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专题 02 二次函数（考题猜想，4 种热考题型）
题型一：抛物线与公共点问题（共9题）
1．（2024春•海淀区校级期末）如表记录了二次函数 中两个变量 与 的5组对应值，
其中 ，根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值
范围是
1 3
0 2 0
A． B． C． D．
2．（2022秋•黄陂区校级期末）无论 为何值，直线 与抛物线 总有公共点，
则 的取值范围是
A． B． C． 或 D． ，3．（2020秋•旌阳区期末）关于 的函数 的图象与 轴有四个不同的公共点，则
的取值范围是
A． 且 B． C． D．
4．（2023秋•青山区校级月考）若直线 与函数 的图象有且只有两个公共
点时，则 的取值范围是
A． B． C． 或 D． 或
5．（2022秋•洪山区校级月考）若 ， 两数中较大的数记作 ， ，函数 ， 与直
线 的图象有且仅有2个公共点，则 的取值范围为 ．
6．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ， 的顶点为 ．点 的坐标为 ，将直线 沿 轴
向上平移5个单位长度后，恰好经过 、 两点．
求 的值和点 的坐标；
（2）已知点 是点 关于原点的对称点，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，结
合函数的图象，求 的取值范围．7．（2022秋•安阳县期末）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（其中 在 的
左侧），与 轴交于点 ．
（1）求 ， 的坐标；
（2）若直线 过 ， 两点．
①求抛物线解析式；
②点 关于 轴的对称点为 ，若过点 的直线 与抛物线在 轴上方（不含 轴上的点）的部分
无公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
8．（2023秋•鼓楼区期末）已知直线 与抛物线 为非0常数）．
（1）求证：直线与抛物线总有公共点；（2）无论 为何值，总有 ，结合图象，直接写出 的值或取值范围．
9．（2023秋•长春期末）已知抛物线 、 、 是常数， ，自变量 与函数值 的部
分对应值如表：
0 1 2 3
1
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和 的值．
（3）将抛物线 的图象记为 ，将 绕点 旋转 后的图象记为 ， 、 合
起来得到的图象记为 ，完成以下问题：
①若直线 与函数 有且只有两个交点，直接写出 的取值范围．
②若对于函数 上的两点 ， 、 ， ，当 ， 时，总有 ，直接写出 的取
值范围．题型二：抛物线与根的分布（共7题）
10．二次函数 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 为实数）在
的范围内有解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11．（2023秋•莱芜区期末）已知：二次函数 ．下列结论：
①抛物线的开口向上，当 时， 随 增大而增大；
②当 时，抛物线与 轴有两个交点；
③若关于 的一元二次方程 ，在 的范围内有实数根，则 的取值范围是
；
④抛物线 与直线 可以存在唯一公共点；
⑤若 ， 是抛物线上的两点，则 ．
其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2023 秋•东阳市期末）抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程
为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围
A． B． C． D．
13．（2021秋•西秀区期末）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2022秋•宽城区校级期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于坐标原点和 ，若关
于 的方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是 ．
15．（2021秋•海珠区校级期末）如图，抛物线 的对称轴为直线
（1）求抛物线解析式；
（2）若关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
．
16．（2022 秋•扶风县期末）二次函数 的部分图象如图所示，其中图象与 轴交于点，与 轴交于点 ，且经过点 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成 的形式，并直接写出顶点坐标以及它与 轴的另一个交点
的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于 的一元二次方程 为实数）在 的范
围内有解，则 的取值范围是 ．
题型三：二次函数与最值（共14题）
17．（2023秋•武汉期末）如图（1），在 中， ， 为 平分线上一点，连接
，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ， ．设 ， ， 与 的函数关系
如图（2），当 时，函数 有最小值．当 时， 的值为 ．
18．（2021秋•鄞州区期末）如图，点 是抛物线 上不与原点 重合的动点， 轴于点 ，
过点 作 的垂线并延长交 轴于点 ，连结 ，则线段 的长是 ， 的最小值是 ．19．（2021秋•荆门期末）设 为坐标原点，点 、 为抛物线 上的两个动点，且 ．连
接点 、 ，过 作 于点 ，则点 到 轴距离的最大值 ．
20．（2023秋•阿城区期末）综合与实践
如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 经过点 ，点 ，与 轴
交于点 ，过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，过 作 轴的垂线交 轴于点 ，连接 ， 是第一象
限抛物线上一个动点，设点 的横坐标为 ．
（1）求 ， 的值．
（2）过点 作 交直线 于点 ，求线段 的最大值和此时点 的坐标．
（3）点 在 上（点 不与点 、点 重合），连接 ，过点 作 于点 ， 的平分
线交 于点 ．
①当直线 经过 的中点 时，点 也恰好在直线 上，求此时点 的坐标．
②在①的情况下，平面内有一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点
的坐标．
21．（2023秋•宁河区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，求 的最大值及
此时点 的坐标；
（3）已知点 是抛物线的顶点，若在 轴上存在一点 ，使 的周长最小，求点 的坐标．
22．（2023 秋•和平区校级期末）如图，二次函数 图象交坐标轴于点 ，
，点 为线段 上一动点．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）过点 作 轴分别交线段 、抛物线于点 和点 ，求线段 的最大值及此时 的面
积；
（Ⅲ）当 取最小值时，求此时点 的坐标及 的最小值．23．（2023秋•合川区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于 ，
两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为直线 上方抛物线上任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，过点 作 轴，
交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点 为原抛物线与平移后的抛物线
的交点，点 为平移后的抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点 ，
， ， 为顶点的四边形是菱形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的求解过程写出来．24．（2023秋•漳州期末）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为直线 上方抛物线上一点，连接 ，与 交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作
轴于点 ，连接 ．
①当 时，求点 的坐标；
②试探究： 是否有最大值？若有，求出该最大值；若没有，请说明理由．
25．（2023秋•莱州市期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点 ，使 的值最小，此时 的坐标为 ；
（3）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 、点 重合），过点 作 轴于点 ，交
直线 于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐
标；若不能，请说明理由；
（4）若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标．26．（2024春•北碚区校级期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，且 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 为抛物线在第一象限内的一动点，过 作 交 轴于点 ，作 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位，新抛物线与 轴交于点 ， 是新抛物线上的一点，若
，请直接写出所有符合条件的点 的横坐标．27．（2023秋•礼县期末）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 从点 出发，在线段 上以每秒2个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，在线段 上
以每秒 个单位的速度向点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为 秒，
求当 为何值时， 的面积取得最大值？并求出面积的最大值；
（3）点 是抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，当 是直角三角形时，求
点 的坐标．
28．（2023秋•汶上县期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当△ 面积最大时点 的坐标及该面
积的最大值；
（3）在 轴上是否存在点 ，使△ 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若
不存在，说明理由．29．（2023秋•潼南区期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 点在 点左侧），直线
与抛物线交于 ， 两点，其中 点的横坐标为2．
（1）求 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式；
（2）若点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值；
（3）若点 是抛物线上的一个动点，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程；
若不存在，请说明理由．30．（2023秋•天桥区期末）如图1，抛物线 与 轴交于 和 两点，与
轴交于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） 是抛物线上，位于直线 上方的一个动点，过点 作 于点 ，求 坐标为何值时
最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点 ，点 为原抛
物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数与定值（共7题）
31．（2023秋•平湖市期末）如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点（点 在点
的左侧），与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ．
（1）若 ，求二次函数的表达式；
（2）设点 为抛物线上位于 轴下方的动点，直线 ， 分别与直线 交于点 ， ，求证：
．32．（2023秋•惠山区期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和点 （位于 轴
的正半轴），与 轴交于点 ．
（1） （用含 的代数式表示）；
（2）若 的面积为6，点 ， 为二次函数 图象上的两点，设点 的横坐标为 ，点
的横坐标为 ，且 ，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ．
①求该二次函数的表达式；
②若 ，则 是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．33．（2023秋•泰兴市期末）在平面直角坐标系中，过点 任作一条直线分别交抛物线
于 、 两点，如图1，当 轴时， 是等腰直角三角形．
（1） ；
（2）如图2，过 作 轴的垂线 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 、 ，
①设 点的横坐标为 ，求 点的坐标（用含 的代数式表示）；
②试说明 ；
（3）如图3，过 作 轴的平行线交抛物线于 、 两点，直线 、 相交于点 ， 的面积是
否为定值？如果是，请求出 的面积；如果不是，请说明理由．34．（2023秋•靖江市期末）如图1，已知二次函数 、 、 为常数，且 的图象，与
轴交于 、 两点 点在 点左侧），与 轴交于点 ，且其函数表达式可以变形为
的形式．已知点 为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为 ．
（1）求出点 、点 的坐标和该二次函数的表达式；
（2）连接 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，直线 交 轴于点 ，连接 ．
①求出直线 的函数表达式（用含有 的代数式表示）；
②设四边形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并求 的最大值；
（3）如图2，若直线 为该二次函数图象的对称轴，交 轴于点 ，直线 ， 分别交直线 于点 、
．在点 运动的过程中， 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．35．（2023秋•天元区期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
负半轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点 是抛物线上第三象限内的一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
（3）如图2，经过定点 作一次函数 与抛物线交于 ， 两点，试探究 是否为定
值？请说明理由．36．（2023秋•泉州期末）如图1，已知抛物线 与 轴相交于点 ，点 是抛物线的顶点，
连接 ．
（1）点 ， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值；
（2）设过定点 的直线与抛物线相交于 、 两点，点 在点 的左侧且点 在第四象限，当直线
与直线 相交所成的一个角为 ，求点 的坐标；
（3）如图2，把抛物线的顶点平移到坐标原点，在平移后的抛物线上任取一点 ，过点 作射线
轴交抛物线于点 ，在射线 上点 的左右两侧各有一个动点 ， ，分别过 ， 作 垂线交抛物
线于 ， ， 交 于点 ，连接 ， ， ， ， ，则 ， ， ，
中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．37．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系 中，已知点 在 轴正半轴上．
（1）如果四个点 ， ， ， 中恰有三个点在二次函数 为常数，且 的图象
上．
①
②如图1，已知菱形 的顶点 、 、 在该二次函数的图象上，且 轴，求点 的坐标；
③如图2，已知正方形 的顶点 、 在该二次函数的图象上，点 、 在 轴的同侧，且点 在点
的左侧，设点 、 的横坐标分别为 、 ，试探究 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不
是，请说明理由．
（2）已知正方形 的顶点 、 在二次函数 为常数，且 的图象上，点 在点 的左
侧，设点 、 的横坐标分别为 、 ，直接写出 、 满足的等量关系式．
