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9.5 三定问题及最值（精练）
1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．3．（2006·湖南·高考真题）已知 ，抛物线 ，且 的公共弦
过椭圆 的右焦点．
(1)当 轴时，求m、p的值，并判断抛物线 的焦点是否在直线 上；
(2)是否存在m、p的值，使抛物线 的焦点恰在直线 上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存
在，请说明理由．
4．（2023·河南·校联考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分
别为 ， 是 （ 为坐标原点）的中点，且 .
(1)求 的方程；
(2)不过坐标原点的直线 与椭圆 相交于 两点（ 异于椭圆 的顶点），直线 与 轴的交点
分别为 ，若 ，证明：直线 过定点，并求该定点的坐标.5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知圆 ： ，圆 ： ，圆
M与圆 外切，且与圆 内切．
(1)求圆心M的轨迹C的方程；
(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点， ，则当 的
面积最大时，求 的值．
6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，椭圆
的上顶点到右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、，求 的值．
7．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C： 的离心率 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点 的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线 相交于点Q，如果 ，
，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
8．（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C： 的焦距为4，左右顶点分别为 ， ，
椭圆上异于 ， 的任意一点P，都满足直线 ， 的斜率之积为 ．(1)若椭圆上存在两点 ， 关于直线 对称，求实数m的取值范围；
(2)过右焦点 的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否
存在实数k，使得 为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
9（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ， 为椭
圆上异于 、 的动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设动直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，若 ， 的面积是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.10．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆 的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分
别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ的斜率为 ， ．过点B作直线
PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得 为定值，若存在，求出点T的坐标；若不
存在，试说明理由．
11．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点 且平行
于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．11．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知 为坐标原点，定点 ， ，圆 ，
是圆内或圆上一动点，圆 与以线段 为直径的圆 内切.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设 的轨迹为曲线 ，若直线 与曲线 相切，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，证明： 为定值.
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C： 上一动点，点
，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆 上，且M在第一象限，过点M作圆 的切线交Q点轨迹于A，B两点，问
的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.13．（2023·北京密云·统考三模）椭圆C： 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆C的方程和长轴长；
(2)点M，N在C上，且 .证明：直线MN过定点.
14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知椭圆 与直线
相交于 两点，椭圆上一动点 ，满足 （其中 表示两点连线的斜率），且 为椭圆
的左、右焦点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点，求 的内切圆面积的最大值．
15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆 过点 ，点 与 关于原点
对称，椭圆 上的点 满足直线 与直线 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 相交于 两点，已知点 ，点 与 关于原点对称，讨论：直线
的斜率与直线 的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线 上的动点 满足 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，过 、 分别做 的切线，两切线交于点 .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线 经过定点 ；
②点 在定直线 上.
17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知点 在双曲线 上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交 的两条渐近线于 两点，其中O为坐标原点，求证： 的面积 是
定值；
(2)已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于点 ､
的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上．18（2023·山西阳泉·统考二模）已知双曲线 经过点 ，直线 、 分别是双
曲线 的渐近线，过 分别作 和 的平行线 和 ，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且
（ 是坐标原点）
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 分别是双曲线 的左、右顶点，过右焦点 的直线交双曲线 于 、 两个不同点，直线
与 相交于点 ，证明：点 在定直线上.
19．（2023·四川成都·校联考二模）已知 和 是椭圆 的左、右顶点，
直线 与椭圆 相交于M，N两点，直线 不经过坐标原点 ，且不与坐标轴平行，直线 与直线 的
斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线OM与椭圆 的另外一个交点为 ，直线 与直线 相交于点 ，直线PO与直线 相交于点
，证明：点 在一条定直线上，并求出该定直线的方程．20．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
P为双曲线右支上的一点， 为 的内心，且 .
(1)求C的离心率；
(2)设点 为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线 与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为
，直线 ， 分别与圆O： 相交，交点分别为异于点D的点M，N，判断直线 是
否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.
21．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．22．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
23．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
24（2022·天津·统考高考真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．25．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
26．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．27．（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两
点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
