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专题 05 旋转作图与旋转模型几何综合题
（考题猜想，7 种热考题型）
题型一：旋转作图问题——基本方法（共6题）
1．（2023秋•余姚市期末）如图，在 的正方形网格中，点 ， ， 均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中，将 绕点 顺时针方向旋转 ，作出经旋转后的 ；（其中点 ， 分别是点
， 的对应点）
（2）在图2中，请用无刻度直尺找出过 ， ， 三点的圆的圆心，标出圆心 的位置．2．（2024春•确山县期末）如图平行四边形 ， 在 边上，且 ，仅用无刻度直尺作图并
保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图1中，画出 的角平分线，并说明理由；
（2）沿用（1）中解决问题的思路并结合平行四边形的性质，在图2中，画出 的角平分线，并说明
理由．
3．（2023春•浑江区期末）请用直尺按要求在网格中作图，并标明字母（辅助线可用虚线作出，以下作图
请勿超出网格范围）．
（1）作出平行四边形 ；
（2）以 为边，作出正方形 ；
（3）作出一条同时平分平行四边形 与正方形 面积的直线．
4．（2023秋•武昌区期末）如图是由边长为1的小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ 的三个顶点均在格点上，点 是另一格点．下列作图仅用无刻度直尺在网格中完成．
（1）画出△ 关于点 的中心对称图形；
（2）将△ 绕点 逆时针旋转 得△ ，画出△ ；
（3）直接写出△ 的形状和面积．
5．（2022秋•淮阴区月考）如图，在边长为1的正方形网格中， 、 、 、 ．
（1）将线段 绕点 逆时针旋转，得到对应线段 ．当 与 第一次平行时，画出点 运动的路
径；
（2）线段 与线段 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，
直接写出这个旋转中心的坐标．6．（2020秋•青山区期中）请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹．
（1）将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ；
（2）过 作线段 的垂线段 ，垂足为 ；
（3）作 的角平分线 ．
题型二：旋转作图问题——计算与综合（共5题）
1．（2023•武汉模拟）操作与思考：
如图（1），在 中， ， ， 是异于 ， 的一点，且 ．若将线段
绕点 逆时针旋转 ，画出对应线段 ，连接 交 于点 ，猜想 与 的数量关系，并证
明你的猜想：
迁移与运用如图（2），在 和 中， ， ， ，
， 的延长线交 于点 ，且 ，直接写出 的长．2．（2020秋•江阳区期末）如图， 是正方形 中 边上任意一点，以点 为旋转中心，把
顺时针旋转 ．
（1）画出旋转后的图形；
（2）若 ，求 在旋转过程中扫过的面积．
3．（2022秋•武汉期中）如图是由边长为 1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表
示．
（1）在图1中，将线段 绕 点顺时针旋转 得到线段 ，画出线段 ；在 内部找一点 ，
使 ，连接 、 ；
（2）在图2中， 为线段 的中点，作 关于 的对称点 ，再以 为旋转中心，将 顺时针
旋转 得到△ ，画出△ （点 、 、 分别对应点 、 、 ；若 的度数为 ，
则 的度数为 （直接用含 的式子写出答案）．4．（2023秋•江岸区期中）如图网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做
格点，点 、 、 、 都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果
用实线表示，点 对应点 ，点 对应点 ．
（1）在图1中，将线段 向右平移3个单位长度，画出平移后的线段 ，再将线段 绕点 顺时针
旋转 ，画出对应线段 ；
（2）在图2中，先作点 关于点 对称的点 ，再过点 作直线分别交 、 于点 、 ，使得
．
5．（2021秋•蔡甸区校级期中）如图，在 网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个
小正方形的顶点称为格点， ， ， ， ， ， ， 均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作
图．
（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，请画出△ ；
（2）将 绕点 旋转 得到 ，请画出点 和 ；
（3）将格点线段 平移至格点线段 （点 ， 的对应点分别为 ， ，使得 平分四边形
的面积，请画出线段 ；
（4）在线段 上找一点 ，使得 ，请画出点 ．题型三：利用旋转模型求最值（共3题）
1．（2024•宜宾）如图，在 中， ， ，以 为边作 ， ，点 与
点 在 的两侧，则 的最大值为
A． B． C．5 D．8
2．（2023秋•武昌区校级期中）如图，平行四边形 中， ， ， ， 是边
上一点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接
、 ，则 的最小值是
A． B． C．14 D．
6．（2023•沙市区模拟）问题背景
如图（1）， ， 都是等边三角形， 可以由 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在 中， ，分别以 ， 为边，作等边 和等边 ，连接 ，
并延长交 于点 ，连接 ．若 ，求 的值．
拓展创新
如图（3），在 中， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接
，直接写出 的最大值．
题型四：利用旋转模型求线段长与面积（共7题）
1．（2024春•宝安区校级月考）如图， 为等腰直角三角形， ． 是斜边 的中点，
为 下方一点，满足 ，若 ， ，则 ．
2．（2023•武汉模拟）如图， 是 内一点， ， ， ， ，
，则 的长是 ．3．（2023秋•新洲区期末）如图， 是等边 中 边上的一点，连接 ，在 的右侧作 ，
使 ， ，连接 ．
【操作观察】（1）作点 关于点 的对称点 ，画出 ；
【应用探究】（2）若 平分 ，求 的值；
【实践创新】（3）若 ，当点 从点 运动到点 时，写出 扫过的面积 ．
4．（2023•建平县模拟）（1）问题背景：如图（1）， ， 都是等边三角形， 可以由
通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转角（写锐角）的大小、旋转方向；
（2）尝试应用：如图（2），在 中， ，分别以 ， 为边，作等边 和等边
，连接 ，并延长交 于点 ，连接 ．若 ，求 的值；
（3）拓展创新：如图（3），在四边形 中， ， ， ，求
的长．5．（2024•鼓楼区一模）如图1，在 中，以 为边向外作等边 ，以 为边向外作等边
，连接 、 ．求证： ．
【知识应用】如图2，四边形 中， 、 是对角线， 是等腰直角三角形， ，
， ，求 的长．
【 拓 展 提 升 】 如 图 3 ， 四 边 形 中 ， ， ， ， 则
．
6．（2023秋•江岸区校级月考）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图 1，在四边形
中， ， ， ， ， ，求 的长．”经过小组合作交流，
找到了解决方法：构造旋转全等．将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ．则 是等边三
角形，所以 ，导角可得 ，所以 ．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在 中， ， ． 为 外一点，且 ，
，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ， ， 于 ， 为 上一点，
连接 ， 为 上一点，若 ， ， ，连接 ，请直接写出线段
的长 ．7．（2023秋•江岸区校级月考）问题背景：（1）如图1，在等腰 中， 为 边上一动点，将
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，判断 与 的数量与位置关系，并证明；
尝试运用：（2）如图 2，在 中， 为 边上一动点，以 为斜边在 右侧构造等腰
，连接 ，求证： ；
拓 展 提 升 ： （ 3 ） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 若 ， ， 直 接 写 出 的 长
．
题型五：坐标系中的旋转（共3题）
1．（2023秋•潜山市期末）如图，已知点A（6，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋
转60°到线段AC，若点C的坐标为（10，m），则m的值为（ ）
16 4 2
A． ❑√3 B． ❑√3 C． ❑√3 D．1
3 3 32．（2022秋•西丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，OB＝AB＝5，点A到x轴的距离
为4，将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点A′的坐标是 ．
3．（2023•湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线
段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝ ．
题型六：利用旋转解几何综合题（共14题）
1．（2022秋•江北区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，点D为△ABC内一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，AD＝AE，连接DE，BD，CE，已
知AB=❑√5，AD＝1，当B、D、E三点共线时，求ABCE的面积；
（2）如图2，在AC上取点D，连接BD，过点A作AE⊥BD于点F，AE＝BD，取BC中点G，连接
GE，ED，在AB上取点M，过点M作MN∥DE交BC于点N，MN＝GE，求证：BN＝DC；
（3）如图3，在AC上取点D，连接BD，将△ABD沿BD翻折至ABDE处，在AC上取点F，连接BF，
过点E作EH⊥BF于点F，GE交BF于点H，连接AH，若GE：BF=❑√3：2，AB＝2❑√2，求AH的最小
值．2．（2022秋•西丰县期末）如图1，在△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，
CD＝CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，CF与BD交于点F．
（1）求证：DF＝BF；
（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，
请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若CD＝2，CB＝4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出CF的
长．
3．（2023•高青县二模）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 ABC中，∠BAC＝
90°，AB＝AC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到∠MDN，将∠MDN
绕点D旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是
；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BE＝AF时，求证△BED≌△AFD；（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角
线AC的中点O重合，射线OM，ON分别与DC，BC交于E，F两点，且满足DE＝CF，请求出四边形
OFCE的面积．
4．（2023秋•巴南区期末）在等腰直角△ABC中，点D，点F分别为线段AC，AB上的动点，连接DF．
（1）如图1，当点F为AB中点时，若BC=4❑√2，CD＝1，求DF的长；
（2）如图2，将△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到△ABM．分别连接MF，MD．延长MF至点N，交
AC于点E．若MN∥BC，DN＝MD时，求证：EN=❑√2CE；
（3）如图3，BF＝1，BC=4❑√2，BD⊥AC，点G为线段BD上一点，连接FG，将线段FG绕点F逆
时针旋转90°得到线段FH，连接HG．当AH+HD的值最小时，请直接写出△AFG的面积．
5．（2023秋•武隆区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB，AC上，
AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）求证：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说
明理由；
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出△PMN面积的最大值．6．（2023春•姑苏区校级期末）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝
8，AD＝6，在矩形AEFG中，AE＝4，EF＝3，点G在AB上．
（1）探究发现
连接AC、AF，如图2，猜想AC与AF之间的位置关系，并说明理由；
DG
（2）将矩形AEFG绕点A顺时针旋转到如图3的位置，连接DG、CF，请求出 的值；
CF
（3）解决问题
将矩形AEFG绕点A旋转，当点G在落在直线CF上时，直接写出线段CF的长 ．
7．（2022秋•蔡甸区月考）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．
（1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 ．
②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；
如果不成立，请说明理由．
（2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，
连接PQ，若AB＝12，CD＝5，则PQ的最大值是 ．8．（2023•保定一模）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形
A BC D ，A，C，D的对应点分别为A ，C ，D ．
1 1 1 1 1 1
（1）当点A 落在线段DC上时，完成以下探究．
1
①如图1，求DA 的长．
1
②如图2，延长DC交C D 于点E，求证：△BCA ≌△A D E．
1 1 1 1 1
（2）如图3，以BC为斜边在右侧作等腰直角三角形BCF，∠F＝90°，CF交BC 于点G，交C D 于点
1 1 1
H，若GF=❑√7，求D H的长．
1
（3）如图4，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，连接PA ，PD ，则△PA D 面积的最小值为
1 1 1 1
．
9．（2022秋•荔湾区校级期末）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD＝AE，（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠BAC＝90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的
中点，连接MN，PM，PN．
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，试问△PMN面积是否存在最大值；若存在，
求出其最大值．若不存在，请说明理由．
10．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．
AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相
交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB边上一点，连接CD．
（1）如图1，当∠B＝67.5°且CD⊥AB时，将线段DC绕着点D逆时针旋转到 DC′，连接AC′，CC′，若∠CDC′+∠CAC′＝45°，求∠ADC′的度数；
（2）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，线段BD的垂直平分线交DE于点F，点G为线段CD的中点，
连接AG，FG，AF，BF，求证：AG⊥FG；
（3）如图3，∠A＝45°，AD＝4，过点D作DM⊥AB，交AC于点M，点N是直线AB上一动点，点H
是平面内一动点，连接MN，MH，NH，DH，当MH⊥MN且S△MNH ＝24时，请直接写出DH的最小值．
12．（2023秋•蒙阴县期末）如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）如图①，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）把△CDE绕直角顶点C旋转到图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）把△CDE绕点C在平面内自由旋转，连接BE，若AC＝BC＝12，CE＝CD＝5，当AE最大时，直
接写出BE的长是 ．
13．（2024•新城区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角小
于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P．（1）如图1，求证：PC＝PE；
（2）当AD∥BC时，
①如图2，若CA＝6，CB＝8，求线段BP的长；
②如图3，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，判断F是否为线段BD的中点，并说明理由．
14．（2024•益阳二模）如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的关系是 ；
（2）探究证明：把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内转动一周，若AC＝BC＝10，CE＝CD＝5，AE、BD交于点
P时，连接CP，直接写出△BCP最大面积 ．
题型七：旋转与抛物线（共8题）
1
1．（2022 秋•陕州区期末）将抛物线 y= x2+1 绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为
2（ ）
1 1
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y=− x2+1 D．y=− x2﹣1
2 2
2．（2022秋•南充期末）将抛物线y＝x2+2x﹣1绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析为
．
3．（2023秋•辽宁期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C ：y＝x2+mx+n（其中m，n均为常
1
数）交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），A点的坐标为（1，0），设抛物线交y轴于点C，点D为
抛物线的顶点，连接OD，AD，AC．且抛物线对于如下不等式恒成立：{x2+mx+n≥−4x+3)．
x2+mx+n≥2x−6
（1）求抛物线的解析式；
（2）①求证：∠CDA＝∠ODA；
②连接BC，DB，点P为抛物线上一动点，连接DP交BC于Q．若∠DQC＝∠CAB，求点Q的坐标；
（3）在x轴上有一点G（a，0）（a为常数），以G为对称中心，将抛物线旋转180°得到抛物线C ，
2
将点G向上平移2|a|个单位得到H，连接BH．当C 与△BGH的直角边有两个公共点时，请直接写出a
2
的取值范围 ．4．（2022秋•青川县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
1
（2）若E为第二象限的抛物线上的点，连接BC，BE，CE，当S△BCE = S△BOC 时，求点E的坐标．
2
（3）M为平面内一点，将抛物线绕点M旋转180°后得到新的抛物线，且新的抛物线经过点A，若新抛
物线上有一点P，使△BCP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．
5．（2023秋•长春期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 …
y ﹣2 m ﹣2 1 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和m的值．
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c（x＞0）的图象记为G ，将G 绕点O旋转180°后的图象记为G ，G 、G
1 1 2 1 2
合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①若直线y＝k与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围．
②若对于函数G上的两点P（x ，y ）、Q（x ，y ），当t≤x ≤t+1，x ≥2时，总有y ＜y ，直接写出
1 1 2 2 1 2 1 2
t的取值范围．
1 3
6．（2023•雁峰区校级一模）如图，抛物线y=− x2+ x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
2 2
（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点
D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
1
7．（2020秋•天心区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=− x2+bx+c与x轴相交于
4
A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4❑√2，0），B（4❑√2，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，
将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点
P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；
若不能，请说明理由．
8．（2020•青秀区校级三模）如图，已知抛物线C ：y＝ax2+4ax+4a﹣5的顶点为P，与x轴相交于A，B
1
两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求a的值及P的坐标；
（2）如图（1），抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移，平移后的抛物线记为
2 1 2
C ，C 的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C 的解析式；
3 3 3（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C 绕点Q旋转180°后得到抛物线C ．抛物线C
1 4 4
的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角
三角形时，求点Q的坐标．
