专题01三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型）教师版_初中数学_八年级数学上册（人教版）_期末专项复习-U276_2025版

专题 01 三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6 种热考模型） 题型一：双内角平分线（共7题） 1．（2023秋•锦江区校级期末）如图， 中， 与 的平分线相交于 ，若 ，则 度． 【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解． 【解答】解： ， ． 与 的平分线相交于 ， ，． 【点评】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和是180度． 2．（2022春•历下区期末）在 中， 和 分别是 和 的角平分线， ， 相交于 点 ． （1）如图1，若 ， ，求 的度数； （2）借助图1，若 ， ，求 与 的关系； （3）如图2，若 ，求证： ． 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可； （2）根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可； （3）利用 证明 ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【解答】（1）解： ， ， 和 分别是 和 的角平分线， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 和 分别是 和 的角平分线， ， ， ， ，； （3）证明： ， ， 和 分别是 和 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 即 ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角 形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键． 3．（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在 中， 、 分别平分 和 ，直接 写出 与 的数量关系为 ． （2）已知：如图②，在四边形 中， 、 分别平分 和 ，试探究 与 的 数量关系． 【分析】（1）根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理可得答案；（2）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据四边形的内 角和可得 ，代入化简即可． 【解答】解：（1）如图①， ， 、 分别平分 和 ， ， ， 在 中，由三角形内角和定理得， ， 故答案为： ； （2）如图②， ，理由如下： 、 分别平分 和 ， ， ， 在 中，由三角形内角和定理得， ， 而 ， ． 【点评】本题考查多边形的内角和、三角形的内角和以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及多边 形的内角和定理是得出正确答案的前提．4．（2023秋•巨野县期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，若 ． （1）求 的度数； （2）把（1）中 这个条件去掉，试探索 和 之间有怎样的数量关系． 【分析】（1）先求出 的度数，根据平分线的定义得出 ， ，求出 的度数，根据三角形内角和定理求出 即可； （2）根据角平分线的定义可得 ， ，然后用 表示出 ，再根据三角形 的内角和等于 列式整理即可得出结论． 【解答】解：（1） ， ， 、 分别是 的角 、 的平分线， ， ， ， ； （2） ， 、 分别是 的角 、 的平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 5．（2023春•台江区校级期末）（1）如图1，四边形 中， 和 的平分线交于点 ，已 知 ，求 的度数；（2）如图2，在四边形 中， 和 外角的三等分线交于点 ，已知 ， ，请写出 、 与 的数量关系，并证明； （3）如图3， 在 边的延长线上， 在 边的延长线上， 和 的平分线交于点 ，请直 接写出 、 、 、 的数量关系： ． 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出 ，再由角平分线定义得出 ，最后根据三角形内角和定理求出 即可； （2）设 ， ，可得 ， ，由“8”字形可得 ，根据 四边形内角和定理可得出 ； （3）设 ， ，由“8”字形可得 ，根据四边形内角和 定理可得出 ． 【解答】解：（1） ，且 ， ， ， 分别是 和 的平分线， ， ； （2）设 ， ，则 ， ， 由“8”字形可得 ， ，， ， ； （3）设 ， ， 由“8”字形可得 ， ， ， ，即 ． 【点评】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌 握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是 ；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的 角． 6．（2022秋•余庆县期中）动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图（1），在 中， 、 分别平分 和 ，试探究 与 的数量关系． 探究二：若将 改为任意四边形 呢？ 已知：如图（2），在四边形 中， 、 分别平分 和 ，试利用上述结论探究 与 的数量关系．（写出说理过程） 探究三：若将上题中的四边形 改为六边形 （图（3） 呢？请直接写出 与 的数量关系： ．【分析】探究一：根据角平分线的定义可得 ， ，然后根据三角形内角 和定理列式整理即可得解； 探究二：根据四边形的内角和定理表示出 ，然后同理探究二解答即可； 探究三：根据六边形的内角和公式表示出 ，然后同理探究二解答即可． 【解答】解：探究一： 、 分别平分 和 ， ， ， ， ， ， ， ； 探究二： 、 分别平分 和 ， ， ， ， ， ， ， ； 探究三：六边形 的内角和为： ， 、 分别平分 和 ， ， ，， ， ， ， ， 即 ． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一 个解答思路求解是解题的关键． 7．（2021春•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系 中，点 为 轴上的动点，点 为 轴上方的动 点，连接 ， ， ． （1）如图1，当点 在 轴上，且满足 的角平分线与 的角平分线交于点 ，请直接写出 的度数； （2）如图2，当点 在 轴上， 的角平分线与 的角平分线交于点 ，点 在 的延长线上， 且满足 ，求 ； （3）如图3，当点 在第一象限内，点 是 内一点，点 ， 分别是线段 ， 上一点，满足： ， ， ． 以下结论：① ；② 平分 ；③ 平分 ；④ ． 正确的是： ．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过 程）．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线定理可求 的度数； （2）由三角形外角的性质和角平分线定理可求解； （3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，通过全等三角形的性质和角平分线性质，可 求解． 【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ， （2） 平分 ， （3）如图，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，，且 ， ，且 ， ，且 ， 平分 ， 如图，作 平分 ，交 延长线于点 ，连接 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， ， 点 与点 重合， 平分 ； 平分 故②③正确， ， ，且 故①错误 如图，在 上截取 ， ， ，， ， ，且 ， ， 故④正确 故答案为：②③④ 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当的辅助线 是本题的关键． 题型二：双外角平分线（共6题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴上的一点，点 为 轴上的一点， 平分 ， 平分 ，求 的度数． 【分析】先根据三角形外角的性质得到 ，再根据角平分线的性质求出 ， 最后根据三角形内角和计算即可． 【解答】解：如图， 由图可知， ， ， ， 平分 ， 平分 ，， ． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形内角和，根据三角形外角的性质得到 是解题的关键． 2．（2022秋•即墨区期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 如何证明这个定理 呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下 条件，证明定理． 【定理证明】 已知： 如图①，求证： ． 【定理推论】如图②，在 中，有 ，点 是 延长线上一点，由平角的定义 可得 ，所以 ，从而得到三角形内角和定理的推论：三角 形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点 、 分别是 的边 、 延长线上一点． （1）若 ， ，则 ． （2）若 ，则 ． 【拓展延伸】如图④，点 、 分别是四边形 的边 、 延长线上一点． （1）若 ， ，则 ． （2）分别作 和 的平分线 、 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为 ． （3）分别作 和 的平分线，交于点 ，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，并说明理 由．【分析】【定理证明】过点 作 ，根据平行线的性质和平角的定义解决． 【定理推论】根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答． 【初步运用】（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ， 根据三角形的内角和定理得 ，以此即可求解． 【拓展延伸】（1）连接 ，根据三角形内角和定理的推论即可解答． （ 2 ） 过 点 作 ， 由 （ 1 ） 可 知 ， ， 则 ，根据平行线和角平分线的性质可得 ，则 ，以此即可求解． （3）由（1）可知， ，则 ，根据角平分线 的性质和四边形的内角和为 即可求解． 【解答】【定理证明】 证明：如图，过点 作 ， ，， ， ， ． 【定理推论】 ， ， ． 故答案为： ． 【初步运用】（1） ， ， ， ； 故答案为： ； （2） ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【拓展延伸】（1）如图，连接 ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． （2）如图，过点 作 ，则 ，由（1）知， ， ， ， ， ， ， 、 分别是 和 ， ， ， ． 故答案为： ． （3） ，理由如下： 由（1）知， ， ， 、 分别为 和 的角平分线， ， ， ， ， ， 即 ． 【点评】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据 题干作出正确的辅助线是解题关键． 3．（2023秋•重庆期末）如图，在 中，分别延长 的边 ， 到点 ， ， 与 的平分线相交于点 ，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：．若 ，则 ； ．若 ，则 ； ．若 ，则 ； （1）根据上述规律，若 ，则 ． （2） ．（用含 的式子表示） （3）请证明（2）中的结论． 【分析】（1）由题中规律即可得到答案； （2）由题中规律即可得到答案； （3）根据上述规律，由三角形内角和定理、邻补角及角平分线的性质即可证明． 【解答】解：（1） ．若 ，则 ； ．若 ，则 ； ．若 ，则 ； ， 若 ，则 ； 故答案为： ； （2）由（1）中规律可知， ， 故答案为： ； （3）如图所示：在 中， ， ， ， ，即 ， 平分 ， 平分 ， ， 在 中， ． 【点评】本题考查找规律，涉及三角形内角和定理、邻补角、角平分线性质等知识，读懂题意，找到规律， 并灵活运用三角形内角和定理求解是解决问题的关键． 4．（2022春•南阳期末）（1）温故知新 如图1，已知 是 的一个外角，则 ； （2）尝试探究 如图2， 与 分别为 的两个外角，则 （横线上填“ ”、 “ ”或“ ” ； （3）初步应用 如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则 ； （4）解决问题 如图4，在 中， ， 分别平分外角 ， ， 与 有何数量关系？请说明理由； （5）拓展提升 如图5，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请借鉴上面的思路直接写出 与 ， 的数量关系．【分析】（1）根据三角形外角的性质可得答案； （2）根据三角形外角的性质得 ， ，再利用等式的性质可得答案； （3）由（1）可知： ，即可得出答案； （4）由角平分线的定义得 ， ；再利用整体思想解决问题； （5）由（4）同理可解决问题． 【解答】解：（1） 是 的一个外角， ， 故答案为： ； （2） ， ， ； ． 故答案为： ； （3） ， 由（1）可知： ， 又 ， ， ． 故答案为： ． （4） ，理由如下： 平分 ， 平分 ，， ； 在 中， ， 由（1）可知： ， ； （5） ，理由如下： ， ， 又 平分 ， 平分 ， ， ， ； 四边形 中， ， 在 中， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理等 知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键，同时注意运用类比的数学思想． 5．（2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系 呢？如图1，在五边形 中， ， 是它的两个外角， ．下面是该 结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为 ， ．（1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图 2，在五边形 中， ， 分别是 和 的平分线，若 ，求 的度数； （3）拓展提升：如图3， ， ，则 ． 【分析】（1）根据五边形内角和表示出 的值，根据邻补角定义表示出 的值，即可 求解； （2）由（1）中的结论，求出 ，再根据角平分线定义求出 的值，再根据三 角形内角和定理即可求解； （3）根据已知条件求出 的值，再由（1）中的结论，求出 的值，进而可求 的度数． 【解答】（1）证明： 五边形的内角和为 ， ． ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得 ， ， ， 平分 ， 平分 ，， ， ， ； （3）解： ， ， ， ， ， 由（1）得 ， ， ， ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了多边形的内角和与多边形的外角，三角形的内角和，阅读题目，理解（1）中的结论 是解题的关键． 6．（2021春•丰县校级期末） 问题情境 苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如 图1，在 中， ，设 的外角 、 的平分线交于点 ，求 的度数． （1）请你先完成这个问题的解答． 变式探究 小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究： （2）如图2，在 中， ，若 ， ，且射线 与射线 相交于点 ，则 ； （3）如图3，在 中， ．若 ， ，且 与 相交于点 ， 若要使射线 、 能相交，则 的取值范围是什么？请说明理由； （4）如图3，在 中， ．若 ， ，请直接写出使射线 、能相交的 的取值范围是 （其中 ，请用含 、 的代数式表示）． 【分析】（1）利用外角与三角形内角和的关系可得结论； （2）当 时，求出 、 的两个外角和为 ，在计算出这两个外角和的 ，最后 根据三角形的内角和求出答案； （3）利用（1）（2）的方法可得 ，根据角度的大小关系求出取值范围即可； （4）方法同（3）利用分数表示即可． 【解答】解：（1）在 中， ， ， ， 、 分别是 、 的平分线， ， ， ， ； （2） ， 与 的外角和为 ， ， ， ， 根据三角形的内角和定理得，； （3）由（1）知， ， ， ， ， 若射线 、 能相交，设交点为点 ， 在 中， ， ．解得 ， 的取值范围是 ； （4） ， 与 的外角和为 ， ， ， ， 根据三角形的内角和定理得， ， ， ． 【点评】本题考查三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 题型三：内外角平分线（共13题） 1．（2023秋•莘县期末）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的角 平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线，依此下去，若，则 为 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线定义得出 ， ，根据三角形外角 性 质 得 出 ① ， ② ， ② 得 长 ， 求 出 ③ ， 由 ① 和 ③ 得 出 ， 求 出 ，同理得出 ， ，再根据求出的规律得出答案即可． 【解答】解： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ①， ②， ② 得： ， ③， 由①和③得： ， ， ， 同理 ，， ， 故选： ． 【点评】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出 规律 是解此题的关键． 2．（2024春•绿园区期末）如图， 是△ 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如果 ， ，则 ． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出 的度数． 【解答】解： 是△ 中 的平分线， 是 的外角的平分线， ， ， 是△ 的外角， ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相 邻的两个内角的和． 3．（2023 秋•江汉区期中）如图， 为四边形 外角 的平分线， 平分 ，若 ， ，则 的度数是 ． 【分析】利用角平分线的定义及三角形的外角性质易得 ，然后再结合已知条件 计算即可求得答案．【解答】解： 为四边形 外角 的平分线， 平分 ， ， ， ， ， ， 整理得： ， 四边形 的内角和为 ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点评】本题考查角平分线，三角形的外角性质及多边形的内角和，结合已知条件求得 是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴上的一点，点 为 轴上的一点， 平分 ， 平分 ， 与 的延长线交于点 ，求 的度数． 【分析】利用三角形的外角性质，可得出 ，利用角平分线的定义，可得出 ， ，再结合 ，即可求出 的度数． 【解答】解： 是 的外角， ． 平分 ， 平分 ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和”是解题的关键． 5．（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在 中， ， 分别平分 ， ．求证： ； 【继续探索】 （2）如图②，在 中， 平分 ， 平分 外角 ．求证： ； （3）如图③， 、 分别平分 外角 ， ．则 与 的数量关系是 ； （4）如图④， 中的两内角平分线交于 点，两外角平分线交于 点，一内角平分线与一外角平分 线交于 点．设 ， ， ，则 ， ， 之间的关系是 ． 【分析】（1）先根据三角形角平分线定义表示出 和 ，再根据三角形内角和定理求解； （2）先根 据三角形外角定理求出 ，再根据三角形内角和定理求解； （3）先根据三角形外角定理求 、 ，再根据三角形内角和定理求解； （4）由（1）、（2）、（3）的结论很容易得出 ． 【解答】（1）证明： ， 分别平分 ， ，， ． ； （2）证明： ， ， ， 是 的外角， ， ； （3）解： 、 是 的外角， ， ， ， ， ， 故答案为： ； （4）解：由（1）得 ， 由（2）得 ， 由（3）得 ， ， ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，观察图形，判断出三角形中各角之间 的关系是解题关键． 6．（2022秋•新乡期末）如图1，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ， 交 于 ，交 于 ．（1）当 ， ，则 ； （2）当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点 ，过 点 作 ，交 于 ，交 于 ，试判断 ， ， 之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证 ， ，即可得出答案； （2）与（1）同理可证． 【解答】解：（1） ， ， ， 和 的平分线交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8； （2） ，理由如下： 平分 ， ， ， ， ， ， 同理可得 ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分 线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． 7．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在 中， 平分 ， 平分外角 ，试说明 ． 【变式应用】 （2）如图2， ， ， 分别是射线 ， 上的两个动点， 与 的平分线 的交点为 ，则点 ， 的运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值； 若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3， ，作 的平分线 ， 是射线 上的一定点， 是直线 上的 任意一点（不与点 重合），连接 ，设 的平分线与 的邻补角的平分线的交点为 ，请 直接写出 的度数． 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出 和 ，再根据角平分线的 定义 ， ，最后由 进行等量代换即可； （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出 和 ，再根据角平分线的定义 ， ，最后由 进行等量代换即可； （3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出 和 ，再根据角平分线的定义 ， ，最后由 进行等量代换即可； 【解答】解：（1）如图1所示： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2） 的大小不变，理由如下： 如图2所示： ， ， ， ， 又 平分 ， 平分 ， ， ， ， ； （3） 或 ，分两种情况： ①如图3所示： ， ， ， ， 又 平分 ， 平分 ， ， ，， ； ②如图4所示： ， ， ， ， 又 平分 ， 平分 ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的相互 关系． 8．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在 中， ，三个内角平分线交于点 ， 的外角 的角平分线交 的延长线于点 ． 【问题初探】：（1） 的度数为 ， 的度数为 ； 【问题再探】：（2）如图2，过点 作 ．（可直接使用问题（1）中的结论） ①求 的度数； ②试判断线段 和 之间的位置关系，并说明理由；【拓展探究】：（3）若 ，将 绕点 顺时针旋转一定角度 后得到△ ，当 所在直线与 平行时，请直接写出此时旋转角度 与 之间的关系． 【分析】（1）已知 与 是 和 的平分线，因此可以推导出 ，由于 ，所以可以推导出 ； （2）①已知 ，可以推导出 ， ② ，利用平行线的性质可以证明； （3）当 所在直线与 平行时， ，此时 或者 ． 【解答】解：（1）① ， 与 是 和 的平分线， ， ② ， ， 又 ， ， 平方 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； （2）① ， ，， ② ， 证明： ， ， ， 答： ， ； （3）若 ，将 绕点 顺时针旋转一定角度 后得到△ ， ， ， ， 或者 ， 答： 或者 ． 【点评】本题考查的重点是三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形补角的知识，平行线的判 定，只要熟练掌握以上知识点就可以计算出角的度数． 9．（2023秋•泾阳县期末）如图，在 中， ， 分别是 ， 的平分线， ， 分 别是 ， 的平分线． （1）当 ， 时， ， ； （2）请你猜想，当 的大小变化时， 的值是否变化？请说明理由． 【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得 ，利用邻补 角 求 出 ， ， 再 结 合 角 平 分 线 的 性 质 和 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得 ， 利用邻补角求出 ， ，再结合角平分线的性质和三角形内角和定 理可得 ，由此即可得到答案． 【解答】解：（1） ， 分别是 ， 的平分线， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， 分别是 ， 的平分线， ， ， ， ， 故答案为：115，65； （2）当 的大小变化时， 的值不发生变化， 理由如下： ， 分别是 ， 的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的平分线，， ， ， ， ， 当 的大小变化时， 的值不发生变化． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、利用邻补角求度数，熟练掌握以上知识点 是解此题的关键． 10．（2024春•农安县期末）（问题背景） ，点 、 分别在 、 上运动（不与点 重合）． （问题思考） （1）如图①， 、 分别是 和 的平分线，随着点 、点 的运动， ． （2）如图②，若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点 ． ①若 ，则 ． ②随着点 、 的运动， 的大小会变吗？如果不会，求 的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果 ，其余条件不变，随着点 、 的运动（如图③ ， ． （用含 的代数式表示） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论； （3）在②的基础上，将 换成 即可．【解答】解：（1） ， ， 、 分别是 和 角的平分线， ， ， ， ； 故答案为： ； （2）① ， ， ， ， 是 的平分线， ， 平分 ， ， ， 故答案为：45； ② 的度数不随 、 的移动而发生变化， 设 ， 平分 ， ， ， ， 平分 ， ， ， ； （3）设 ， 平分 ， ， ，， 平分 ， ， ， ； 故答案为： ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 11．（2024春•单县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】 已知：如图1，在 中，角平分线 、 交于点 ．求 的度数． （1）若 ，请直接写出 ； 【变式思考】 （2）若 ，请猜想 与 的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）已知：如图2，在 中，角平分线 、 交于点 ，点 在 的延长线上，作 的平 分线交 的延长线于点 ．若 ，猜想 与 的关系，并说明理由． 【分析】（1）由角平分线定义得到 ， ，由三角形内角和定理得到 ，于是得到 ； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理推出 ，于是得到 ； （3）由角平分线定义得到 ， ，由三角形外角的性质推出， ，得到 ，于是 ． 【解答】解：（1） ， 分别平分 和 ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为： ． （2） ，理由如下： ， 分别平分 和 ， ， ， ， ， ， ， ； （3） ，理由如下： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线定义，关键是由角平分线定义，三角形内 角和定理得到 ；由三角形外角的性质推出 ． 12．已知 、 分别为 中 、 上的动点，直线 与直线 相交于 ， 的平分线与 的 平 分 线 相 交 于 ， 的 平 分 线 与 的 平 分 线 相 交 于 ． （1）如图1，当 在 的延长线上时，求 与 之间的数量关系． （2）如图2，当 在 的反向延长线上时，求 与 之间的数量关系（用等式表示）． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求出 ， ，即可得 出答案； （2）先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求出 ， ，根据邻补角 互补求出即可． 【解答】解：（1） 是 的平分线， 是 的平分线， ， ， ， ，， ， 同理 ， ， ， ； （2） ， 理由是： 由（1）知： ， ， 是 的平分线， 是 的平分线， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形外角的性质等知识点，能综合运 用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，求解过程类似． 13．（2023春•二道区期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在 中， 平分 ， 平分 ，请你判断 和 间的数量关系并说明理由． 刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程． 解：结论： ． 理由： 平分 ， 平分 ， ， ． ． 【模型发展】如图②，点 是 的外角平分线 与 的交点，请你判断 和 间的数量关系并 说明理由． 【解决问题】如图③，在 中， 平分 ， 平分 ，点 是 的外角平分线 与 的交点．若 ，则 度． 【分析】【探索发现】由角平分线定义得 ， ，再由三角形内角和定理即 可得出结论； 【模型发展】由三角形的外角性质和角平分线定义得 ， ，再由三角形内角和定理即可得出结论； 【解决问题】由【探索发现】得 ，再由【模型发展】得 ，即可得出 结论． 【解答】解：【探索发现】： ， 理由： 平分 ， 平分 ， ， ， 故答案为： ； 【模型发展】 ， 理由： ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】由【探索发现】得： ，由【模型发展】得： ， 故答案为：28． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的外角性质等知识，本 题综合性强，熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 题型四：A字模型（共5题） 1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后， ，则 等于 A． B． C． D． 【分析】先根据平角定理，求出 ，再根据三角形内角和求出 即可． 【解答】解：如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和，解题关键是正确识别图形，理解相关角与角之间的数量关系． 2．（2022秋•济宁期末）如图， 中， ， ，将 沿 折叠， 点落在形内的，则 的度数为 ． 【分析】先根据三角形内角和定理求出 的度数，进而可得出 的度数，根据图形翻折变 换的性质得出 的度数，再由四边形的内角和为 即可得出结论． 【解答】解： 中， ， ， ， ， ， 由△ 翻折而成， ， ． 故答案为： ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键． 3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳： （1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去 ，则 ． （2）如图2，已知 中， ，剪去 后成四边形，则 ． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想 与 的关系是 ． （4）如图3，若没有剪掉 ，而是把它折成如图3形状，试探究 与 的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用了四边形内角和为 和直角三角形的性质求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）（2）可以直接写出结果； （4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解． 【解答】解：（1）： 四边形的内角和为 ，直角三角形中两个锐角和为． 等于 ． 故答案为： ； （2） ， 故答案为： ； （3） 与 的关系是： ； 故答案为： ； （4） 是由 折叠得到的， ， ， 又 ， ． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 ”这一隐含的条件． 4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片 沿 折叠，使点 落在点 处．（点 在 的内 部） （1）如图1，若 ，则 ． （2）利用图1，探索 ， 与 之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把 折叠后， 平分 ， 平分 ，若 ，利用（2）中得出 的结论求 的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用 、 表示出 和 ，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用 、 表示出 和 ，再根据三角形的内角和定理列式 整理即可得解； （2）由 、 是 的两个外角知 、 ，据此得 ，继而可得答案； （ 3 ） 由 （ 1 ） 知 ， 根 据 平 分 ， 平 分 知 ．利用 可得答案． 【解答】解：（1） 点 沿 折叠落在点 的位置， ， ， ， ， 在 中， ， ， 整理得 ； 故答案为：90； （2） ， 理由： 、 是 的两个外角， ， ， ， ， 即 ； （3）由（1） ，得 ， ， 平分 ， 平分 ， ． ，． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角 和等于 ，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键． 5．（2022 秋•香坊区期末）已知：四边形 ，连接 ， ， ， ， ． （1）如图1，求证： 是等边三角形； （2）过点 作 于点 ，点 为 上一点（不与点 重合）， ， 的边 交 的延长线于点 ，另一边 交 的延长线于点 ，如图2，点 与点 重合时，求证： ； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 不与点 重合，过点 作 ，交 于点 ， ， ， ，点 为 上一点，连接 、 ， 交 于点 ， ， 求 的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得 ，再证 ，然后由平行线的性质得 ，得 ，即可得出结论； （2）取 的中点 ，连接 ，证 ，得 ，即 ； （3）延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，则 为等边三角形，设 ，则 ，得 的边长为 ， 的边长为 ，则 ， ，同（2）得 ，则 ，即 ，解得 ，则 ， ，再 证 是等边三角形，得 ，同（1）得 是等边三角形，则 ， ，然后 由含 角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：如图2，取 的中点 ，连接 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是 的中点， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 即 ， ， ， 即 ； （3）解：如图3，延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ， 则 为等边三角形， ， 设 ，则 ， 的边长为 ， 的边长为 ， ， ， 同（2）得： ， ， 即 ， 解得： ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 同（1）得： 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判 定与性质、平行线的性质、含 角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的 判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型五：蝴蝶（8字）模型（共6题） 1．（2023春•武冈市期末）如图， 的度数为 【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于 可得 的度数． 【解答】解：如图， ， ， ， 故答案为： ．【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 2．（2022秋•安定区校级期末）如图， ． 【分析】根据三角形的外角性质可得 ， ， ， ，再根据多边形的外角和定理即可求解． 【 解 答 】 解 ： 由 图 形 可 知 ： ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【 点 评 】 本 题 考 查 了 三 角 形 的 外 角 性 质 和 多 边 形 外 角 和 等 于 360 度 ， 将 的和转化为 的和是解题的关 键． 3．（2023秋•大洼区期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计 的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 ； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 和 的长度相等， 交点 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 设计为 ，则由以上信 息可推得 的长度是多少？请说明理由．【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明△ △ ，得 ，结合已知条件则可知 的长度 【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2） ． 理由如下： 是 和 的中点， ， ， 在△ 和△ 中， ， △ △ ， 又 ， ． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明△ △ 是解题的关键． 4．（2023秋•昆明期末）如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作 交 的延长线于点 ． （1）证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长．【分析】（1）先根据中点得出 ，再根据平行线的性质得出 ， ，即可证 明 ； （2）根据全等三角形的性质得出 ，进而得出 ，根据线段的和差得出 ． 【解答】（1）证明： 点 是边 的中点， ， 又 ， ， ， 在 和 中， ， ； （2）解： ， ， ， ，点 是边 的中点， ， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2021秋•正阳县期末）图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称 之为“8”字型．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、 分别相交于 、 ．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个； （3）图2中，当 度， 度时，求 的度数． （4）图2中 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 、 之间存在着怎样的数量关系． （直接写出结果，不必证明）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出 ； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得 ①， ②， 再根据角平分线的定义，得出 ， ，将① ②，可得 ，进而 求出 的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出 ． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为： ； （2）①线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ②线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ③线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ④线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑤线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑥线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3） ，① ，② 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ，① ②得： ， 即 ， 又 度， 度， ， ； （4）关系： ． ① ② ① ②得： ， 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根 据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中 辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 6．（2020秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题：【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索 、 、 、 之间的数量关系为 ； 探索二：如图2，若 ， ，求 的度数为 ； 探索三：如图3， 、 分别平分 、 ， 反向延长线交 于点 ，则 、 、 之间的数量关系为 ． 【模型应用】 应用一：如图4，延长 、 ，交于点 ，在四边形 中，设 ， ， ， 四边形的内角 与外角 的角平分线 ， 相交于点 ，则 （用含有 和 的代数 式表示）， ．（用含有 和 的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形 中，设 ， ， ，四边形的内角 与外角 的角平分线所在的直线相交于点 ， ．（用含有 和 的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设 ， ， ， ，试问 与 、 之间的数量关系为 ．（用 、 表示 拓展二：如图7， 平分 ， 平分 的邻补角 ，猜想 与 、 的关系，直接 写出结论 ． 【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得 ， ，结合（1）的结论可得 ，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长 、 ，交于点 ，利用三角形内角和定理可得 ，再运用角平 分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长 、 ，交于点 ，设 是 的延长线上一点， 是 延长线上一点，利用 应用一的结论即可求得答案； 拓 展 一 ： 运 用 探 索 一 的 结 论 可 得 ： ， ， ，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【解答】解：探索一：如图1， ， ， ， 故答案为 ； 探索二：如图2， 、 分别平分 、 ， ， ， 由（1）可得： ， ， ， 即 ， ， ， ， 故答案为 ； 探索三：由① ， 由② ， ① ②得： ．． 故答案为： ． 应用一：如图4，由题意知延长 、 ，交于点 ， ， ， ， ， ， ； 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； 应用二：如图5，延长 、 ，交于点 ，设 是 的延长线上一点， 是 延长线上一点， ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 由应用一得： ， 故答案为： ； 拓展一：如图6，由探索一可得： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： ； 拓展二：如图7， 平分 ， 平分 的邻补角 ， ， ， 由探索一得：① ，② ， ② ，得：③ ， ③ ①，得： ， ， 故答案为： ．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是 解题关键． 题型六：燕尾模型（共11题） 1．（2024春•四川期末）如图，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点 是平面上的点，顺次连结得到不 规则的图形，则 的度数为A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接 ，设 与 交于点 ， ，而 ， ， 的度数就是四边形 的内角和， 即 ， 故选： ． 【点评】本题考查四边形的内角和定理，三角形内角和定理，掌握多边形的内角和的计算方法，三角形内 角和是 是正确解答的关键． 2．（2022春•玄武区期末）如图， ． 【分析】根据四边形的内角和是 ，可求 ．又由三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和，得 ，而 ， ，从而求出所求的角 的和． 【解答】解：如图，根据四边形的内角和是 ，可得 ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：360． 【点评】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 3．（2022秋•南平期中）如图，若 ，则 ． 【分析】由三角形的外角的性质，可以推出 ， ，于是可以 解决问题． 【解答】解： ， ， ， 同理： ， ， ．故答案为：230． 【点评】本题考查角度的计算，关键是掌握三角形的外角的的性质． 4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知 ，则 度． 【分析】连接 ，由三角形的内角和定理可求得 ，利用三角 形外角的性质可得 ，进而可求解． 【解答】解：连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：270． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用三角形内角和定理求解角的度数 是解题的关键． 5．（2023春•松江区期末）如图，已知在 中， ，将一块直角三角板放在 上使三角板 的两条直角边分别经过 、 ，直角顶点 落在 的内部，那么 度．【 分 析 】 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得 ， ，进而可求出 的度数． 【解答】解：在 中， ， ， 在 中， ， ， ； 故答案为：50． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是 ，解答 的关键是沟通外角和内角的关系． 6．已知 与 的平分线交于点 ． ①如图1，试探究 ， 与 之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究 ， 与 之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若 ， 的平分线交于点 ，则 ， 与 之间有怎样的数量关系？ 【分析】①延长 交 于 ，设 与 交于 ，由三角形的外角定理得 ， ， 进 而 得 ， 再 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 ， ，再证 ，据此可得出结论； ②根据 ， 为 与 的平分线，可设 ， ，由①可知 ， 则 ， 根 据 四 边 形 的 内 角 和 等 于 得 ，即 ，将 代入整理即可得出结论； ③延长 交 于 ，根据 ， 是 ， 的平分线，可设 ，，在 中利用三角形的内角和定理得 ，即 ，再 由 ① 可 知 ， 即 ， 然 后 根 据 得 ，然后将 代 入整理即可得出结论． 【解答】解：① ， 与 之间的数量关系是： ，理由如下： 延长 交 于 ，设 与 交于点 ，如图1所示： 是 的外角， ， 是 的外角， ， ， 是 的平分线， ， 是 的平分线， ， ， ， 又 ， ， 即： ， 整理得： ， 故 ， 与 之间的数量关系是： ． ② ， 与 之间的数量关系是： ，理由如下：， 为 与 的平分线， 可设 ， ， 由①可知： ， 即： ， ， 根据四边形的内角和等于 ，得： ， 即： ， 将 代入上式得： ， ． 故 ， 与 之间的数量关系是： ． ③ ， 与 之间的数量关系是： ，理由如下： 延长 交 于 ，如图所示： ， 是 ， 的平分线， 可设 ， ， 在 中， ， 即： ， ， 由①可知： ， 即： ， 由平角的定义得： ， 是 的一个外角，， ， 将 代入上式得： ， 即： ． 故 ， 与 之间的数量关系是： ． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解答此题的关键是 准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行计算． 7．（2024春•衡阳期末）（概念学习） 在平面中，我们把大于 且小于 的角称为优角，如果两个角相加等于 ，那么称这两个角互为 组角，简称互组． （1）若 、 互为组角，且 ，则 ； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于 的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形 中，优角 与钝角 互为组角，试探索内角 、 、 与钝角 之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②， ；（用含 的代数式表示） （4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、 的平分线交于点 ， ； 直接运用（2）中的结论，试说明： ． 【分析】（1）根据组角的定义直接得答案；（2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形 中，有 ，在镖形 中，有 ，再根据等式的性质可得结论． 【解答】解：（1） 、 互为组角，且 ， ； 故答案为：225； （2）钝角 ； 理由： 优角 与钝角 互为组角， 优角 钝角 ， 四边形 的内角和是 ， 优角 ， 钝角 ； （3）由（2）得，在镖型 中， ， 在镖型 中， ， 故答案为： ； （4） 、 的平分线交于点 ， ， ， 令 ， ． 由（2）中的结论可知在镖形 中，有 ， 在镖形 中，有 ， 于是根据等式的性质得出 ， 而 ，，即 ． 【点评】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内 角与外角的性质是解题关键． 8．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1， ， 交于 点，根据“三角形内角和是 ，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：① （对顶角相等）；② ． 【提出问题】分别作出 和 的平分线，两条角平分线交于点 ，如图2， 与 ， 之间 是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知 的平分线与 的平分线交于点 ． （1）如图2， ， ，则 的度数是多少呢？ 易证 ， 请你完成后续的推理过程： ， 分别是 ， 的平分线 ， 又 ， 度． （2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出 与 ， 之间的数量关系是： 【类比应用】（3）如图3， 的平分线 与 的平分线 交于点 ． 已知： ， ， 则 ．（用 、 表示）【分析】【解决问题】 （1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得： ， ，两式相加后， 再根据角平分线的定义可得结论； （2）根据（1）可得结论； 【类比应用】 （3）首先延长 交 于点 ，由三角形外角的性质，可得 ，又由角平分线 的性质，即可求得答案． 【解答】解：【解决问题】 （1）如图2， ， ， ， 、 分别是 、 的平分线， ， ． ， ， 又 ， ， 度． 故答案为： ， ， ； （2）由（1）得： ， 故答案为： ； 【类比应用】 如图3，延长 交 于 ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ，、 ， 即 ． 故答案为： ． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角 平分线的性质和等量代换是解决问题的关键． 9．（2022春•工业园区期末）数学概念 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这 样的四边形叫做凹四边形． 如图①，在四边形 中，画出 所在直线 ，边 、 分别在直线 的两旁，则四边形 就是凹四边形． 性质初探 （1）在图①所示的凹四边形 中，求证： ． 深入研究 （2）如图②，在凹四边形 中， 与 所在直线垂直， 与 所在直线垂直， 、 的角 平分线相交于点 ． ①求证： ； ②随着 的变化， 的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索 与 的数量关系；如果没 有变化，请求出 的度数．【分析】（1）如图①，延长 交 于点 ，根据三角形外角的性质得到 ，同理， ，从而求得 ． （2）①如图②，延长 、 分别交 、 于点 、 ，由题意可知， ，根据 四边形的内角和等于 ，以及等量关系即可求解； ②由（1）可知，在凹四边形 中， ①，同理，在凹四边形 中， ②，根据角平分线的定义和等量关系即可求解． 【解答】（1）证明：如图①，延长 交 于点 ， 是 的一个外角， ， 同理， ， ． （2）①证明：如图②，延长 、 分别交 、 于点 、 ， 由题意可知， ， 在四边形 中， ， ， ， ； ②解：由（1）可知，在凹四边形 中， ①， 同理，在凹四边形 中， ②， 平分 ， ， 同理， ，① ②得 ， 由（2）①可知，在凹四边形 中， ， ， ． 【点评】考查了凹四边形，三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10．（2023春•滕州市校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品 圆规．我们不妨把这样图 形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，直接写出 的结果； ②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数； ③如图4， ， 的10等分线相交于点 、 、 、 ，若 ， ，求 的度数．【分析】（1）根据题意观察图形连接 并延长至点 ，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不 相邻的两个内角的和，则容易得到 ； （2）①由（1）的结论可得 ，然后把 ， 代入上式即可得 到 的值． ② 结 合 图 形 可 得 ， 代 入 ， 即 可 得 到 的值，再利用上面得出的结论可知 ，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案 【解答】解：（1）连接 并延长至点 ， 由外角定理可得 ， ； 且 ， ； 相加可得 ； （2）①由（1）的结论易得： ， 又 ， ， ； ②由（1）的结论易得 ，易得 ； 而 ， 代入 ， ，易得 ；③ ， ， 设 为 ， ， ， 为 ． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出 是解答 的关键，注意：三角形的内角和等于 ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 11．（2023秋•朝阳区校级期末）将一块直角三角板 放置在锐角 上，使得该三角板的两条直角 边 、 恰好分别经过点 、 ． （1）如图①，若 时，点 在 内，则 度， 度， 度； （2）如图②，改变直角三角板 的位置，使点 在 内，请探究 与 之间存在 怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板 的位置，使点 在 外，且在 边的左侧，直接写出 、 、 三者之间存在的数量关系． 【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得 ， ，进而可求出 的度数； （2）根据三角形内角和定义有 ，则 ．（3）由（1）（2）的解题思路可得： ． 【解答】解：（1）在 中， ， ， 在 中， ， ， ； 故答案为：140；90；50． （2） 与 之间的数量关系为： ．证明如下： 在 中， ． 在 中， ． ． ． （3） ． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是 ，解答 的关键是沟通外角和内角的关系．