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专题 01 一元二次方程的实际应用与几何应用
（考题猜想，7 种热考题型）
题型一：一元二次方程的实际应用——面积问题（共4题）
1．（边框设计问题）（2023秋•兴宾区期末）在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸
边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，要求纸边的宽度
不得少于 ，同时不得超过 ．（1）求出 关于 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）此时金色纸边的宽应为多少 时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
【分析】（1）用含 的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可得出 关于 的函
数解析式，结合题意标明 的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性，由此即可解决最值问题．
【解答】解：（1）镶金色纸边后风景画的长为 ，宽为 ，
．
（2） 二次函数 的对称轴为 ，
在 上， 随 的增大而增大，
当 时， 取最大值，最大值为4536．
答：金色纸边的宽为 时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为 ．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）结合矩形的面积找出 关
于 的函数解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题
目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．
2．（甬路问题与平移）（2024春•栖霞市期末）某校园内有一块长为 ，宽为 的矩形场地，计划在
这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．
（1）如图①，测得草坪的面积是 ，求道路的宽度；
（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽
的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使
种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？【分析】（1）设道路的宽度为 ，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形，根据草坪
的面积是 ，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设道路的宽度应设计为 ，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形，根据种
植园的面积是场地面积的二分之一，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结
论．
【解答】解：（1）设道路的宽度为 ，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度为 ；
（2）设道路的宽度应设计为 ，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（围栏靠墙问题——注意自变量的取值范围）（2023春•安庆期末）某农场要建一个饲养场（长方形，两面靠墙 位置的墙最大可用长度为 ， 位置的墙最大可用长度为 ，另两边用栅
栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的 、 、 三处各留 、
、 宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长 ．
（1）若饲养场（长方形 的一边 长为 ，则另一边 ．
（2）若饲养场（长方形 的面积为 ，求边 的长．
（3）饲养场的面积能达到 吗？若能达到，求出边 的长；若不能达到，请说明理由．
【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出 的长；
（2）设 米，则 米，根据饲养场（矩形 的面积为165平方米，即可
得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值；
（3）设 米，则 米，根据饲养场（矩形 的面积为195平方米，即可
得出关于 的一元二次方程，由根的判别式△ ，即可得出饲养场的面积不能达到195平方
米．
【解答】解：（1） （米 ．
故答案为：18．
（2）设 米，则 米，
依题意得： ，
解得： ， ．， ，
，
，
当 时， （米 ，符合题意．
答：边 的长为11米．
（3）不能，理由如下：
设 米，则 米，
依题意得： ，
整理得： ．
△ ，
该方程无实数根，
饲养场的面积不能达到 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（折叠纸盒问题）（2024春•上城区期末）综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了
一些长为 ，宽为 的
长方形硬纸板，准备利用每张
纸板制作两个大小完全相等的
无盖长方体纸盒（接头处忽略
不计）．
素材
配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求 的最大值，过
程如下：
当 时， 有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右
两块，每一块都在四个直角处
裁掉四个边长为 的正方
形，再沿虚线折起来，其中一
个纸盒的底面是正方形
．方案2 乙活动小组将纸板在四个直角
处裁掉四个边长为 的正
方形，再在中间裁掉一块正方
形 ，分别沿着虚线折起
来，其中一个纸盒的底面是矩
形 ．
任务1
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含 的代数
式表示），并判断底面积能否达到 ．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面 边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
【分析】任务1：根据题意用含 的代数式表示出 ，即可表示出底面的面积；
任务2：首先用 的代数式表示出 ，根据中间的四边形 为正方形可表示出 ；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两
种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即
可得到答案；
任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含 的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可．
【解答】解：任务1：根据题意得：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 ，
故答案为： ；
令 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
则此时底面积能达到 ；
任务2：根据题意得： ；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大；由任务1可知：方案1的底面积为： ；
由任务2可知：方案2的底面积为： ；
根据题意知： ，故 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ；
故当 时，方案一的纸盒体积大；当 时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当
时，方案二的纸盒体积大．
任务4：方案二中纸盒的体积为： ；
当 时，纸盒体积有最大值为 ．
【点评】本题考查了列代数式以及配方法求二次多项式最值问题等知识的实际应用，根据题意列出代数式
是本题的关键．
题型二：一元二次方程的实际应用——循环、传染、分叉问题（共6题）
5．（双循环比赛问题）（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两
场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数 （队的个数 ，
把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有 队参加比赛．
依题意，得 ，
，
解得 ， （不合题意，舍去）．答：共有10支队参加比赛．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
6．（单循环比赛问题）（2023春•马尾区校级期末）某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每
两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有 支球队参加比赛，则所列方程正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用比赛的总场数 参赛队伍数 （参赛队伍数 ，即可列出关系 的一元二次方程，此题
得解．
【解答】解：根据题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
7．（互送贺卡问题）（2023秋•娄底期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56
张，设这个小组有 人，则
A． B． C． D．
【分析】若这个小组有 人，则每人需送出 张，根据全组共送出贺卡56张，即可得出关于 的一元
二次方程，此题得解．
【解答】解：若这个小组有 人，则每人需送出 张，
依题意得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
8．（握手问题）（2023秋•宣化区期末）“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10
次，则参加聚会的人数是 人．
【分析】根据“见面时每两人都握了一次手，所有人共握手 10次”，设有 个同学参加这次聚会，列出关于 的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得： （舍去）， ，
答：这次同学聚会有5人，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
9．（树枝分叉问题）（2024春•利津县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样
数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 个．
【分析】根据题意，找到等量关系为：主干 支干数目 支干数目 支干数目 ，设每个支干长出 个
小分支，列出方程 ，解方程即可．
【解答】解：设每个支干长出 个小分支，则 ，
解得： ， （舍去），
每个支干长出8个小分支．
故答案为：8．
【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数73的等量关系是解决本题的关键．
10．（传染问题）（2023秋•太和县期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患
了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 人，根据经过两轮传染后共有64人患流感．列出一元二
次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出第三轮感染的人数，即可解决问题．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了 人，
由题意得： ，
解得： ， （不合题意舍去），答：每轮传染中平均一个人传染了7人；
（2）第三轮感染的人数 （人 ，
第三轮感染后，患流感的总人数为： （人 ，
答：第三轮感染后，患流感的共有512人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型三：一元二次方程的实际应用——增长率、下降率问题（共2题）
11．（下降率问题）（2023秋•江夏区校级期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，
“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知 ， ， 三人分配奖
金的衰分比为 ，若 分得奖金1000元，则 ， 所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位
技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲
分得奖金100万元，则“衰分比”是 ．
【分析】根据“衰分比”的意思，列出代数式；再与数值成立等式；最后计算出结果．
【解答】解：设“衰分比”是 ．
乙分配的奖金： ；
丙分配的奖金：
，
或 （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意用代数式表示出每个人的奖金、再列出方程、求出
结果．
12．（增长率问题）（2022秋•和平区校级期末）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，
一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产
能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为 ，则二月份平均日产量为 个，三月份平均日产量为 个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于 的一元二次方程，解之取
其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量 三月份平均日产量 增长率），即可预计出四月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为 ，则二月份平均日产量为 个，三月份平
均日产量为 个，
依题意得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ．
答：口罩日产量的月平均增长率为 ．
（2） （个 ．
答：预计四月份平均日产量为53240个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型四：一元二次方程的实际应用——利润与商品销售问题（共4题）
13．（2023秋•龙岗区校级期末）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，
每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，
如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价 元．
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 的代数式表示）；
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价
减进价可得每件商品利润；
（2）根据总利润 单件利润 销售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：商场日销售量增加 件，每件商品盈利为 元，
故答案为： ， ；
（2）根据题意得： ，解得 ， ，
要更有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2024春•金东区期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每
月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，
那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为 ，若前三个月的总销量为285件，求该
季度的总利润．
【分析】（1）利用总利润 每件的销售利润 月销售量，即可求出结论；
（2）设每件商品降价 元，则每件的销售利润为 元，每月可售出 件，利用总利
润 每件的销售利润 月销售量，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，再结合要有利于减
少库存，即可确定结论；
（3）根据前三个月的总销量为285件，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，将其符合题意
的值代入 ， 中，可得出2月份、三月份的销售量，再利用该季度的总利润 （该商品1
月份的售价 该商品的进价） 月份的销售量 （该商品2月份的售价 该商品的进价） 月份的销售量
（该商品3月份的售价 该商品的进价） 月份的销售量，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：
（元 ．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设每件商品降价 元，则每件的销售利润为 元，每月可售出 件，根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 要有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价60元；
（3）根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
（件 ， （件 ，
月份这种商品的售价为 （元 ，3月份这种商品的售价为 （元 ，
该季度的总利润为 （元 ．
答：该季度的总利润为20235元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
15．（2023秋•沈丘县期末）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价
部门限定每件商品加价不能超过进货价的 ．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每
件售价 元，则可卖出 件．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？
需要卖出这种商品多少件？
【分析】根据关键语句“物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的 ”可得 ；根据
等量关系：（售价 进价） 售出件数 利润可得方程 ，解方程即可得到答案．
【解答】解：根据每件售价 元，物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的 ，所以： ，
由题意得 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
．
答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系：每一件的利润
销售量 总利润，再列出方程即可．
16．（2023秋•巧家县期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元
时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价不低于成本
价．设每件商品的售价为 元时，每天的销售量为 件．
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润 （元 最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据题意，由每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，进
而列式计算可以得解；
（2）依据题意，由每件的利润 销量 总利润，进而列式得 ，
再由二次函数的性质进行判断可以得解．
【解答】解：（1）由题意得， ，
与 之间的函数关系式为 ．
（2）由题意得， ．
，
当 时， 的值最大，最大值为1250元．
答：当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
题型五：一元二次方程的几何应用—黄金分割点与图形分割（新热点）（共3题）
17．（2022春•合肥期末）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则
A． B． C． D．
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为 ，右图是一个长方形，长宽分别为
、 ，并且它们的面积相等，由此即可列出等式 ，解方程即可求出 ．
【解答】解：依题意得 ，
整理得： ，
则 ，
方程两边同时除以 ，
，
（负值已经舍去），
故选： ．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目
隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
18．（2022秋•江都区期末）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优
选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作 将矩形窗框 分为上下两部分，其中 为边 的黄金分割点，即 ．已知 为4米，则线段 的长为
米（结果保留根号）．
【分析】根据 ，建立方程即可求解．
【解答】解： ， ，
设 ，则 ，
，
，
（舍去），
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解此题的关键．
19．（2023秋•江阳区期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，
等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为 ，那么它的下
部应设计为多高？
【分析】设雕像的下部高为 ，则上部长为 ，然后根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设雕像的下部高为 ，则题意得： ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
答：雕像的下部高为 ．
【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．题型六：一元二次方程的几何应用——动点形成的线段和面积（共8题）
20．（2023秋•沈北新区期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿
以 的速度向点 移动，一直到达点 为止；同时，点 从点 出发沿边 以 的速度向点
移动．设运动时间为 ，当 时，
A． B． 或4 C． 或 D．4
【分析】过点 作 于点 ，则 ，利用时间 路程 速度，可求出点 到达点 所
需时间，当运动时间为 时， ，利用勾股定理，可列出关于 的一元二次方程，解
之即可得出结论．
【解答】解：过点 作 于点 ，则 ，如图所示
．
当运动时间为 时， ， ， ，
根据题意得： ，
即 ，
整理得： ，
或 ，
解得： ， ，
的值为 或 ．故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2023秋•铁西区期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始
沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．如果点 ，
分别从点 ， 同时出发，那么出发后 秒时，线段 的长度等于 ．
【分析】当运动时间为 秒时， ， ，利用勾股定理，可列出关于 的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为 秒时， ， ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
出发后2秒时，线段 的长度等于 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2023秋•吉州区期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．若 ， 两点
同时出发，当点 运动到点 时， ， 两点同时停止运动．求：
（1）几秒后， 的面积等于 ？
（2）几秒后， 的长度等于 ？
（3） 的面积能否等于 ？说明理由．
【分析】当运动时间为 时， ， ．
（1）根据 的面积等于 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用勾股定理，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）根据 的面积等于 ，即可得出关于 的一元二次方程，由根的判别式△ 可得出该方
程没有实数根，进而可得出 的面积不能等于 ．
【解答】解： ．
当运动时间为 时， ， ．
（1）依题意得： ，
整理得： ，解得： ， （不合题意，舍去）．
答：1秒后， 的面积等于 ．
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：3秒后， 的长度等于 ．
（3）不能，理由如下：
依题意得： ，
整理得： ．
△ ，
该方程没有实数根，
的面积不能等于 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次
方程．
23．（2023秋•龙华区校级期末）在 中， ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，设 、 分别
从 、 同时出发，运动时间为 秒．
（1）当 为何值时， 的面积等于 ．
（2）请问 、 两点在运动过程中，是否存在 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说
明理由．【分析】（1）根据题意表示出 的长，再利用三角形面积公式求出即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出 ，进而代入求出即可．
【解答】解：（1） ， ，
由题意，得
整理，得
解得 ， ．
当 时， ，此时点 越过 点，不合题意，舍去
即经过2秒后， 的面积等于8 ．
（2）存在 ．
若 ，则点 、 应分别边 、 上，此时， ，
， ，
， ， ， ，
，
解得：
满足 ，秒时， ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及平行线分线段成比例定理，根据已知条件得出 是解
题的关键．
24．（2022秋•新会区期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿 边
向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．如果 、 分别
从 、 同时出发，问出发多少秒钟时 的面积等于 ？
【分析】设出发秒 时 的面积等于31平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程可求出解．
【解答】解：设出发秒 时 的面积等于 ．
（1分）
（5分）
化简整理得 （7分）
解这得 ， （9分）
均符合题意．
答：出发1秒或5秒钟时 的面积等于 ． （10分）
【点评】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用以及三角形的面积公式．25．（2023春•邗江区校级期末）如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发沿
向点 移动（不与点 、 重合），一直到达点 为止；同时，点 从点 出发沿 向点 移动（不与
点 、 重合）．
（1）若点 、 均以 的速度移动，经过多长时间四边形 为菱形？
（2）若点 为 的速度移动，点 以 的速度移动，经过多长时间△ 为直角三角形？
【分析】（1）根据矩形的性质可得出 ，再由点 、 移动的速度相同即可得出四边形 是
平行四边形，如要四边形 是菱形只需 ，设经过 ，四边形 是菱形，用 表示出 、
，由此即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）由 可知△ 为直角三角形分两种情况．①当 时，过点 作 于
，利用勾股定理即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可求出 值；②当 时，则
，由此可得出关于 的一元一次方程，解方程即可得出 值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1） 四边形 是矩形，
．
点 、 均以 的速度移动，
，
，四边形 是平行四边形，
当 时，四边形 是菱形．
设经过 ，四边形 是菱形，则有 ， ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ．
答：经过 时四边形 是菱形．
（2） 点 不与点 重合，
，
△ 为直角三角形分两种情况：
①当 时，△ 为直角三角形，过点 作 于 ，易得四边形 为矩形，如图
所示．
， ，则 ， ，
，
解得： ， ；
②当 时， ，
所以 ，解得： ．
综上可知：经过 、 或 时，△ 为直角三角形．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定，解题的关键是：（1）根据邻边相
等找出关于 的一元二次方程；（2）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，
根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于 的方程是关键．
26．（2024春•南昌期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿边
向终点 以 的速度移动．与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．
点 、 分别从点 ， 同时出发，当点 移动到点 时，两点停止移动．设移动时间为 ．
（1）填空： ， ；（用含 的代数式表示）
（2）是否存在 的值，使得 的面积为 ？若存在请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程 速度 时间就可以表示出 ， ，再用 就可以求出 的长；
（2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）存在，理由如下：由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
存在 的值，使得 的面积等于 ，此时 的值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2023秋•衡南县期末）如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分
别从 、 同时出发，设移动时间为 ．
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 为多少时， 的面积是 ？
（3）当 为多少时， 与 是相似三角形？
【分析】（1）用含 的代数式表示线段 和 ，代入 求得 、 ，利用三角形的面积计算公式
求得答案；
（2）由（1）得到 ， ，根据三角形的面积公式得出方程解答即可；
（3）要使 与 相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况
和 代入求出即可．【解答】解：（1） 点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点
以 的速度移动，
， ，
；
当 时， ， ，
的面积 ；
（2）由题意得 ，
即 ，
， ，
答：当 为2或4秒，使 的面积为 ．
（3）设经过 秒钟，使 与 相似，
，
第一种情况：当 时， 与 相似，
即 ，
解得： ，
第二种情况：当 代时， 与 相似，
即 ，
解得： ．
答：当 为3或1.2秒钟，使 与 相似．
【点评】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求
出符合条件的所有情况是解此题的关键．题型七：一元二次方程的几何应用——综合题（共12题）
28．（2024春•东平县期末）已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则 的形状为
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据判别式的意义得到△ ，整理得 ，然后根据勾股定理的逆
定理得到 是直角三角形．
【解答】解：原方程可化为： ，
方程有两个相等的实数根，
△ ，
，
，
是直角三角形．
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△ 时，方程有两个相等的两个实数根；当△ 时，方
程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
29．（2023秋•梁溪区期末）如图，点 是三边均不等的 三条角平分线的交点，过 作 ，
分别交 、 于 、 两点，设 ， ， ，关于 的方程A．一定有两个相等实数根
B．一定有两个不相等实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．没有实数根
【分析】先证 和 全等得 ， ，再证 ，进而可证
和 相似，则 ，同理可证 和 相似，则 ，
由此即可得出 ，进而得 ，然后在对方程 的根的判别式的符号进
行判断即可得出结论．
【解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
设 ，
则 ，
， 分别是 ， 的平分线，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
即 ，
同理可证： ，
，
即 ，
，
即 ，
， ， ，
，
，
关于 的方程 的根的判别式△ ，
△ ，
关于 的方程 没有实数根．
故选： ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
熟练掌握一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关
键．
30．（2024春•工业园区期末）已知关于 的一元二次方程 ．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是直角三角
形时，求 的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△ ，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出 ， 的长，分 为直角边及 为斜边两种情况，利用勾股定理可得出
关于 的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出 值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是
否构成三角形）即可得出结论．
【解答】（1）证明： △ ，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解： ，即 ，
解得： ， ．
当 为直角边时， ，
解得： ；
当 为斜边时， ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答： 的值为12或3．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记“当△ 时，
方程有两个不相等的实数根”；（2）利用勾股定理，找出关于 的方程．
31．（2023春•建邺区校级期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 的两边 、 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角
形时，求 的值．
【分析】（1）证明△ 即可；
（2）求出方程的解，根据 是等腰三角形分类讨论即可．
【解答】解：（1）证明： △，
方程总有两个实数根；
（2）原方程分解因式得： ，
， ，
当等腰三角形的腰是2时， ，不合题意，
等腰三角形的腰是5，
，
．
【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根．
32．（2023秋•黄山期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当 时，该方程的两个根分别是菱形 的两条对角线的长，求菱形 的面积．
【分析】（1）根据△ ，可得出△ ，由偶次方的非负性，可得出 ，进而可
得出 ，即△ ，再利用“当△ 时，方程有两个不相等的实数根”，即可证出：无论
取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）代入 ，可得出原方程为 ，利用两根之积等于 ，可得出 ，再利用菱形
的面积 对角线的乘积 ，即可求出菱形 的面积．
【解答】（1）证明：△ ，
，
，即△ ，
无论 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当 时，原方程为 ，
，
菱形 的面积 ．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及菱形的性质，解题的关键是：（1）牢记“当△
时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系及菱形的面积公式，求出菱形 的面
积．
33．（2023秋•九江期末）已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 ， ， ，求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把 代入方程得 ，整理得 ，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得△ ，即 ，然后根据勾股定理可判断三角形
的形状；
（3）把 ， ， 代入方程，然后解方程即可．
【解答】解：（1） 是等腰三角形；理由如下：
把 代入方程得 ，则 ，所以 为等腰三角形；
（2） 为直角三角形；理由如下：
根据题意得△ ，即 ，所以 为直角三角形；
（3）把 ， ， 代入 ，得：
，
化简得： ，
解得 ， ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
34．（2024•广西模拟）如图，点 为线段 上一点， ，以 为斜边作等腰 ，若线段
、 长为关于 的一元二次方程 的两个根．
（1）试判定此一元二次方程的根的情况；
（2）求证： ；
（ 3 ） 若 与 的 面 积 比 ， ， 则 （ 直 接 写 出 答 案 ） ．
【分析】（1）根据△ ，判断作答即可；
（2）由（1）易知 ，连接 ，延长 到点 ，使得 ，由等腰直角三角形的性质
可得： ， ； ， ， ，则 ，由
等角加同角相等可得 ，以此证明 ，得到 ，于是可通过
证明 ，进而可得 ；
（3）解 ，得 ，即 ，则 ，连接 ，过点 作
于点 ，易得 ， ，由勾股定理得 ，由题意得 ，整理得 ，以此求解即可．
【解答】（1）解：由一元二次方程 可知△ ，
一元二次方程有两个相等的实数根；
（2）证明：由（1）可知，一元二次方程 有两个相等的实数根，
线段 、 的长为关于 的一元二次方程 的两个根，
，
如图，连接 ，延长 到点 ，使得 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，
，，
在 和 中，
，
，
；
（3）解：解一元二次方程 可得 ，
，
，
如图，连接 ，过点 作 于点 ，
由（2）知， ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
与 的面积比 ，
，
整理得： ，（负值已舍去）．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰（直角）三角形的判定与性质、全
等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活
运用．
35．（2022秋•定远县期末）如图，在平面直角坐标系中， 的边 ，若 ， 的长是关于
的一元二次方程 的两个根，且 ．
（1）求 ， 的长．
（2）若 轴上的有一个点 满足 ，求证： ．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用三角形的面积求出 ，然后求出两个三角形夹直角的两边的比，再根据相似三角形的判定方法
判定即可．
【解答】（1）解： ，
，
， ，
， ，
（2）证明： ，
，即 ，，
， 或 ， ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，即 ，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题型，主要利用了解一元二次方程，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，
掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的判定定理是解题的关键．
36．（2022秋•驻马店期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，直
线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ， 与 相交于点 ，线段 、 的长是一元二次方程
的两根 ， ， ．
（1）求点 、点 的坐标；
（2）求直线 的解析式；
（3）在 轴上是否存在点 ，使点 、点 、点 为顶点的三角形与△ 相似？若存在，请求出点
的坐标；如不存在，请说明理由．【分析】（1）首先解方程 求得方程的根，则 和 的坐标即可求得；
（2）根据三角函数求得 的坐标，作 轴于点 ，根据△ △ ，利用相似三角形的性质
求得 和 的长，即可求得 的坐标利用待定系数法确定函数关系式；
（3）设 的坐标是 ，则 ．分成△ △ 和△ △ 两种情况进行讨论即
可求解．
【解答】解：（1） 即 ，
则 ， ，
解得： 或 ，
又 ，
， ，
的坐标是 ， 的坐标是 ．
（2） ，
，
则 的坐标是 ． ．
作 轴于点 ．
则△ △ ，
，
，
， ，
则 ，
则 的坐标是 ．
设直线 的解析式是 ，则 ，解得： ，
则直线 的解析式是 ；
（3）设 的坐标是 ，则 ．
当△ △ 时， ，即 ，
解得： ，
则 的坐标是 ；
当△ △ 时， ，则 ，
解得： ，
则 的坐标是 ．
总之， 的坐标是 和 ．
【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，
正确求得 的坐标是解决本题的关键．
37．（2022秋•天河区期末）已知关于 的方程 有两个相等的实数根．
（1）若 ，求 的值；
（2）在 中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，且该方程的解是点 的横坐标．
①过点 作 轴，交边 于点 ，求证： 的长为定值；②求 面积的最小值．
【分析】（1）利用根的判别式计算即可；
（2）①根据方程确定点 的横坐标，判定点 的位置，统一字母表示，确定直线 的解析式，再确定点
的坐标，计算 的长即可；
②根据 ， 得到 ，即 ，结合 ，计算即可．
【解答】解：（1） 关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，
，，
当 时， ；
（2）① 关于 的方程 有两个相等的实数根，
，
点 ，
点 ， ，
，
点 在点 的左侧，
， ，
，点 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，是定值．
② ， ，
即 ，
，
面积的最小值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，求方程的解，一次函数的解析式，完全平方式的性质，熟
练掌握根的判别式，解析式的确定，完全平方式的非负性是解题的关键．
38．（2021秋•舒兰市期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长
分别是一元二次方程 的两个根，其中 ， ，边 交 轴于点 ，动点
以每秒1个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设
与矩形 重叠部分的面积为 ．请解答下列问题：
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程求出 的值，由 ， 可得答案；
（2）设 交 轴于点 ，当 时， ，由 知 ，即 ，据此得
，根据面积公式可得此时解析式；当 时， ，由 知 ，即
，据此得 ，根据三角形面积公式可得答案；
（3）设 ，由 ， 知 ， ， ，
再分三种情况列出方程求解可得．
【解答】解：（1） ，
， ，
，
， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
点 的坐标为 ；
（2）设 交 轴于点 ，
①如下，当 时， ，，
，
，即 ，
，
；
②如图，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
综上所述，①当 时， ；②当 时， ；
（3）由题意知，当点 在 上时，显然不能构成等腰三角形；
当点 在 上运动时，设 ，， ，
， ， ，
①当 时， ，解得 ，
则 ， ；
②当 时， ，解得 ，
则 ；
③当 时， ，解得 ，
则 ；
综上， ， 或 或 ．
【点评】本题主要考查了四边形的综合应用，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、
解一元二次方程、等腰三角形的判定及两点间的距离公式等知识点．
39．（2024春•钢城区期末）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ， 是
和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当 ， 时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图，若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是
，求 的面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得
面积．
【解答】（1）解： ， ，
，
“勾系一元二次方程”为： ；
（2）证明：根据题意，得 ，
，
△ ，
△ ，
“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即 ，
四边形 的周长是 ，
，即 ，
，
，， ，
，
，
，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，梯形的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题．
