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专题 03 旋转（易错必刷 56 题 14 种题型专项训练）
题型一：判断由一个图形由旋转而成的图案
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，
如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
B．由图形对称而得出，故本选项符合题意；
C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转 后得到的
图片是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意，旋转变化后的图片应是 ，
故选：B．
3．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故选：C
4．（23-24九年级上·河南周口·期末）观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到
的（ ）A．三分之一，平移 B．四分之一，平移
C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转
【答案】D
【解析】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，故选：D.
题型二：找旋转中心、旋转角、对应点
5．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，
，将线段 绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段 （旋转后A
与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【解析】解：如图所示，旋转中心的坐标为 ．故答案为： ．
6．（23-24九年级上·广西钦州·期末）如图， 的顶点都在方格纸的格点上，将 绕点 按顺时
针方向旋转得到 ，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ．
【答案】90°
【解析】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知 是旋转角，且 ，
故答案为： ．
7．（23-24九年级上·福建厦门·期末）学习了《旋转》后，在数学实践活动课上，小明在如图所示的平面
直角坐标系中将 绕某个点顺时针旋转一定度数后得到 ，A，B，C的对应点分别为 ， ，
，则该旋转中心的坐标是 ，旋转角度是 °.
【答案】【解析】解：∵ 绕某点旋转后得到 ，
∴旋转中心为 垂直平分线的交点，
连接 ，
由图可知， 垂直平分线为y轴，四边形 为正方形，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ 垂直平分线的交点为点D，
∴该旋转中心的坐标是 ，
∵四边形 为正方形，则 ，即旋转角为
故答案为： ， ．
8．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图， 和 都是等边三角形，AD与BE相交于F．
(1) 可以看作是 经过什么图形变换得到的？
(2)求 的大小．
【答案】(1) 经过以点C为旋转中心将 逆时针旋转 而得到的
(2)
【解析】（1）解：∵ 和 都是等边三角形
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∵ ，
∴ 可以看作是由 绕着点C，逆时针旋转 得到；
（2）由（1）得 ，
所以
．
题型三：中心对称图形
9．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项的图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；
B选项的图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误；
C选项的图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故C选项正确；
D选项的图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误．
故选：C．
10．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
C选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
D选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；故选：D．
11．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知 与 成中心对称，则对称中心可能是
（ ）
A．点 B．点 C．线段 的中点 D．线段 的中点
【答案】D
【解析】解： 与 成中心对称， 、 是对称点，
对称中心可能是线段 的中点，
故选：D．
12．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图， 网格中，每个小正方形边长为1．
(1)分别画出 绕O点逆时针旋转 所得 及 关于O点的中心对称图形 ；
(2)连结 ， ，判断 形状并证明；
(3)证明 不在线段 上．
【答案】(1)图见解析
(2) 为直角三角形，证明见解析
(3)详见解析【解析】（1）如图， 和 为所作；
（2） 为直角三角形．
理由如下： ， ， ，
，
为直角三角形；
（3）证明： ， ， ，
，
不在线段 上
题型四：求旋转对称图形的旋转角度
13．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，正六边形绕中心 旋转一定的角度后能与自身重合，则旋转
角至少是（ ）
A． B．60° C．90° D．
【答案】B
【解析】解：正六边形可以被经过中心的射线平分成 个全等的部分，则旋转至少 度，能够与本身重合．故选：B．
14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次
旋转的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵中心角是由5个度数相等的角组成，
∴每次旋转的度数可以为 ．
故选B．
15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺
帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次
数是（ ）
A．4 B．16 C．24 D．32
【答案】C
【解析】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手
次，旋转4圈需要转动扳手6×4=24
次．
故选：C．
16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）正八边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正八边形能与自身重合，
则旋转角的度数最小是 ．
【答案】45
【解析】解：∵ ，
∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合．
故答案为：45题型五：求绕某点旋转90°的点的坐标
17．（23-24九年级上·河南许昌·期中）如图，将正方形 绕点D顺时针旋转 后，点B的坐标变为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，作 ，将 绕点D顺时针旋转 至
则 ， ，
，
，
∴正方形 绕点D顺时针旋转 后，点B的坐标变为 ．
故选：A
18．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段 绕点A按逆时针方向旋转
后，得到线段 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【解析】
∵将线段 绕点A按逆时针方向旋转 后，得到线段 ，
∴ ，
∴线段 旋转后的位置如图所示，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
19．（23-24九年级上·重庆梁平·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，把
绕点A按逆时针旋转 后得到 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【解析】解：当 时， ，∴点B的坐标为 ，
∴ ；
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ．
由旋转可知： ，
∴点 的坐标是 ，即 ．
故答案为： ．
20．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在
中， ， ， ．
(1)试在图中作出 以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形 ；
(2)若点B的坐标为 ，试在图中画出直角坐标系，并标出 ， 两点的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析， ，
【解析】（1）解：如图， 为所作；（2）解：如图所示，由图可得 ， ．
题型六：求绕原点旋转一定角度的点的坐标
21．（23-24九年级上·江苏南通·期末）点 经过某种图形变化后得到点 ，这种图形变化可能
是（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°
【答案】C
【解析】解：∵点 在第一象限，点 在第二象限，
∴点 绕原点逆时针旋转，
如图所示，
∴ ，则 ，
，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴点 绕原点逆时针旋转90°得到点 ，
故选：C．
22．（22-23九年级上·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，将点 绕点O旋转 ，得到的对
应点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：将点 绕点O旋转 ，得到的对应点的坐标是 ，故选：C．
23．（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）将点 绕原点顺时针旋转 对应的点坐标为 ．
【答案】
【解析】解：如图，点 绕原点顺时针旋转90°对应的点B，
由图象法可知 ．
故答案为： ．
24．（22-23九年级上·天津红桥·期末）在平面直角坐标系中，点 ，点 ，把 绕原点 逆
时针旋转，得 ，其中，点 ， 分别为点A， 旋转后的对应点，记旋转角为 ．
(1)如图，当 时，求点 的坐标；
(2)当 轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
【解析】（1）解：如图，过点 作 于 ．
，
，
，
，
．
（2）解：如图， 在 轴上方时，设 交 轴于 ，过点 作 轴于 ．
轴，
，
， ，，
∵ ，
，
，
，
当 在 轴下方时，同法可得 ．
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
题型七：根据旋转的性质求解
25．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图， 中， ，将 绕点A逆时针旋转α（
）得到 ， 交 于点F．当 时，点D恰好落在 上，则 （ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
【答案】B
【解析】解：∵将 逆时针旋转α（ ），得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
26．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）已知等边三角形 的边长为4，点 是边 上的动点，将绕点 逆时针旋转 得到 ，则 的形状为 ，点 是 边的中点，连接 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 等边三角形
【解析】解：如图，由旋转可得 ， ， ，
是等边三角形，
又 ，
，
点 是 边的中点，
，
当 时， 的长最小，
此时， ，
，
，
的最小值是 ，
故答案为：等边三角形， ．
27．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到
，使点 在 的延长线上．求证： ．【解析】解：∵ 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ，
而点 在 的延长线上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图， 是等边三角形 内一点，将线段AD绕点 顺时针旋转
60°，得到线段 ，连接CD， ．
(1)求证： ；
(2)连接DE，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【解析】（1）证明： 是等边三角形，
， ．
线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，
， ．
．
．
在 和 中，
，．
（2）解： ， ，
为等边三角形．
，
，
．
．
题型八：根据中心对称的性质求面积、长度、角
29．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形， 为对称中心，若 ，
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵该图是一个中心对称图形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
30．如图， 与 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）A．点A与点 是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：∵ 与 关于点O成中心对称，
∴点A与 是一组对称点， ， ，
∴A，B，C都不合题意．
∵ 与 不是对应角，
∴ 不成立．
故选：D．
31．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，正方形 和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边
长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】1.25
【解析】连接 ， ，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形 和正方形 的对称中心都是点 ，．
故答案为：1.25．
32．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，四边形 是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三
条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为 和 ，求阴影部分的面积为
．
【答案】
【解析】解：如图所示：
菱形 的两条对角线的长分别为 和 ，
菱形 的面积 ，
是菱形两条对角线的交点，菱形 是中心对称图形，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为∶ ．
题型九：关于原点对称的点的坐标
33．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点 和点 关于原点对称，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】解： 点 和点 关于原点对称，
， ，．
故选：B．
34．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标中，点 与点 关于原点成中心对称，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵点 与点 关于原点成中心对称，
∴点 的坐标为 ，
故选：A
35．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），
的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出 绕点A逆时针旋转 的 ．
(2)作出 关于原点O成中心对称的 ．
(3)在x轴上找一点P使得 最小，则P点坐标
(4)请直接写出以 为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)
(4) 或 或
【解析】（1）解：如图， 即为所作
（2）解： 即为所作
（3）解：作点C关于x轴在对称点 ，连接 交x轴于点P，如图，设直线 的解析式为 ，
把 代入得，
，
解得， ，
所以，直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（4）解：如图，
由图得，第四个顶点D的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或
36．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标都在格点上，
A点坐标为 ．(1) 与 关于原点O成中心对称，请画出 ．
(2) 是 内一点，将 平移后点P的对称点 ，请画出平移后的 ．
(3)将 绕着点O按顺时针方向旋转90°得到 ，请画出 ．
【解析】（1）如图， 即为所求．
（2）由题意可得， 是向右平移2个单位，向下平移6个单位得到的 ．
如图， 即为所求．
（3）如图， 即为所求．
题型十：坐标与旋转规律问题37．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，平面直角坐标系中， ， 是等腰直角三
角形且 ，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，把 绕点 顺时针旋转 得到
，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，作 轴于点H，
，B(4,0)，
，
是等腰直角三角形且 ，
，
点 的坐标为 ，
把 绕点 顺时针旋转 得到 ，B(4,0)，
点C的坐标为 ，点 的坐标为 ，即 ，同理可得点D的坐标为 ，点 的坐标为 ，即 ，
以此类推，当n为奇数时，点 的坐标为 ，当n为偶数时，点 的坐标为 ，
的坐标为 ，即 ．
故选B．
38．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，边长为2的正方形 的中心与坐标原点 重合，
轴，将正方形 绕原点 顺时针旋2023次，每次旋转 ，则顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图：连接
∵边长为2的正方形 的中心与坐标原点 重合，
∴ ,
∴ ，
∵ 轴，将正方形 绕原点 顺时针旋，每次旋转 ，∴
由题意旋转8次回到原来位置， ，
∴将正方形 绕原点O顺时针旋2023次，每次旋转 ，则顶点B在y轴的正半轴上，即 ．
故选：C．
39．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图， 的两条直角边 分别在y轴，x轴上，C，D
分别是边 ， 的中点．连接 ，已知 ，将 绕点O顺时针旋转，每次旋转
，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为 ．
【答案】
【解析】解：∵ ，且点C为 的中点，
∴点C的坐标为 ，即 ，
根据题意有，
第1次旋转结束时点C的坐标为 ；
第2次旋转结束时点C的坐标为 ：
第3次旋转结束时的坐标为 ；
第4次旋转结束时点G的坐标为 ；第5次旋转结束时点C的坐标为 ；
⋯⋯⋯
所以，每旋转4次，回到原来的位置，
所以，第2026次旋转结束时点的坐标为 ，
故答案为：
40．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交
于点O， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点
在这条曲线上，则m的值为 ．
【答案】6
【解析】∵如图抛物线 ： ，
∴图象 与 轴交点坐标为∶ ， ，
∵将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ，
∴抛物线 ∶ ，
∴将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ，
…，
如此进行下去，∴抛物线 ： ，
∵ ，
∴ 在抛物线 上，
∴当 时， ，
故答案为：6．
题型十一：画旋转图形
41．（23-24九年级上·四川南充·期末）在如图所示的平面直角坐标系中， 绕原点 顺时针旋转
后得到 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【解析】解：如图，由 绕原点 顺时针旋转 后得到 ，
根据坐标系特点可得 ，故答案为： ．
42．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中， 的顶点为 ．
(1)平移 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出平移后的 ；
(2)将 以点 为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(3)已知将 绕某一点旋转可以得到 ，则旋转中心的坐标为______．
【解析】（1）解： 如图所示：
（2）解： 如图所示：（3）解：由图得将 绕某一点旋转可以得到 ，则旋转中心的坐标为 ．
43．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）作图题．
(1)尺规作图：如图①，点A是直线L外一点，点B在直线L上，请在直线L上找到一点P，使
（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)作出旋转变换后的像：将图②中的 绕点O顺时针方向旋转 后得到 ．
【解析】（1）如图，点P即为所求，（2）如图， 即为所求，
44．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的正方形网格中， 的顶点均在格点上．
(1)把 向上平移1个单位，得到 ，画出 ；
(2)把 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ；
(3)请直接写出五边形 的周长．
【解析】（1）解：如图所示， 即为所求，（2）解：如图所示， 即为所求．
（3）解： ， ， ， ，
五边形 的周长为 ．
题型十二：中心对称的作图
45．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为
1），画 关于点 成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是 ，请你
找出此时的对称中心的坐标是 ．
【答案】
【解析】解：由图可知， ，
∴AD的中点坐标为 ，即为 ，
的中点坐标为 ，即为 ，
CF的中点坐标为 ，即为 ，∴ 的中点坐标均为 ，
∴ 与 的对称中心是 ，
故答案为： ．
46．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知 和点O，作 ，使 与 关于点O成中
心对称．
【解析】解：如图所示， 即为所求．
．
47．（23-24九年级上·安徽·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)请画出 以点A为旋转中心，逆时针旋转 后得到的 ．
(2)请画出 关于原点O对称的 ．【解析】（1）解：如图所示， 为所求；
（2）解：如图所示， 为所求．
48．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）在下面的正方形网格图中， ， ， ，
．
(1)试在图中作出 以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形 ；
(2)若点B的坐标为 ，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
(3)根据（2）中的坐标系作出与 关于原点对称的图形 ，并标出 、 两点的坐标．【解析】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示，点A的坐标为(0,1)，点C的坐标为 ；
（3）解：如图所示， 即为所求，其中 的坐标为 ， 的坐标 ．
题型十三：根据旋转的性质说明线段或角相等
49．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，B，C，D三
点恰好在同一直线上．
(1)判断 的形状；
(2)连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)顶角为 的等腰三角形
(2)
【解析】（1）解：∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ，∴ ， ，
∴ 是以顶角为 的等腰三角形；
（2）解：∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的度数为 ．
50．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，在 中， ，将 绕点 按顺时针方
向旋转得到 ，旋转角为 ，过点 作 交直线 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，在 绕点 旋转过程中是否存在某个时刻，使得 ，如果存在，请直接写
出此时 的度数；如果不存在，说明理由．
【解析】（1）如图，连接 ，
，，
又 ， ，
，
，
，
又 ，
，
，
由旋转的性质可得， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
．
（2）情况1：如图，当点 在线段 上时，
，点 在线段 上，
，
又 四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
，
，
此时旋转角 的度数为 ．
情况2：如图，当点 在线段 的延长线上时，，点 在线段 的延长线上，
，
又 是平行四边形，
是矩形，
，
又 ，
，
此时旋转角 的度数为 ，
故存在，此时旋转角 的度数为 或 ．
51．（23-24九年级上·四川广元·期末）把两个等腰直角三角形 和 按图①所示的位置摆放，将
绕点C逆时针旋转 （ ）到图②所示位置，连接AD， ．
(1)特例问题：如图①，AD与 的数量关系是_____________，AD与 的位置关系是_____________；
(2)探索解决：如图②，（1）中AD与 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若
不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图③，点D在 内部，若 ， ， ，求线段BD的长．
【解析】（1）∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，∴ ，即 ．
∵ ，
∴
∵点D，E分别在 ， 上，
∴ ．
故答案为： ；
（2）成立．
证明：由旋转的性质，得 ．
∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ．
延长AD交 于点F，交 于点G．
∵ ，
∴ ．
（3）将 绕点C逆时针旋转 到 ，连接DE．
由旋转的性质，得 ， ， ，
， ．
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴在 中， ．
52．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）在 中， ， ， ．把 绕点 逆时
针旋转 得到 ，点 的对应点为点 ．
(1)当 时，在图1中作出旋转后的 （尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，则 的长为______；
(3)在旋转过程中，直线 分别交 ， 于点 ， ，若 为等腰三角形，求 的长．
【解析】（1）解：过点 作 ，在 上截取 使 ，分别以点 、点 为圆心，
、 长为半径做圆，交点即为点 （方法不止一种），
（2） ， ， ，
，
连接AD，由旋转性质可得， ， ，
为等腰直角三角形，
，
故答案为： ，
（3）当 为底时， ， ，连接 ，
，
，
，设 ，则 ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
不存在 为底的情况，当 为底时， ， ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： 或 ．
题型十四：旋转综合题
53．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形 ，边长为6，点D为 边上一点， ，
以D为顶点作边长为6的正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点D旋转，当 取最小值时，
的长为 ．
【答案】8
【解析】解：过点A作 于M，是等边三角形，边长为6，
，
，
，
，
，
在 中， ，
当点E在DA延长线上时， ，此时 取最小值，
在 中， ，
正方形 的边长为6，
，
在 中， ，
故答案为：8．
54．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形 内一点，将 绕点A顺时针旋转
至 ，点E的对应点为点F．
(1)若 ， ，求 的度数．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解∶ ，
，
绕点 顺时针旋转至 ，
，
；
（2） 绕点 顺时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，
旋转至 的位置，旋转角为 ，
，
．
55．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在 中， ， ，D，E分别为
的中点，将 绕点C逆时针方向旋转得到 （如图2），使直线 恰好过点B，连接
．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长；
(3)若将 绕点C逆时针方向旋转一周，当直线 过 的一个顶点时，请直接写出 长的其
它所有值．
【解析】（1）解： 与 的位置关系为 ．
∵ ，D，E分别为 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
（2）解： 中， ，
∴ ，同理可求 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），
∴ ．
（3）解：①经过点B时，题（2）已求 ；
②经过点A时，如图所示，
同理可证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），即： ；
③再次经过点B时，如下图：
同理可证： ， ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），
即： ；
综上所述： 或 ．
56．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）已知在 中， ，四边形 是正方形，
H为 所在的直线与 的交点．
问题解决：
(1)如图1，当点F在 上时，请判断 和 的关系，并说明理由．
问题探究：
(2)如图2，将正方形 绕点C旋转，当点D在直线 右侧时，求证： ；
问题拓展：
(3)将正方形 绕点C旋转一周，当 时，若 ，请直接写出线段 的长．【解析】（1）解： 且 ．理由如下：
∵
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 且 ．
（2）证明：如图，在线段 上截取 ，连接 ．
由（1）可知： ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（3）解：线段 的长为 或 ．
①如图，当 三点共线时， ．
由（1）可知， ，且 ， ，
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中，
∴ ,解得: 或 （舍去），
∴ ；
②如图，当 三点共线时， ，设 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，解得： 或 （舍去），
∴ ．
综上所述，线段 的长为 或 ．
