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期末解答题压轴题一综合、实践与探究
（考题猜想，8 种必考题型）
题型一：设参处理（共4题）
1．（2023秋•遂宁期末）如图，已知 中， ， ，点 为 的中点．如果
点 在线段 上以 的速度由点 向 点运动，同时，点 在线段 上由点 向 点运动．
（1）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过1秒后， 与 是否全等，请说明理由．
（2）若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与全等？
2．（2023秋•恩施市校级月考）如图1， ， 平分 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2， 平分 交 的延长线于点 ，若 ，求 的大小；
（3）如图3，若 是 上一动点， 是 延长线上一点， 交 于点 ，交 于点 ， 平
分 ，交 于点 ，交 于点 ，当点 在线段 上运动时（不与点 重合），求
的值．3．（2021春•南开区期末）已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，点 在射线 上运动，点 在射
线 上运动，点 ， 均不与点 重合．
（1）如图1， 平分 ， 平分 ，则 ．
（2）如图2， 平分 交 于点 ， 平分 ， 的反向延长线交 的延长线于点 ．
①若 ，则 ．
②在点 ， 的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说
明理由．
（3）如图3，已知点 在 的延长线上， 的平分线 ， 的平分线 与 的平分线
所在的直线分别相交于点 ， ．在 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出
的度数．4．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，已知 中， ， ，点 为 的中
点．
（1）如果点 在线段 以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由点 向 点运
动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 后， 与 是否全等？说明理由；
②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
（2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都逆时针沿
三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在 的哪条边上相遇？
题型二：角平分线与对称型全等（共4题）
1．（2023秋•五莲县期末）（1）观察图形：
如图1， 中， ， ， ， ，垂足分别为 、 ， 与 交于点 ．
①写出图1中所有的全等三角形 ；
②线段 与线段 的数量关系是 ；
（2）问题探究：
如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足为 ， 与 交于点
．
求证： ．
（3）拓展延伸：
如图3， 中， ， ，点 在 上， ， ，垂足为 ，
与 交于点 ．求证： ．
2．（2023秋•鄞州区期末）【基础练习】
（1）如图1，在等腰 中， ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ，
求 的长．
【类比探究】（2）如图 2， 是 的角平分线， ， ，点 在 上， ．求证：
．
【拓展延伸】
（3）如图3，点 是等边 外一点，连结 ， ， ，恰好满足 ． 平分 交
于点 ，线段 ， ， 之间有什么关系？请作出猜测并进行证明．
3．（2023春•市南区期末）问题解决：
（1）如图1， 中， 为 边上的中线，则 ．
（2）如图2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则 ．（3）如图3， ， ， 分别为 ， ， 的中点，若 ，则 ．
问题探究：
（1）如图4， ， 是 的中线， ， 交于点 ， 与 相等吗？
解： 中，由问题解决的结论可得， ， ．
．
．
即 ．
（2）如图 5， 中， 是 上的一点， ， 是 的中线，且 ，试求
的值．
问题拓展：
如图6， 中， 平分 ， ，则 ．4．（2024春•宣城期末）如图，在△ 中， 平分 ， 于点 ，点 是 的中点．
【探究】
（1）如图1， 的延长线与 边相交于点 ，求证： ；
（2）如图2，线段 、 、 之间满足的数量关系为 ；
【初步运用】
（3）如图 3，△ 中， 平分 ， ，垂足为 ，过 作 交 于点 ，
， ，则 ；
【灵活运用】
（4）如图4，△ 中， ， ，点 在 上， ， ，垂足
为 ， 与 交于点 ，判断线段 、 之间满足的数量关系，并说明理由．
题型三：夹半角与截长补短（共8题）
1．（2023 秋•禹城市期末）（初步探索）（ 1）如图 1：在四边形 中， ，
， 、 分别是 、 上的点，且 ，探究图中 、 、
之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连接 ，先证明，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；
（灵活运用）（2）如图2，若在四边形 中， ， ， 、 分别是 、
上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
2．（2022秋•卧龙区校级期末）【问题背景】
如图1：在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的
点，且 ，试探究图中线段 、 、 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如 图 3 ， 四 边 形 是 边 长 为 5 的 正 方 形 ， ， 直 接 写 出 的 周 长
．
3．（2023春•安宁区校级期末）探索与发现——“半角”模型
问题背景
（1）如图1，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ，
上的点，且 ，探究图中线段 ， ， 之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法
是，延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，则线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
探索发现
（2）如图2，若在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
拓展延伸
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是直线 ， 上的两个动点，且
请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
4．（2024 春•高州市期末）在四边形 中， ， ， 分别是 ， 上的点，并且
，试探究图中 ， ， 之间的数量关系．
【初步探索】
（1）如图1， 小王同学探究的方法是：延长 到点 ，使 ．连接 ，先证
明 ，再证明 ，由此可得出结论 ；【灵活运用】
（2）如图2，若 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）如图 3，若 ，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，仍然满足
，请写出 与 的数量关系，并给出证明过程．
5．（2022春•霞山区校级期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的
两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱
化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．（1）问题背景：
如图1，在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的
点，且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系；
（2）探索延伸：
如图 2，若在四边形 中， ， ． 、 分别是 、 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东
的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60海里 小时的速度
前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以80海里 小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇
分别到达 、 处，且两舰艇与指挥中心 之间的夹角 ，试求此时两舰艇之间的距离；
（4）能力提高：
如图，等腰直角三角形 中， ， ，点 、 在边 上，且 ，若
， ，试求出 的长．
6．（2022秋•沙洋县校级期末）（1）问题背景：
如图1：在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 ， 上的点且
，探究图中线段 、 、 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形 中， ， ． ， 分别是 ， 上
的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥
中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海
里 小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以60海里 小时的速度前进，2小时后，指挥中心观
测到甲、乙两地分别到达 、 处，且两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
7．（2023秋•晋安区期末）如图1，在四边形 中， ， ， ，
、 分别是 、 上的点， ，试探究图1中线段 、 、 之间的数量关系．如 图 2 ， 在 四 边 形 中 ， ， ， 、 分 别 是 、 上 的 点 ，
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
8．（2022秋•迎江区校级期末）（1）如图1，在四边形 中， ， ，点 、
分别在边 、 上，且 ，探究图中 、 、 之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论是 ．
（2）如图 2，在四边形 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，且
，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形 中， ， ，若点 在 的延长线上，点 在
的延长线上，仍然满足 ，请直接写出 与 的数量关系为
．
题型四：一线两等角与构造全等（共3题）
方法:一线两角等，直接给出两边相等时，可构造一线三等角型全等;没有直接给出两边相等时，可截长得
等腰三角形构造补角型全等，也可构造手拉手型全等1．（2023秋•安州区期末）如图，已知 ，点 是 上一点， ．
（1）如图1，若 ， ，求证：
① ；
② ．
（2）如图2，请直接写出 与 之间满足什么数量关系时，总有 成立．
2．（2022秋•汉南区校级期中）如图，已知 ，点 是 上一点， ．
（1）如图1，若 ， ，求证：① ，② ；
（2）如图2，若 ， ，求 的度数；
（3）如图3，请直接写出 与 之间满足什么数量关系时，总有 成立．
3．（2024秋•大连月考）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 △ 中， ， 且 ，
点 在 的延长线上，连接 ， ．求证： ．①如图2，小明同学从 这个条件出发，给出如下解题思路：过 作 交 的延长线
于点 ，则 ，△ 是等腰直角三角形， ，再证明两个三角形全等，转化等量线段．
②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段 上截取 ，则△ 是等
腰直角三角形，得到 ，将线段 ， 之间的数量关系转化为线段 与 之间的数量关
系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟
转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答．
如图4，在 △ 中， ，延长 至点 ，使 ，射线 ，点 在线段 上，
点 在射线 上，连接 ， ， 且 ，求证： ．【类比分析】
（3）如图5，在 △ 中， ，延长 至点 、使 ，射线 ，点 在线段
的延长线上，点 在射线 上，连接 ， ， 且 ，若 ， ，求△
的面积．题型五:一边一角等构造全等（共3题）
1．（2020秋•红谷滩区校级期末）已知 ， ， ．
（1）如图1， ，则 ．（用 表示）
（2）如图2，点 ， 分别为 、 上的点， 交 于点 ，连接 ，若 ，
求 的值．
（3）如图3， 为 边上的高， 的平分线 交 于 ，过 作 于 ， 与
交于点 ，连接 ．若 ， ，请直接用含有 ， 的代数式表示 的面积为 ．2．（2023秋•五华区期末）数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完
成相关的计算和证明．
【探究一】如图1，在 中， ，沿过点 的直线折叠这个三角形，使点 落在 边上的
点 处，折痕为 ．同学们发现，若 ， ，借助 ，可以计算
出 的面积．请你完成填空： ；
【探究二】在“图1”的基础上，过点 作 的平分线交 于点 ，连接 ，如图2．同学们发现，
沿直线 折叠这个三角形， 与 重合，即 是 的角平分线．请你证明： 平分
；
【探究三】在“图2”的基础上，过点 作 于点 ，如图3．同学们通过测量发现， 与
的积是 与 的积的一半．请你证明： ．3．（2021秋•亭湖区期末）如图1，在 中， ， ， 是 的角平分线，
于 ．
（1）发现：如图1，连接 ，则 的形状是 ， ；
（2）探索：如图2，点 为线段 上一个动点，当点 在 之间运动时，连接 ，作 ，
交射线 于 ，连接 ，即 是等边三角形；
思路：在线段 上截取点 ，使 ，得等边 ，由 ， ，
，易证 ，得 ，即 是等边三角形．试判断线段 、
、 之间的关系，并说明理由；
（3）类比：如图3，当点 在 之间运动时连接 ，作 ， 交射线 于 ，连接 ．
①试判断 的形状，并说明理由；
②若 ，设 ， ，请直接写出 与 之间的函数关系式．题型六：倍长与分类讨论、手拉手（共4题）
1．（2023秋•江岸区期末）以线段 、 为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ 与等腰△ ，
， ， ， ，且 ．
（1）如图1，当点 、 、 三点共线时，求证： ；
（2）如图 2，当点 、 、 三点不共线时，连接 ，点 为 中点，连接 、 ，求证：
；
（3）如图3，当点 在线段 上运动时（点 与 、 不重合），请直接写出 与 的数量
关系 （直接填写答案）2．（2022秋•黄陂区校级期末）点 为等边三角形 所在平面内一点，且 ．
（1）如图1，点 在 外部，若 ， ，则 的长为 ；
（2） 点在 内部，连接 ．
①如图2，若 ，求证 ；
②如图3， 为 边中点，连接 ，求证： ．3．（2024秋•渝北区校级期中）将两个等腰直角△ 与△ 如图放置， ， ，
．
（1）如图1，若点 、 、 三点共线时，交线段 于点 ，点 是线段 上的点，满足 ，
，求 的度数；
（2）当△ 绕着点 顺时针旋转至如图2时，分别连接 ， ，若点 是线段 的中点，连接
，求证： ；
（3）当△ 绕着点 顺时针旋转至如图 3时，分别连接 ， ，若点 是线段 的中点，
， ， ，四边形 面积为460时，直接写出点 到 的距离．4．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知，点 为等边三角形 所在平面内一点，且 ．
（1）如图（1）， ，求证： ；
（2）如图（2），点 在 内部，且 ，求证： ；
（3）如图（3），点 在 内部， 为 上一点，连接 ，若 ，求证：
．
题型七：斜十字架与手拉手、8字模型（共2题）
1．（2023秋•东西湖区期末）在等边 中， 、 两点分别在边 、 上， ， 、
相交于点 ．
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，延长 至点 ，连接 ， ， ，求 的值；
（3）如图3，连接 ，若 ， ，则 ．2．（2023秋•武昌区期末）如图，点 是等边△ 的边 上一点， ，点 在 上，
，点 在 的延长线上，连接 ， ．
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图1，求证： ；
（3）如图 2， ， 分别是 ， 上两个动点，满足 ，当 最小时，直接写出
的大小为 （用含 的式子表示）．题型八：一线三等角、倍长与手拉手（共2题）
1．（2021秋•江汉区期末）如图，在等边 中， ， 分别为 ， 边上的点， ，
．
（1）如图1，若点 在 边上，求证： ；
（2）如图2，连 ．若 ，求证： ；
（3）如图 3， 是 的中点，点 在 内， ，点 ， 分别在 ， 上，
，若 ，直接写出 的度数（用含有 的式子表示）．2．（2023秋•金乡县期末）如图所示，在 中， ，点 是线段 延长线上一点，且
．点 是线段 上一点，连接 ，以 为斜边作等腰 ．连接 ，且 ．
（1）若 ， ，则 ；
（2）过 点作 ，垂足为 ．
①填空： △ ；
②求证： ；
（3）如图2，若点 是线段 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段 ， ， 之间的数量关
系，并简要说明理由．
