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专题 07 相似三角形解题模型（考题猜想，7 种热考模型）
题型一：A字模型（共8题）
1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊 ，文化长廊上伫立
着三座名人塑像 ， ， ，点 ， ， ， ， 在同一直线上，且 ．在明
德楼的楼顶有一照明灯 ，塑像 的影子为 ，塑像 的影子为 ．该校“探数学”兴趣小组的同
学测得文化长廊 米，塑像高 米，塑像 的影长 米．
（1）求明德楼的高 ；
（2）求塑像 的影长 ．【解答】解：（1） ， 米，
米，
由题意得： ，
，
，
，
，
解得： ，
明德楼的高 为12米；
（2）由题意得： ，
，
，
，
，
解得： ，
塑像 的影长 为4米．
2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个
方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离） 为 ，离小李 处
的小张拿一根高 的标杆直立地面，小张离教学楼 ，此时小李的眼睛、标杆
顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼 的高度．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
（米 ，
答：教学楼 的高度为16.6米．
3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为 的小尺测量这棵
树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端 ， ，然后
不断调整站立的位置，在点 处时恰好能看到该大树的顶端 和底部 ．（图中所有点均在同一平面，点
， ， 在同一条直线上． 经测量，小明的手臂长 ，点 到树底端的距离 ，求
大树 的高度．【解答】解： ， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
答：大树 的高度为 ．
4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰 的高度，在 处和 处树立标杆 和 ，
标杆的高都是20米， ， 两处相隔200米，并且 ， 和 在同一平面内．从标杆 后退80米
的 处，可以看到顶峰 和标杆顶端 在一条直线上；从标杆 后退160米的 处，可以看到顶峰 和
标杆顶端 在一条直线上．求山峰的高度 及它和标杆 的水平距离 各是多少米？
【解答】解：由题意得： ， ， ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
解得： ，
山峰的高度 为70米，它和标杆 的水平距离 是200米．
5．（2023秋•大荔县期末）如图，矩形 中， ， ， 是边 上的点，以 为直径
的 恰好与 相切，切点为 ．
（1）求 的半径；
（2）延长 交 的延长线于点 ，求 的值．
【解答】解：（1）连接 ，并延长 交 于点 ，
与 相切于点 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，四边形 是矩形，
，
，
，
设 的半径为 ，
在 中， ，
，
，
的半径为 ；
（2）由（1）得：
四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
的值为15.6．6．（2023秋•广安区校级期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意
义．如图所示，现将一高为2米的木杆 放在灯杆 前，测得其影长 为1米，再将木杆沿着 方
向移动1.8米至 的位置 ，此时测得其影长 为3米，求灯杆 的高度．
【解答】解：由题意得： 米， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，，
解得： ，
灯杆 的高度为3.8米．
7．（2023秋•莱西市期末）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，以 为直径作 ，与 交于点 ，连接 ．设运动时
间为 ，解答下列问题：
（1） 取何值时， 平分 ；
（2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 与 相切？若存在，求出 的值；若不存在说明理由．
【解答】解：（1）由题意得： ， ， ， ， ，
是 的直径，
，
在 中， ，
， ，
，
，即 ，
，
，
当 时， 平分 ，，
解得： ，
当 时， 平分 ；
（2）如图，过点 作 于点 ，
，
，即 ，
，
， ，
，即 ，
，
；
（3）存在某一时刻 ，使 与 相切．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，由（1）（2）知： ， ， ， ， ，
，
，
，
，
与 相切，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
当 时， 与 相切．
8．（2023秋•市南区期末）如图1，在 中， ， ，点 以每秒1个单位长度的
速度，从点 出发沿 方向向终点 运动，同时，点 以每秒2个单位长度的速度，从点 出发沿
方向向终点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒，请解答下
列问题：（1）当 为何值时， ；
（2）在点 、 的运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得 的面积等于6？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
（3）如图2， 是 的中点，连接 ，与 交于点 ，是否存在某一时刻 ，使得 ？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
， ，
， ，
，
，
，即 ，
解得： ，
当 时， ；
（2）存在某一时刻 ，使得 的面积等于6．
理由如下：
过点 作 于 ，作 于 ，如图1，则 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ， ，
，
，
当 时， 的面积等于6．
（3）存在 ，使得 ．
理由如下：
如图2，过点 作 于 ， 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，则 ， ，
是 的中点，
， ， ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，
，即 ，
， ，
，
， ，，
，即 ，
解得： ；
存在 ，使得 ．
题型二：8字模型（共7题）
1．（2022秋•隆昌市校级期末）已知：如图，在 中，点 在边 上， ， 与 、
分别相交于点 、 ， ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，求证： ．
【解答】证明：（1） ．
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ，，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ， 平分 ，且
．
（1）求证： ；
（2） ．
【解答】证明：（1） ，
，
，，
，
平分 ，
，
；
（2）由（1）中相似可得， ，
，
，
， ，
，
，
．
3．（2022秋•平谷区期末）如图，已知锐角 ，以 为直径画 ，交 边于点 ， 平分
与 交于点 ，过点 作 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 长．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，
则 ，
，平分 ，
，
，
，
，
，
为半径，
是 的切线；
（2）解：如图，连接 ， ，
为直径，
，
， ，
， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，即 ，
，，
解得： ．
4．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于 ， 是边 延
长线上的一点，联结 ，与边 交于 ，与对角线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ．
， ．
， ．
．
．
（2） ，
．
，
．
，
．
，即 ．，
．
．
四边形 是平行四边形，
．
，即 ．
平行四边形 是菱形．
5．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形 中， 为 上一点， ， 交 于 ，
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
；（2）解： ，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
的面积 ，
答： 的面积为9．
6．（2022秋•南开区校级期末）如图，在 中， 是 延长线上一点，连接 交 ， 于 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
【解答】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
，，
又 ，
．
（2）解：设 ，则 ，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
， ，
，
又 ，
．
即 的值为 ．
7．（2022秋•双流区期末）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪
从观测出发点 观测深坑底部 ，且观测视线刚好经过深坑边缘点 ，在深坑右侧用观测仪 从测
出发点 观测深坑底部 ，且观测视线恰好经过深坑边缘点 ，点 ， ， ， 在同一水平线上．已
知 ， ，观测仪 高 ，观测仪 高 ， ， ，深坑宽度
，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
【解答】解：过点 作 垂直 ，垂足为 ，如图：， ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
， ， ， ， ，
设 ，则 ，
，
，
，
深坑深度5.5米．
题型三：一线三等角模型（共7题）
1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，
．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 是等边三角形，， ，
， ，
；
（2）解：由（1）证得 ，
，
设 ，则 ，
，
或 ，
或 ．
2．（2022秋•魏都区校级期末）如图， ， ， 为 上一点， ，连接 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 平分 ，求证： ．
【解答】（1）解： ， ，
，
， ， ，
，
，
，，
，
，
的长为 ；
（2）证明： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
．
3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边 ， ， 分别在边 、 上，将 沿 折叠，
点落在 边上的 处．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 ．
【解答】解：（1）证明： 等边
将 沿 折叠， 点落在 边上的 处．又
；
（2）
设 ，则 ，
翻折，
设 ，
， ，
由 得：
①
由 得：
②
由①②解得： ，
．
4．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形 中， 为 上一点， ， 交 于 ，
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
的面积 ，答： 的面积为9．
5．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形 中， 为 边上一点，连结 ，过点
作 交 于点 ．易证： ．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，连结 ，过点 作 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为 的中点，求 的长．
【应用】如图③，在 中， ， ， ． 为 边上一点（点 不与点 、
重合），连结 ，过点 作 交 于点 ．当 为等腰三角形时， 的长为
或 2 ．
【解答】【探究】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
又 ，
；
（2）解： 为 的中点，
，
由（1）知 ，
，
即 ，；
【应用】解：如果 ，则 ， ，则点 与点 重合，点 与点 重
合，不符合题意，
②如果 ，则 ，
为 的外角，
，
， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
， ， ，
，
；
如果 ，则 ，
，
在 中， ，
，
，
又 ，
点 为 的中点，
，
综上， 的长为 或2，故答案为： 或2．
6．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形 中， 是对角线，且 ． 是 边上一动
点，连接 ， ， 交 于点 ，其中 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ．
①如图2，若 ，求 的值；
②如图3，若 ，求 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
， ，
，
，
，
即 ；
（2）解：① ，
，
，
又 ，
，
，
，
，，
；
②如图，过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，则 ，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
又 ，则 ，
．
又 ，
，
，
则 ，
，
则 ，
，
，
，由 ，
得 ，
，
，
．
7．（2022秋•岚山区校级期末）【基础巩固】
（1）如图1，在 中， ，直线 过点 ，分别过 、 两点作 ， ，垂足分
别为 、 ．求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中， ， 是 上一点，过 作 的垂线交 于点 ．若 ，
， ，求 的长．
【拓展提高】
（3）如图 3，在平行四边形 中，在 上取点 ，使得 ，若 ， ，
，求平行四边形 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
．
．，
，
．
．
（2）解：过点 作 于点 ．
由（1）得 ．
．
， ， ，
，
．
，
．
．
（3）解：过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ．
．
四边形 是平行四边形，
， ．
．
．， ．
， ，
，
，
设 ， ， ．
， ．
，
由（1）得 ．
，
，
，
，
，
， ．
平行四边形 的面积 ．
题型四：手拉手旋转模型（共9题）
1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在 中，点 在边 上， ， ，
与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证： ．【 解 答 】 （ 1 ） 证 明 ： ， ，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图， ，
，
，
，
，
由（1）知： ，
，
．
2．（2022秋•大东区期末）如图， 为 内的一点， 为 外的一点，且 ，
．（1）求证： ；
（2）若 ， ，直接写出线段 的长度为 ．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
的长是2.4．
故答案为：2.4．
3．（2022秋•松原期末）已知 是等腰三角形， ，将 绕点 逆时针旋转得到△ ，
点 、点 的对应点分别是点 、点 ．
感知：如图①，当 落在 边上时， 与 之间的数量关系是 （不需要证明）；
探究：如图②，当 不落在 边上时， 与 是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，
请说明理由；
应用：如图③，若 ， 、 交于点 ，则 度．【解答】解：感知： 将 绕点 逆时针旋转得到△ ，
，
即 ，
又 ， ，
，
即 ，
故答案为：相等；
探究： ，证明如下：
将 绕点 逆时针旋转得到△ ，
， ， ，
，
，
；
应用： ，
，
，
设 与 相交于点 ，
，
，
， ，，
．
4．（2023秋•陵城区期末）如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形， ，
的顶点 与 的斜边 的中点重合，将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段
相交于点 ，线段 与射线 相交于点 ．
（1）如图①，当点 在线段 上时，且 ，求证： ；
（2）如图②，当点 在线段 的延长线上时，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， 时，求点 、 两点间的距离．（用含 的代数式表示）
【解答】（1）证明：如图1中，
和 是两个全等的等腰直角三角形，
，
，，
，
， ，
，
，
；
（2）如图2，
，即 ，
，
，
又 ，
；
（3）解： ，
，，
，
解得： ，
，
，
， ，
在 中， ．
5．（2022秋•驿城区校级期末）已知在 中， 于点 ．
（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．
（2）已知 ， ，将 绕着点 按顺时针方向进行旋转得到△ ，连接 ， ．
①如图2，判断 与 之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点 ， ， 在同一直线时，求 的长．
【解答】解：（1） ，
，
， ；
（2）① ， ，理由如下：
由（1）知，在图1中， ，
，
如图2， ，，
△ ，
， ，
，
，
，
， ；
②如图，当点 、 、 在同一直线上时，
由①知， ， ，
设 ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得 （负值舍去），
如图，当 、 、 在同一直线上时，
同理可得， ，解得 （负值舍去），
综上： 或 ．
6．（2022秋•沭阳县校级期末）在 中， ，在 中， ，请探索解答下
列问题．
【问题发现】
（1）如图1，若 ，点 ， 分别在 ， 上，则 与 的数量关系是
，直线 与 的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2，若 ，将 绕点 旋转至如图2所示的位置，则 与 之间是否
满足（1）中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（1）的条件下，若 ，将 绕点 旋转过程中，当 ， ， 三点共线．请直接写出
的长．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
， ，
， ，
，
，直线 与 的夹角为 ，
故答案为： ， ；
（2）不满足， ，直线 与 的夹角为 ，
理由如下：如图2，过点 作 于 ，延长 、 交于点 ，
，
，
， ， ，
， ，
， ，
由勾股定理得： ，
，
同理可得： ，
，
，
，
， ，
， ，
，直线 与 的夹角为 ；
（3）如图3，点 在线段 上，
，
， ，
由勾股定理得： ，
，，
如图4，点 在线段 上，
，
，
综上所述：当 ， ， 三点共线． 的长为 或 ．
7．（2022秋•梅里斯区期末）在 中， ，点 为 边上一动点， ，
，连接 ， ．
（1）问题发现：
如图①，若 ，则 ， 与 的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当 时，请写出 的度数及 与 的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：
如图③，点 为正方形 的边 上的三等分点，以 为边在 上方作正方形 ，点 为正
方形 的中心，若 ，请直接写出线段 的长度．
【解答】解：（1） ，
， ，
， ，
和 是等边三角形，
， ， ，
，
，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2） ， ，
理由如下：
，
，
， ，
，
， ，
，
，，
， ，
，
，
，
；
（3）连接 ，分两种情况：
①当 时，如图③所示：
四边形 是正方形，
，对角线 与 互相垂直平分，
是等腰直角三角形，
，
在 中， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
；
②当 时，如图④所示：
同①得： ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
；
综上所述，线段 的长度为 或 ．8.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在同一
直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
(1)求证：△MFC∽△MCA；
BE
(2)求 的值；
CF
(3)若DM=2,CM=4，求正方形AEFG的边长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°,∠BAC=45°，
❑√2
∴AB= AC，
2❑√2
同理可得AE= AF，
2
AE AB ❑√2
∴ = = ，
AF AC 2
∵∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
BE AB ❑√2
∴ = = ；
CF AC 2
（3）∵DM=2,CM=4，
∴AD=CD=2+4=6，
AM=❑√AD2+DM2=❑√62+22=2❑√10
∴ ，
¿
¿
∵△MFC∽△MCA，
CM FM
∴ = ，
AM CM
∴CM2=AM⋅FM，
4
∴FM= ❑√10，
5
6
∴AF=AM−FM= ❑√10，
5
❑√2 6
∴AG= AF= ❑√5，
2 5
6
即正方形AEFG的边长为 ❑√5．
5
9.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE
，BE与DC交于点P，已知PA=3，PB=4，PC=5．
(1)求证：△ADC≌△ABE；(2)求∠DPB的度数及BE的长；
(3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出
图象，求QR的长．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ADC≌△ABE
（2）解：∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如图①在PE上取点F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）解：
如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=2x×sin30°=❑√3x,AB=2❑√3xAQ AR ❑√3
∵ = = ∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
AB AE 3
∴∠QAR=∠BAE，
∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
❑√3
∴QR= ×12=4❑√3
3
题型五：三角形内接矩形模型（共3题）
1.（2023春·山东东营·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M ，N
1 1
，P 分别在AC、BC、AB上，且四边形M CN P 是正方形，点M ，N ，P 分别在P N 、BN ，
1 1 1 1 2 2 2 1 1 1
BP 上，且四边形M N N P 是正方形，…，点M ，N ，P 分别在P N ，BN ，BP 上，且
1 2 1 2 2 n n n n−1 n−1 n−1 n−1
四边形M N N P 是正方形，则线段M P 的长度是 ．
n n−1 n n 2023 2023
22024
【答案】
32023
【详解】解：设正方形CN P M 的边长为x，正方形M N N P 的边长为y，正方形M N N P 的边
1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3
长为z，
由题意得：△ABC∽△AM P ，
1 1
AM M P
即： 1= 1 ，
AC BC
又∵AM =AC−M C=2−x，
1 1
2−x x
∴ = ，
2 4
∴x=2(2−x)，4 4 22
解得：x= ，即：P M = = ，
3 1 1 3 3
同理：△AM P ∽△P M P ，
1 1 1 2 2
4
∴y=2( −y)，
3
8 8 23
解得：y= ，即：M P = = ，
9 2 2 9 32
同理：△P M P ∽△P M P ，
2 3 3 1 2 2
8
∴z=2( −y)，
9
8 16 24
解得：z= ，即：M P = = ，
9 3 3 27 33
由此规律得：
22024
线段M P 的长为： ，
2023 2023 32023
22024
故答案为： ．
32023
2.（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6
，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．则MN的长为
12❑√5 12
【答案】 / ❑√5
49 49
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6，
∴AB=3,BC=❑√AB2+AC2=3❑√5，
∴四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG=GF,DE∥GF,∠EDG=∠DGF=90°，∴△ADE∽△ABC，
AD AB ❑√5
∴ = = ，
DE BC 5
设AD=a(a>0)，则DG=GF=DE=❑√5a，
∴AE=❑√DE2−AD2=2a，BD=AB−AD=3−a，
∵∠BAC=90°,∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°=∠ADE+∠GDB，
∴∠AED=∠GDB，
在△AED和△GDB中，
{ ∠AED=∠GDB )
，
∠DAE=∠BGD=90°
∴△AED∽△GDB，
AE DE 2a ❑√5a
∴ = ，即 = ，
DG BD ❑√5a 3−a
6
解得a= ，
7
6
6
AD 7 2，GF= ❑√5，
∴ = = 7
AB 3 7
∵DE∥GF，
∴△ADM∽△ABG，
AM AD 2
∴ = = ，
AG AB 7
又∵DE∥GF，
∴△AMN∽△AGF，
MN 2
MN AM =
∴ = ，即6 7，
GF AG ❑√5
7
12❑√5
解得MN= ，
49
12❑√5
故答案为： ．
49
3.（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以
每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜
4）． △
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
4
∴t＝ ；
34
（3）当0＜t≤ 时，正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
3
△
即S＝DP2＝4t2，
4
当 ＜t≤2时，如图，正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
3
△
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S DPFE﹣S GHE，
正方形 △
1
∴S＝4t2﹣ ×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
2
综上所述，S与t之间的函数关系式为¿.
（4）如图，当点E在 ABC内部，设DF与PE交于点O，
△
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
PO PF
∴ = ，
PG PB
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，∴PG＝5a，
PO PF 2a
∴ = = ，
PG PB 5a
2t 2
∴ = ，
8−2t 5
8
∴t＝ ，
7
如图，当点E在 ABC外部，设DF与PE交于点O，
△
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
PO PF
∴ = ，
PG PB
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
PO PF 2a
∵ = = ，
PG PB 3a
2t 2
∴ = ，
8−2t 3
8
∴t＝ ，
5
8 8
综上所述：t＝ 或 .
7 5
题型六：双垂直模型（共2题）
1.（23-24九年级·广西南宁·期末）如图1，在正方形ABCD中，AB长为4❑√3，点E和点F分别是BC，CD
边上一点，且DF=CE，连接DE，AF，DE和AF相交于点H．(1)求证：△ADF≌△DCE；
(2)如图2，过B作BM⊥AF，垂足为M．
①若∠DAF=30°，求MH的长；
DN
②如图3，连接BH并延长BH交CD于点N，若M为AH的中点，求 的值．
BE
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=90°，
∵DF=CE，
∴△ADF≌△DCE；
（2）①由（1）可得：AB=BC=CD=AD=4❑√3,∠ADC=∠DCB=∠ABC=∠BAD=90°，
∵∠DAF=30°，
∴AF=2DF，
∴(2DF) 2−DF2=(4❑√3) 2 ，
解得：DF=4，AF=8，
由（1）得：∠EDC=∠DAF=30°，AF⊥DE，1
∴HF= DF=2，
2
∵∠BAD=90°,∠DAF=30°，
∴∠BAM=90°−30°=60°，而BM⊥AF，
∴∠ABM=30°，
1
∴AM= AB=2❑√3，
2
∴MH=8−2❑√3−2=6−2❑√3；
②∵M为AH的中点，BM⊥AH，
∴AB=BH，AM=MH，
∵BM⊥AH,DE⊥AF，
同理可得：△BAM≌△ADH，
∴AM=DH，
∴设AM=MH=DH=x，
∴AD=❑√5x=AB=CD=BC，
∵AB∥DC，AB=BH，
∴∠BAH=∠DFA,∠BAH=∠BHA，而∠BHA=∠NHF，
∴∠NHF=∠NFH，
∴NH=NF，
∵∠DHF=90°=∠DHN+∠NHF=∠NFH+∠FDH，
∴∠DHN=∠HDN，
∴设HN=DN=NF= y，
∴BN=❑√5x+ y,CN=❑√5x−y，
∴(❑√5x) 2+(❑√5x−y) 2=(❑√5x+ y) 2 ，
❑√5
解得：y= x，
4
❑√5 ❑√5
∴DN= x，DF=CE= x，
4 2
❑√5 ❑√5
∴BE=BC−CE=❑√5x− x= x，
2 2❑√5
x
DN 4 1
∴ = = ．
BE ❑√5 2
x
2
2.（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角
形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和
斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明
定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作
CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=❑√10，求OF的长．
【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
而∠A=∠A，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC² = AB·AD；（2）①证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC2=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
BO BF
即 = ，而∠OBF=∠EBD，
BE BD
∴△BOF∽△BED；
②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=❑√10，
∴CE=❑√BE2−BC2=1，
∴DE=BC-CE=2；
❑√2 3❑√2
在Rt△OBC中，OB= BC= ，
2 2
∵△BOF∽△BED，
3❑√2
OF BO
∴ = ，即OF 2 ，
DE BE =
2 ❑√10
3❑√5
∴OF= .
5
题型七：母子模型（共4题）
1．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图， 中，点 在边 上，且
，若 ， ，则 的长为 ．【答案】2
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
2.（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在 ABC中，D为BC边上的一点，且AC=2❑√6，CD＝4，
BD＝2，求证： ACD∽△ BCA． △
△
【详解】解：∵AC=2❑√6，CD＝4，BD＝2
AC 2❑√6 ❑√6 CD 4 ❑√6
∴ = = ， = =
BC 4+2 3 AC 2❑√6 3
AC CD
∴ =
BC AC
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△ BCA．
3.（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且
△
AB AD
= ，∠BAD＝∠ECA．
AC CE（1）求证：AC2＝BC•CD；
CE
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
AC
△
AB AD
【详解】（1）证明：∵ = ，∠BAD=∠ECA，
AC CE
∴ΔBAD∽ΔACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
AC BC
∴ = ，
CD AC
∴AC2=BC·CD．
（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵AD是 ABC的中线，
∴BC=2△BD=2CD，
∴AC2=BC·CD=2CD2，即：AC=❑√2CD，
CE CD ❑√2
∴ = = ．
AC ❑√2CD 2
4.（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P
为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2❑√2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想
点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的
长．
【详解】（1）解：点D是ΔABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，AD⋅AB=8，
∵AC=2❑√2，
∴AC2=8，
∴AC2=AD⋅AB，
AC AB
∴ = ，
AD AC
∵∠A=∠A，
∴ΔACD∽ΔABC，
∴∠ACD=∠B，
∴点D是ΔABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是ΔABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，
当∠ACD=∠B时，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，
在RtΔABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=❑√AB2−AC2=3，1 1
∵S = AB⋅CD= AC⋅BC，
ΔABC 2 2
12
∴CD= ，
5
②∵AC=4，BC=3，
∴AC>BC有∠B>∠A，
∴ “理想点” D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是ΔABC的“理想点”，
∴∠DBC=∠A，
又∠C=∠C，
∴ΔBDC∽ΔABC，
CD BC CD 3
∴ = ，即 = ，
BC AC 3 4
9
∴CD= ，
4
12 9
综上所述，点D是ΔABC的“理想点”， CD的长为 或 ．
5 4
