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猜想 08 锐角三角函数（易错必刷 30 题 7 种题型专项训练）
一． 锐角三角函数的定义（共4小题） 二．同角三角函数的关系（共2小题）
三．特殊角的三角函数值（共5小题） 四．解直角三角形（共4小题）
五．解直角三角形的应用（共2小题） 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
一．锐角三角函数的定义（共4小题）
1．（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 秋•城关区校级期末）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，∠B 的余弦值为
．
4．（2022 秋•济南期末）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则 sinB＝
．
二．同角三角函数的关系（共2小题）
5．（2022秋•西安期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， ，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋•兴化市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．2三．特殊角的三角函数值（共5小题）
7．（2022秋•云州区期末）已知∠ 为锐角，且sin ＝ ，则∠ ＝（ ）
A．30° B．45° α C．α60° α D．90°
8．（2022秋•郑州期末）若sin（x+15°）＝ ，则锐角x＝ °．
9．（2022 秋•永定区期末）△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，若 cosA＝ ，tanB＝1，则∠C＝
．
10．（2022秋•甘井子区校级期末） cos45°tan45°＝ ．
11．（2023春•朝阳区校级期末）计算： ．
四．解直角三角形（共4小题）
12．（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（
）
A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝
13．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，则AC＝
．
14．（2022秋•烟台期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，
则tanB＝ ．
15．（2022秋•桐柏县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD 的 垂 线 ， 交 CD 延 长 线 于 点 E ． 已 知 AC ＝ 30 ， ． 则 sin∠ DBE 的 值 为
．
五．解直角三角形的应用（共2小题）
16．（2022秋•承德县期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②
是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上
下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为4米．
（1）当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE＝120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长
为 米．
（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？
请说明理由（参考数据： ≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C
可以达到最大高度）
17．（2022秋•南宫市期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角
为 ，为保证安全， 的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角 大小的绳索．
α α α（1）求绳索BC长的最大值．
（2）若 ＝40°时，求桑梯顶端 D到地面 BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2α.75，最后结果精确到0.01米）
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
18．（2023春•怀化期末）如图，为了测量古塔的高，小明在点A测得看古塔顶点C处的仰角为30°，然后
向古塔方向前进到40米的点B处测得古塔顶点C的仰角是60°，A、B、D在同一直线上，那么古塔CD
的高是 米．（ ≈1.414， ≈1.732，结果保留一位小数）
19．（2022秋•宜宾期末）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O
处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．
（1）求DA的长；
（2）求树BA的高度（结果保留根号）．
20．（2022秋•大连期末）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量．高台CD到AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为
30°．
（1）填空：∠ADB＝ °；
（2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， ≈1.73）
21．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载
火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约 13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的
直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强
快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的
仰角为 53°，求此时观测点 A 到发射塔 CD 的水平距离（结果精确到 0.1 米）．（参考数据：
sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
22．（2022秋•碑林区校级期末）某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌
ABCD（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全
警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号）23．（2022秋•槐荫区期末）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范
基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯
角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，求MN的长．
（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
24．（2023春•零陵区期末）2023年“水州陆港杯”中国龙舟公开赛（湖南一水州站）在冷水滩潇湘平湖
举行，为确保此次龙舟竞赛水域安全，特别是谨防青少年在观赛时溺水，某单位在一处观赛台后方小山
坡上竖立了“防溺水”宣传牌．小刚为了测得宣传牌的高度，他站在山坡底端C处，测得宣传牌顶端A
的仰角∠DCA＝45°，然后小刚从山坡底端C沿着倾斜角为30°的斜坡走了20米，到达E处平台，与宣
传牌底端B水平，此时测得宣传牌顶端A的仰角∠BEA＝60°，求“防溺水”宣传牌的高度．
25．（2022秋•商河县期末）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大
楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内
（结果精确到0.1m）
（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
（2）求旗杆的AC高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
26．（2022秋•北碚区校级期末）如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为
3：2的扶梯AB，扶梯总长为 米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方
案：修建AC、DE两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平台CD形成的∠ACD为135°，从
E点看D点的仰角为30°，AC段扶梯长20米．（参考数据： ， ）
（1）求点A到BE的距离．
（2）DE段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数）
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
27．（2023春•桥西区期末）学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6km，以小明家所在位置为坐标原
点建立直角坐标系，1km为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．28．（2023春•厦门期末）如图所示的四边形ABCD是正在建设的某景区示意图，A—B—C—D—A是环绕
景区的道路，点D在点A的北偏西45°方向，点B在点A的正东方向，点C在点B的正北方向，经测量
AD＝2km，AB＝1km．设计单位计划在该景区内修建一个观景平台P，并铺设若干条小路连接景区道路．
其中点P在点A的正北方向，在点D的正东方向．
（1）求AP的长度；
（2）延长DP与BC交于点E，测得CE＝2km，设计单位设计了两种铺设小路的方案：
方案1：铺设小路DE和AP；
方案2：铺设小路CP和AP．
要使得铺设小路的总长度更短，应选择哪种铺设方案，并说明理由．
29．（2023春•丰都县期末）在奥林匹克运动的故乡古希腊，奥林匹亚阿尔菲斯河岸的岩壁上保留着古希
腊人的一段格言：“如果你想聪明，跑步吧!如果你想强壮，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人对聪
明、强壮、健康的奔跑追求，至今仍然在爱跑步的人群中得到传承．跑步已经成为一种大众化运动，越
来越多的人从跑步中受益．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东
方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向．
（1）求BC的长度（结果保留根号）；
（2）小强和小刚同时从A出发，小强沿A→D→C方向跑，小刚沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，
问谁先到达终点C？（参考数据： ，30．（2023春•重庆期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段
和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授
时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10
千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°
方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号）
