秋•长春期末）延时课上，老师布置任务如下：让王林站在 点处去观测 外的位于 点处的
一棵大树 ，所用工具为一个平面镜 和必要的长度测量工具 、 、 在一直线上）．已知王林目
高 ，大树高 ，将平面镜 放置在离王林 处才能观测到大树的顶端．
A．1 B．2 C．3 D．4
49．（2023秋•东河区期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自
己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边
， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 为
A． B． C． D．
50．（2023秋•浑南区期末）如图，在小孔成像问题中，小孔 到物体 的距离是 ，小孔 到像
的距离是 ，若物体 的长为 ，则像 的长是 ．
51．（2023秋•龙口市期末）如图，小树 在路灯 的照射下形成树影 ．若树高 ，树影
，树与路灯的水平距离 ，则路灯的高度 为 ．52．（2023秋•莲湖区期末）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子
与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点 处，他在点 处正好在
镜中看到树尖 的像；第二次他把镜子放在点 处，他在点 处正好在镜中看到树尖 的像．已知
， ， ，小军的眼睛距地面 （即 ，量得 ，
， ．求这棵古松树的高度 ．（镜子大小忽略不计）
十六．解直角三角形及其应用（共8题）
53．（2023 秋•榆林期末）如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ，
．若 ， 分别为 、 的中点，则 的长为
A．2 B． C． D．4
54．（2023秋•槐荫区期末）如图，矩形 为一个正在倒水的水杯的截面图， ，杯中水面与 的交点为 ，当水杯底面 与水平面的夹角为 时，杯中水的最大深度为
A．9 B．15 C． D．
55．（2023秋•永州期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算 时，
如图，在 中， ， ，延长 使 ，连接 ，得 ，所以
．类比这种方法，计算 的值为 ．
56．（2023秋•平顶山期末）如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航行 至 港，然后再沿北偏西
方向航行至 港， 港在 港北偏东 方向，则 ， 两港之间的距离为 ．
57．（2022秋•南宫市期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知 米， 米， 与 的张角
为 ，为保证安全， 的调整范围是 ， 为固定张角 大小的绳索．（1）求绳索 长的最大值．
（2）若 时，求桑梯顶端 到地面 的距离．（参考数据： ， ，
，最后结果精确到0.01米）
58．（2023秋•宿迁期末）石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来
的模型， 是 的直径， 为 的切线，点 是 上的一点，连接 并延长 与 的延长
线交于点 ，连接 ，已知 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．59．（2023秋•南岸区期末）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 前有一座高为
的观景台，已知 ， 的坡度为 ，点 ， ， 在同一条水平直线上．某学习小组在
观景台 处测得塔顶部 的仰角为 ，在观景台 处测得塔顶部 的仰角为 ．
（1）求 的长；
（2）求塔 的高度．（结果保留个位）
（参考数据： ，
60．（2023秋•新城区校级期末）某校数学社团的同学想测量“陕西古塔—敬德塔”的高度，为了测得敬
德塔 的高度，社团成员利用自制的测角仪 在点 处测得塔顶 的仰角为 ，从点 向正前方行进
4米到点 处，再用测角仪在点 处测得塔顶 的仰角为 ，已知测角仪 的高度为1.6米，且 ， ，
三点在同一条直线上．求“敬德塔” 的高度．（参考数据：
