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专题 02 二次函数（考题猜想，4 种热考题型）
题型一：抛物线与公共点问题（共9题）
1．（2024春•海淀区校级期末）如表记录了二次函数 中两个变量 与 的5组对应值，
其中 ，根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值
范围是
1 3
0 2 0
A． B． C． D．
【分析】根据表中数据得出对称轴 ，进而得到抛物线与 轴的交点，利用交点式得到
，从而得到二次函数表达式为 ，根据当 时，直线 与该二
次函数图象有两个公共点，可得结论．
【解答】解：由 、 可得抛物线对称轴 ，又由 ， 、 以及对称轴 可得 ，
抛物线与 轴的交点为 、 ，则设抛物线交点式为 ，
与 对比可得 ，解得 ，
二次函数表达式为 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时，最大值 ，
当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，
，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．
2．（2022秋•黄陂区校级期末）无论 为何值，直线 与抛物线 总有公共点，
则 的取值范围是
A． B． C． 或 D． ，
【分析】将交点问题转化为方程解的问题求解．
【解答】解：当 时，若 ，直线 与直线 没有交点，不合题意．
当 时，二次函数为： ．
由 得： ．
△．
无论 为何值， ，
△ ．
直线 与抛物线 总有公共点，
符合题意．
故排除 ， ．
当 时，二次函数为： ．
由 得： ，
△ ．
直线 与抛物线 总有公共点．
符合题意．
故排除 ．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的 值，将交点问题转化为方程解的问题是求
解本题的关键．
3．（2020秋•旌阳区期末）关于 的函数 的图象与 轴有四个不同的公共点，则
的取值范围是
A． 且 B． C． D．
【分析】根据题意得到△ ，且 时， ，即得出关于 的不等式组，解不等式组即可求得．
【解答】解： ，
，由题意得 ，
且当 时， ，即 ，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了抛物线与 的交点，二次函数的性质，根据题意得到关于 的方程组是解题的关键．
4．（2023秋•青山区校级月考）若直线 与函数 的图象有且只有两个公共
点时，则 的取值范围是
A． B． C． 或 D． 或
【分析】画出函数图象，利用图象分两种情形：当直线 经过点 时，当直线
与 只有一个公共点时，分别进行讨论即可求解．
【解答】解：当 时，若 ，则 ，解得： ，
若 ，则 ，解得： ，
函数 的图象如图所示， ．当直线 经过点 时，直线与函数 的图象有3个交点，此时 ，解得 ，
观察图象可知， 时，直线 与函数 的图象有且只有两个公共点，
当直线 与 只有一个公共点时，
则有 ，即： ，
△ ，
，
，
此时直线为 ，
由 ，解得： ，
直线与 只有一个交点，
时，直线 与函数 有两个交点，
综上所述， 或 时，直线 与函数 的图象有且只有两个公共点．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用等知识，二元二次方组，根的判别式等知识，熟练掌
握函数的这些性质是解题的关键．
5．（2022秋•洪山区校级月考）若 ， 两数中较大的数记作 ， ，函数 ， 与直
线 的图象有且仅有2个公共点，则 的取值范围为 ．
【分析】根据题干中的定义作出函数 ， 的图象，根据直线 图象变化时与 的关
系作图求解．【解答】解：设 ， ，
令 ，
解得 ， ，
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
图象 与 交点坐标为 ， ，如图，
或 时， ，
时， ，
， ，
如图，直线 与 相切时，令 ，整理得 ，
△ ，
解得 或 （舍 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
或 时满足题意，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，通过数形结合求解．
6．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ， 的顶点为 ．点 的坐标为 ，将直线 沿 轴
向上平移5个单位长度后，恰好经过 、 两点．
求 的值和点 的坐标；
（2）已知点 是点 关于原点的对称点，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 的取值范围．
【分析】（1）先求出平移后解析式，将点 坐标代入可求 的值，即可求直线解析式，可得点 坐标；
（2）将点 ，点 坐标代入解析式可求抛物线解析式，即可求点 、 坐标，进而求得 的坐标，然后
利用函数图象列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1） 将直线 沿 轴向上平移5个单位长度，
平移后直线解析式为： ，
直线 经过点 ，
，
，
平移后解析式为： ，
与 轴的交点为 ，
点 ；
（2） 抛物线 经过点 和点 ，
，
解得 ，抛物线 的函数表达式为 ，
，
顶点 的坐标为 ；
点 是点 关于原点的对称点，
点 的坐标为 ，
，
， ，
如图，
由图象可得： ，
的取值范围是 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，利用数形结合思想解决
问题是本题的关键．
7．（2022秋•安阳县期末）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（其中 在 的
左侧），与 轴交于点 ．
（1）求 ， 的坐标；（2）若直线 过 ， 两点．
①求抛物线解析式；
②点 关于 轴的对称点为 ，若过点 的直线 与抛物线在 轴上方（不含 轴上的点）的部分
无公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【分析】（1）令 ，求出方程 的解即可；
（2）①根据已知条件和待定系数法求出 ， 的值即可；
②先根据①求出点 的坐标，再根据点 与点 关于 轴对称，从而求出点 坐标，再根据过点 的直线
与抛物线在 轴上方（不含 轴上的点）的部分无公共点，结合图象，求出 的取值范围．
【解答】解：（1）令 ，则 ，
，
，
解得： ， ，
在 的左侧，
点坐标为 ， 点坐标 ；
（2）①令 ，则 ，
点 坐标为 ，
直线 过 ， 两点，
，
解得： ，
点 坐标为 ，直线 的解析式为 ，
抛物线解析式为 ；
② 点 坐标为 ，
点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
直线 过点 ，
，
过点 的直线 与抛物线 的图象如图所示：
①当直线过点 ， 时，
把 代入 得， ，
解得： ，
②当直线过点 ， 时，
把 代入 得， ，
解得： ，
根据一次函数的性质，若过点 的直线 与抛物线在 轴上方（不含 轴上的点）的部分无公共点，
则 的取值范围为： 或 ．【点评】本题考查抛物线与 轴的交点，一次函数图象的特征，关键是画出二次函数和一次函数
的图象，利用数形结合的思想进行讨论．
8．（2023秋•鼓楼区期末）已知直线 与抛物线 为非0常数）．
（1）求证：直线与抛物线总有公共点；
（2）无论 为何值，总有 ，结合图象，直接写出 的值或取值范围．
【分析】（1）令 ，可得 ，由△ ，可知该一元二次
方程总有实数根，即直线与抛物线总有公共点．
（2）由题意可得 ，抛物线 与直线 没有交点或只有一个交点，令 ，
可得 ，则△ ，进而可得答案．
【解答】解：（1）证明：令 ，得 ，
整理得 ．
△
，
该一元二次方程总有实数根，
即直线与抛物线总有公共点．
（2）解：抛物线 的对称轴为直线 ，
令 ，得 ， ，
抛物线 与 轴的交点坐标为 ， ．根据题意画出草图如下：
，抛物线 与直线 没有交点或只有一个交点，
令 ，可得 ，
则△ ，
，
解得 ．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组 、二次函数图象与系数的关系、一次函数的图象与性质，熟练
掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
9．（2023秋•长春期末）已知抛物线 、 、 是常数， ，自变量 与函数值 的部
分对应值如表：
0 1 2 3
1
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和 的值．
（3）将抛物线 的图象记为 ，将 绕点 旋转 后的图象记为 ， 、 合起来得到的图象记为 ，完成以下问题：
①若直线 与函数 有且只有两个交点，直接写出 的取值范围．
②若对于函数 上的两点 ， 、 ， ，当 ， 时，总有 ，直接写出 的取
值范围．
【分析】（1）由表格数据，根据函数的图象和性质即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）①画出函数图象，观察函数图象即可求解；②当点 在 轴右侧和点 之间以及在点 的左侧
时，总有 ，即可求解．
【解答】解：（1）由表格数据知，其对称轴为直线 ，在对称轴的右侧， 随 的增大而增大，
故抛物线开口向上，
故答案为：开口向上， ；
（2）设抛物线的解析式为 ，代入 、 得： ，
将 代入上式，得： ；
（3）①如图，从图象看，当 的值为 或3或 时，直线 与函数 有且只有两个交点，②当点 在 轴右侧和点 之间以及在点 的左侧时，总有 ，如图：
当点 在 轴右侧和点 之间时，
则 且 ，
即 ；
当点 在点 的左侧时，
根据函数的对称性， 轴右侧抛物线的表达式为： ，
当 时， ，
当 ，
则 （正值已舍去）；
则 ，
即 ，
综上， 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形的旋转、解不等式，熟悉函数的图象和性质以及数
形结合和分类求解是解题的关键．
题型二：抛物线与根的分布（共7题）
10．二次函数 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】先由二次函数的对称轴为直线 求出 的值，再将方程 的解得问题转化为函数
的图象与 的交点问题即可．
【解答】解：由题知，
因为抛物线的对称轴是直线 ，
所以 ，得 ．
故二次函数表达式为 ．
又关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，
即函数 和 在 的范围内有交点．
又在 时，
当 时，函数 有最小值 ，
当 时，函数 有最大值8．
所以 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能利用数形结合的思想将方程解得问题转化为图象的交点问题
是解题的关键．
11．（2023秋•莱芜区期末）已知：二次函数 ．下列结论：
①抛物线的开口向上，当 时， 随 增大而增大；
②当 时，抛物线与 轴有两个交点；
③若关于 的一元二次方程 ，在 的范围内有实数根，则 的取值范围是
；④抛物线 与直线 可以存在唯一公共点；
⑤若 ， 是抛物线上的两点，则 ．
其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次函数 的对称轴为直线 及开口向上，结合二次函数与一元二次方程
之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为 ，
所以抛物线开口向上．
又因为抛物线的对称轴为直线 ，
所以当 时， 随 的增大而增大．
故①正确．
因为 ，
所以当 时，
，
即抛物线与 轴没有交点．
故②错误．
因为关于 的一元二次方程 ，在 的范围内有实数根，
所以 ，
解得 ．
故③正确．
由 得，
，则 ，
所以抛物线 与直线 一定有两个不同的交点．
故④错误．
因为 ， ，且 ，
所以 ．
故⑤正确．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及
二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
12．（2023 秋•东阳市期末）抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程
为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围
A． B． C． D．
【分析】利用抛物线的对称轴的公式可求 值，再根据 可以看作是抛物线
与直线 有交点，根据题意即可得出结论．
【解答】解： 抛物线 的对称轴为直线 ，
则
．
则抛物线的表达式为 ，
当 时， 取得最大值为： ，
当 时， 取得最小值为： ，
可以看作是抛物线 与直线 有交点，的取值范围是： ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二方程的根的情况，把方程看作是抛物线
与直线 有交点是解题的关键．
13．（2021秋•西秀区期末）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ．若关于 的一元二次
方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据对称轴求出 的值，从而得到 、3时的函数值，再根据一元二次方程 为
实数）在 的范围内有解相当于 与 在 内有交点，依此求解即可得出结论．
【解答】解： 对称轴为直线 ，
，
二次函数解析式为 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
相当于 与直线 的交点的横坐标，当 时，在 的范围内有解．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问
题求解是解题的关键．
14．（2022秋•宽城区校级期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于坐标原点和 ，若关
于 的方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是 ．
【分析】先利用抛物线的对称轴求出 得到抛物线解析式为 ，再计算出自变量为1和5对应的
函数值，然后利用函数图象写出直线 与抛物线 在 时有公共点时 的范围即可．
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ；
当 时， ，
当直线 与抛物线 在 时有公共点时，如图，则 ，
所以关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．
15．（2021秋•海珠区校级期末）如图，抛物线 的对称轴为直线
（1）求抛物线解析式；
（2）若关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是
．
【分析】（1）先利用抛物线的对称轴方程求出 得到抛物线解析式为 ；
（2）配方得到抛物线的顶点坐标为 ，再计算出当 或3时， ，结合函数图象，利用抛物线
与直线 在 的范围内有公共点可确定 的范围．
【解答】解：（1） 抛物线 的对称轴为直线 ，，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） 抛物线解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ；当 时， ，
关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解，
抛物线 与直线 在 的范围内有公共点，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．（2022 秋•扶风县期末）二次函数 的部分图象如图所示，其中图象与 轴交于点
，与 轴交于点 ，且经过点 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成 的形式，并直接写出顶点坐标以及它与 轴的另一个交点
的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于 的一元二次方程 为实数）在 的范
围内有解，则 的取值范围是 ．【分析】（1）把点 、 、 的坐标代入函数表达式，然后根据 三元一次方程的解法求出 、 、 的
值，即可得到二次函数的解析式；
（2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据对称轴解析式与点 的坐标求出与 轴的另
一交点坐标；
（3）由（1）可知 ， ， 的值，再根据一元二次方程 为实数）在 的范围内
有解相当于 与 在 的范围内有交点解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
②分别代入①、③得，
④，
⑤，
④ ⑤得， ，
解得 ，
把 代入④得， ，
解得 ，
方程组的解是
，
此二次函数的解析式为 ；（2） ，
二次函数的解析式为 ，
顶点坐标为 ，
对称轴为 ，
设另一点坐标为 ，
则 ，
解得 ，
点 的坐标是 ；
（3）由（1）可知二次函数解析式为 ，
即 ，
时， ，
时， ，
关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解相当于 与直
线 的交点的横坐标，
当 时，在 的范围内有解．
故答案为： ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组
即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要；本题还考查了二次函数与不等式，把
方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．
题型三：二次函数与最值（共14题）
17．（2023秋•武汉期末）如图（1），在 中， ， 为 平分线上一点，连接
，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ， ．设 ， ， 与 的函数关系如图（2），当 时，函数 有最小值．当 时， 的值为 ．
【分析】证明 ，当 时， 最小，求出 ，进而求解．
【解答】解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
则 ，
而 ，
，
平分 ，
， ，线段 绕点 逆时针旋转 到 ，
，
、 、 、 四点共圆，
，
则 ， ，
， ， ，
，
， ，
当 时， 最小，
即此时 ，则 ，则 ，
，则 ，则 ，
当 时， ， ，
故答案为：8.5．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图
获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，
要理清图象的含义即会识图．
18．（2021秋•鄞州区期末）如图，点 是抛物线 上不与原点 重合的动点， 轴于点 ，
过点 作 的垂线并延长交 轴于点 ，连结 ，则线段 的长是 ， 的最小值是 ．
【 分 析 】 设 点 ， 则 点 坐 标 为 ， 通 过 求 证 可 得 长 度 ， 由
可得 与 的函数关系式，将函数关系式化为顶点式求解．
【解答】解：设点 ，则点 坐标为 ，
， ，
， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，，
，
当 时， 为最小值，即 ．
故答案为：8， ．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握求二次函数最值
的方法．
19．（2021秋•荆门期末）设 为坐标原点，点 、 为抛物线 上的两个动点，且 ．连
接点 、 ，过 作 于点 ，则点 到 轴距离的最大值 ．
【分析】分别作 、 垂直于 轴于点 、 ，设 ， ，由抛物线解析式可得 ，
，作 于 ，交 轴于点 ，连接 交 轴于点 ，设点 ，易证 ，
所以 ，即 ，可得 ．再证明 ，所以 ，即
，可得 ．即得点 为定点，坐标为 ，得 ．进而可推出点 是在以 为直
径的圆上运动，则当点 到 轴距离为此圆的直径的一半，即 时最大．
【解答】解：如图，分别作 、 垂直于 轴于点 、 ，设 ， ，由抛物线解析式为 ，
则 ， ，
作 于 ，交 轴于点 ，连接 交 轴于点 ，
设点 ，
，
，
，即 ，
化简得： ，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
即 ，
化简得： ．则 ，说明直线 过定点 ， 点坐标为 ，
， ，
点 是在以 为直径的圆上运动，
当点 到 轴距离为 时，点 到 轴距离的最大，最大值为 ，即最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度
较大，关键是要找出点 为定点，确定出点 的轨迹为一段优弧，再求最值．
20．（2023秋•阿城区期末）综合与实践
如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 经过点 ，点 ，与 轴
交于点 ，过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，过 作 轴的垂线交 轴于点 ，连接 ， 是第一象
限抛物线上一个动点，设点 的横坐标为 ．
（1）求 ， 的值．
（2）过点 作 交直线 于点 ，求线段 的最大值和此时点 的坐标．
（3）点 在 上（点 不与点 、点 重合），连接 ，过点 作 于点 ， 的平分
线交 于点 ．
①当直线 经过 的中点 时，点 也恰好在直线 上，求此时点 的坐标．
②在①的情况下，平面内有一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点
的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）过点 作 轴交 轴于点 ，交 于点 ，根据已知求得点 和点 ，即可求得直线 的
解析式，则有点 的坐标，求线段 的最大值转化为求 的最大值，利用二次函数的性质即可求得；（3）①根据题意得点 、 、 、 四点共圆，且 为直径，连接 ，得到点 为 的中点，且
，即可求得直线 的解析式，联立二次函数即可求得点 ；②由①知，点 ， ， 的坐标，结
合平行四边形的性质中点坐标公式即可求得点 ．
【解答】解：（1）抛物线 过点 和点 ，
得 ，解得 ，
则 ， ；
（2）过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，
抛物线 ，则点 ，
当 时， ，解得 ， ，
点 得坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，
得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
点 的横坐标为 ，
，
轴，点 在直线 的图象上，点 的坐标为 ，
则 ，
根据题意得 ，则 ，
在 ， ，
，
，
时， 取得最大值 ，
则点 的坐标为 ，
则 ，
故 取最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
（3）① ，
，
平分 ，
，
则 ，
，
，
则点 ， ， 和 四点共圆，且 为直径，
连接 ，则 ，
四边形 为正方形，
点 为 的中点，
点 的坐标为 ，
点 为 的中点，且 ，
，设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
解得 或 （舍去），
故点 的坐标为 ；
②由①知，点 ， ， ，
以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
设 的对角线交点为 ，则 ，
，解得 ，，
同理得 ， ，
故点 ， ， ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数的最值问题，平行
四边形的性质和中点坐标，解题的关键是熟练二次函数的性质和找到四点共圆的隐含条件．
21．（2023秋•宁河区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，求 的最大值及
此时点 的坐标；
（3）已知点 是抛物线的顶点，若在 轴上存在一点 ，使 的周长最小，求点 的坐标．
【分析】（1）将 ， 的坐标代入抛物线解析式求解 和 的值即可；
（2）求出直线 的解析式，假设 点坐标，用 点坐标表示出 的长，然后利用配方法求出最大值即
可；
（3）作 点关于 轴的对称轴，因为 为定值，所以当 最小时， 周长最小，即当 ，， 共线时， 周长最小．
【解答】解：（1）把 ， 代入抛物线 中得：
，
， ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ．
把 ， 代入，得：
，
解得： ， ，
直线 的解析式为 ．
设 ，
在 中，令 ，得 ，
，
．
当 时， 有最大值1，
此时点 的坐标为 ；
（3） 抛物线解析式为 ，
抛物线顶点 的坐标为 ．
作点 关于 轴的对称点 ，则 ．连接 ， 与 轴的交点即为点 ．如图：
设直线 的解析式为 ，把 ， ， 代入，
有 ，
解得： ， ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
， ．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握运用对称求最短路径是本题解题的关键．
22．（2023 秋•和平区校级期末）如图，二次函数 图象交坐标轴于点 ，
，点 为线段 上一动点．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）过点 作 轴分别交线段 、抛物线于点 和点 ，求线段 的最大值及此时 的面
积；
（Ⅲ）当 取最小值时，求此时点 的坐标及 的最小值．【分析】（Ⅰ）由待定系数法即可求解；
（Ⅱ） ，即可求解；
（Ⅲ）过点 作直线 使直线 和 轴负半轴的夹角为 ，过点 作 交 于点 ，交
轴于点 ，则 ，此时， 为最小，则 为最小，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：
，解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
则顶点的坐标为： ， ；
（Ⅱ）由点 、 的坐标的，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
故 的最大值为： ，
此时 的面积 ；
（Ⅲ）过点 作直线 使直线 和 轴负半轴的夹角为 ，过点 作 交 于点 ，交
轴于点 ，则 ，
此时， 为最小，
则 为最小，
在 中， ， ，
则 ，则 ，
则 ，
则 ，
则 的最小值为： ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、点的对称性、面积的计算等，综合性强，
难度适中．
23．（2023秋•合川区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于 ，
两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为直线 上方抛物线上任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，过点 作 轴，
交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点 为原抛物线与平移后的抛物线
的交点，点 为平移后的抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点 ，
， ， 为顶点的四边形是菱形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的求解过程写出来．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（ 2 ） 设 点 ， 则 点 ， 则 ， 则
，即可求解；
（3）当 为对角线时，由中点坐标公式和 列出方程组，即可求解；当 或 为对角线时，
同理可解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
则 ，
，
故 有最大值，此时 ，
则 的最大值为：4.5，点 ；
（3）平移后的抛物线表达式为： ，
联立两条抛物线的表达式为： ，
解得： ，则点 ，
由抛物线的表达式知，新抛物线的对称轴为直线 ，故设点 ，设点 ，
当 为对角线时，由中点坐标公式和 得：
，解得： ，
则点 的坐标为： ；
当 或 为对角线时，由中点坐标公式和 或 得：
或 ，
解得： 或 ，
则点 或 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形
的性质等，分类求解是解题的关键．
24．（2023秋•漳州期末）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为直线 上方抛物线上一点，连接 ，与 交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作轴于点 ，连接 ．
①当 时，求点 的坐标；
②试探究： 是否有最大值？若有，求出该最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由 ，求出 ，得到 ，进而求
解；
②证明 ，得到 ，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得： ；
（2）①由抛物线的表达式知，点 ，
在 轴正半轴上取点 使 ，
则 ，
则 ，
过点 作 于点 ，
，即 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和二次函数的表达式得： ，
解得： （舍去）或 ，
则点 ， ；
②有最大值，理由：
过点 作 轴交 于点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，则 ，
当 时， ，即点 ，则 ，
轴，则 ，，
即 的最大值为 ．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求顶点坐标和函数的极值，二次函数的性
质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，平行线的
判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
25．（2023秋•莱州市期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点 ，使 的值最小，此时 的坐标为 ；
（3）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 、点 重合），过点 作 轴于点 ，交
直线 于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐
标；若不能，请说明理由；
（4）若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，则 交抛物线对称轴于点 ，点 为所求点，即可求解；
（3）当直线 能否把 分成面积之比为 的两部分时，即 或 ，即可求解；
（4）当 是斜边时，由勾股定理列出等式，即可求解；当 或 为斜边时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，则抛物线的表达式为： ；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线 ，
点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，则 交抛物线对称轴于点 ，点 为所求点，理由：
为最小，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
即点 ，
故答案为： ；
（3）能，理由：
当直线 能否把 分成面积之比为 的两部分时，即 或 ，
设点 ，点 ，
则 或 ，
解得： 或 ，
则点 ， 或 ， ；
（4）设点 ，
由点 、 、 的坐标得， ， ， ，
当 是斜边时，则 ，
解得： 或 ，
即点 或 ；
当 或 为斜边时，同理可得：
或 ，
解得： 或 ，
即点 或 ，
综上，点 的坐标为： 或 或 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到面积的计算，直角三角形的性质、点的对称性等，分
类求解是解题的关键．
26．（2024春•北碚区校级期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，且 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 为抛物线在第一象限内的一动点，过 作 交 轴于点 ，作 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位，新抛物线与 轴交于点 ， 是新抛物线上的一点，若
，请直接写出所有符合条件的点 的横坐标．【分析】（1）由待定系数法的即可求解；
（2） ， ，即可求解；
（3）证明 为等腰直角三角形，在等腰直角三角形 中， ，即 ，解得：
，即可求解．
【解答】解：（1） ，则点 、 的坐标分别为： 、 ，
则抛物线的表达式为： ，
则 ，则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ， ，则 ，
设点 ，则点 ，则 ，
过点 作 轴交 于点 ，则 ， ，
则 ，
，则直线 的表达式为： ，
令 ，则 ，则 ，则 ，
即 的最小值为8，此时 ，则点 ；
（3）抛物线沿射线 方向平移 个单位，相当于向左平移2个单位向上平移1个单位，
则平移后的抛物线表达式为： ，则点 ，
则 ，则 为等腰直角三角形，如图：
若 ，则 平分 ，
设直线 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，设 ，
设 ，则 ，
在等腰直角三角形 中， ，即 ，
解得： ，
则点 ， ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
联立上式和新抛物线的表达式得： ，
解得： （舍去）或 ，
即点 的横坐标为： ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．27．（2023秋•礼县期末）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 从点 出发，在线段 上以每秒2个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，在线段 上
以每秒 个单位的速度向点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为 秒，
求当 为何值时， 的面积取得最大值？并求出面积的最大值；
（3）点 是抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，当 是直角三角形时，求
点 的坐标．
【分析】（1）把 ， 代入 ，求出 和 ，得到二次函数的解析式；
（2）根据题意求出 ， ，用含 的式子表示 的面积，根据二次函数的性质求出面积
最大值；
（3）分 ， 和 三种情况求出点 的坐标．
【解答】解：（1）把 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
点 的坐标为 ，过点 作 轴，垂足为点 ，
，
，
，
点 从点 出发，在线段 上以每秒2个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，在线段 上以
每秒 个单位的速度向点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
， ，运动时间 ，
，
，
，
，
当 ， 的面积取得最大值，最大值为 ；
（3）①当 时，
轴，
，将 代入 ，得 ，
解得 （点 横坐标，舍去）， ，
点 的坐标为 ；
②当 时，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，解得 ，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，，解得 （点 的坐标，舍去）， ，
点 的坐标为 ；
③当 ，情况不成立，舍去；
综上所述，当 是直角三角形时，点 的坐标为 或 ．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定和性质，二次函数的图象和性质和直角
三角形的判定等，本题关键还需要利用分类讨论思想解决问题．
28．（2023秋•汶上县期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当△ 面积最大时点 的坐标及该面
积的最大值；
（3）在 轴上是否存在点 ，使△ 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若
不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）如图1，过点 作 于 ，交直线 于 ，直线过点 作 于 ，设直线 的解析式
为 ，解方程组得到直线 的解析式为 ，设 ，则 ，求得
，设△ 面积 ，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用勾股定理得 ，①当 ， 在点 的上方时，②当
， 在点 的下方时，③当 时，解方程即可求解．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ， ， ，
，
解得 ，
物线的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作 于 ，交直线 于 ，直线过点 作 于 ，
设直线 的解析式为 ，
直线 经过 ， ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ，
点 是抛物线上的点且在直线 上方，
设 ，则 ，
，
设△ 面积 ，
，
，
当 最大值 时， ，
此时 ，
当△ 面积最大时点 的坐标为 ， 及该面积的最大值为 ；
（3）当 时， ，
，
，
①当 ， 在点 的上方时，
，
点 的坐标为 ；②当 ， 在点 的下方时，
，
点 的坐标为 ；
③当 时，
设 ，则 ，
，
点 的坐标为 ；
综上，存在点 ，使△ 是以 为腰的等腰三角形，点 的坐标为 或 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，
二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
29．（2023秋•潼南区期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 点在 点左侧），直线
与抛物线交于 ， 两点，其中 点的横坐标为2．
（1）求 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式；
（2）若点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值；
（3）若点 是抛物线上的一个动点，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程；
若不存在，请说明理由．【分析】（1）因为抛物线与 轴相交，所以可令 ，解出 、 的坐标．再根据 点在抛物线上，
点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出 点的坐标．再根据两点式方程即可解出 的函数表达式；
（2）根据 点在 上可设出 点的坐标． 点坐标可根据已知的抛物线求得．因为 都在垂直于 轴
的直线上，所以两点之间的距离为 ，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）此题要分两种情况：①以 为边，②以 为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形
的性质求出 点的坐标．
【解答】解：（1）令 ，解得： 或 ，
， ；
将 点的横坐标 代入 得： ，
；
设直线 的解析式为 ，代入得：
，
解得： ，
直线 的函数解析式是 ；
（2）设 点的横坐标为 ，则 、 的坐标分别为： ， ，
点在 点的下方，
，
当 时， 的最大值 ；
（3）在 轴上存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形；
①如图1，
连接点 与抛物线和 轴的交点 ，那么 轴，此时 ，
点的坐标是 ；
②如图2，
同①，则 ，
点的坐标为 ，点的坐标为 ；
③如图3，
此时 、 两点的纵坐标互为相反数，
点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得： 点的坐标为 ， ，
设直线 的解析式为 ，
将 点代入后可得出直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
因此直线 与 轴的交点 的坐标为 ， ；
④如图，此时 、 两点的纵坐标互为相反数，
点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得： 点的坐标为 ， ，
设直线 的解析式为 ，
将 点代入后可得出直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
因此直线 与 轴的交点 的坐标为 ， ；
综上：在 轴上存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形；点 坐标为 ，
， ， ， ， ．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质以及平行
四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并运用数形结合以及分类讨论的思想方法．
30．（2023秋•天桥区期末）如图1，抛物线 与 轴交于 和 两点，与
轴交于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） 是抛物线上，位于直线 上方的一个动点，过点 作 于点 ，求 坐标为何值时
最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点 ，点 为原抛
物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式 ，展开得 ，解方程求出 即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出 的表达式，利用二次函数的性质求
最值即可；
（3）先通过勾股定理求出 点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算 的坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为 ，
即 ，
，解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）令 得： ，
点的坐标为 ，
△ 为等腰直角三角形， ，
设 的解析式为 ，将 与 代入得：
，
，
过 点作 轴交 于点 ，
设 ，则 ， ，其中 ，由题可知，△ 为等腰直角三角形，
，
由二次函数的性质可得，当 时， 有最大值为 ，
点纵坐标为： ，
此时 点坐标为 ， ；
坐标为 ， 时 最大，最大值为 ；
（3）在平面直角坐标系中存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形；理由如下：
由平移可求得平移后函数解析式为 ，与原函数交点 ；
①以 为边，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，如图2，
设 ，， ， ，
，
，
解得 ，即 ，
此时设 ， ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，
解得： ，
；
②同理，以 为边，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，如图2，
设 ，
，
，
解得 ，即 ，
此时设 ， ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，
解得： ，；
③以 为对角线，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，如图3，
设 ，
，
，
解得 ， ，即 ， ，
此时设 ， ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，
解得： ，
；
设 ， ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，解得： ，
．
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数定义，用函数法求线段和最值问题，二次函数图
象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相
关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
题型四：二次函数与定值（共7题）
31．（2023秋•平湖市期末）如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点（点 在点
的左侧），与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ．
（1）若 ，求二次函数的表达式；
（2）设点 为抛物线上位于 轴下方的动点，直线 ， 分别与直线 交于点 ， ，求证：
．
【分析】（1）先解方程 得 ， ，再利用射影定理得到 ，
解得 ，所以 ，然后把 点坐标代入 中求出 即可；
（ 2 ） 先 确 定 ， 设 ， ， 利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 的 解 析 式 为， 则 ， 所 以 ， 同 理 方 法 得 到 ， 则
，所以 ．
【解答】解：（1）当 时， ，解得 ， ，
， ，
，
，
，
，
解得 ，
，
把 代入 得 ，
解得 ，
二次函数的解析式为 ，
即 ；
（2）证明：当 时， ，
，
，
设 ， ，
直线 的解析式为 ，
把 ， ， 分别代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，
同理可得直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，
．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
32．（2023秋•惠山区期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和点 （位于 轴
的正半轴），与 轴交于点 ．
（1） （用含 的代数式表示）；
（2）若 的面积为6，点 ， 为二次函数 图象上的两点，设点 的横坐标为 ，点
的横坐标为 ，且 ，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ．
①求该二次函数的表达式；
②若 ，则 是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．【分析】（1）将点 代入 ，即可得 ；
（2）①求出 ，根据 ，可得 ，即可得该二次函数的表达式；
②过点 作 轴于点 ，设直线 交 轴于点 ，设 ， ，利用待
定系数法求出直线 的解析式为 ，由 ，可得 ，求
出 ，由 在直线 上得 ，则 ，利用待定系数法求出 ，
的解析式，可得 ， ，则 ， ，可得 ．
【解答】解：（1）将点 代入 得 ，
，
故答案为： ；
（2）① 二次函数 与 轴交于点 ．
，
，
，
令 ，则 或 ，，
，
，
的面积为6，
，
解得 或4（舍去），
，
该二次函数的表达式为 ；
②过点 作 轴于点 ，设直线 交 轴于点 ，
设 ， ，直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
轴，， ，
，
，
在直线 上，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
同理得 ， ，
．
是定值，该定值为4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，等腰三角形
的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
33．（2023秋•泰兴市期末）在平面直角坐标系中，过点 任作一条直线分别交抛物线
于 、 两点，如图1，当 轴时， 是等腰直角三角形．
（1） ；
（2）如图2，过 作 轴的垂线 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 、 ，①设 点的横坐标为 ，求 点的坐标（用含 的代数式表示）；
②试说明 ；
（3）如图3，过 作 轴的平行线交抛物线于 、 两点，直线 、 相交于点 ， 的面积是
否为定值？如果是，请求出 的面积；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ，再将 点代入 ，即可求 的值；
（2）①设直线 的解析式为 ，当 时，利用根与系数的关系可求 ，则 ，
；
②设 与 轴交于点 ， ，过 作 于 ，求出 ，再由
，可得 ；
（3）设点 的横坐标为 ，分别求出直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
，联立方程 ，求出 ，则点 到 的距离为定值2，即可求
的面积为定值2．
【解答】（1）解： ，
，
轴， 是等腰直角三角形，
，
，
，故答案为：1；
（2）①解： 点的横坐标为 ，
，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得 ，
，
，
， ；
②证明：设 与 轴交于点 ，则 ， ，
，
过 作 于 ，
， ，
，
，
；
（3）解： 的面积为定值，理由如下：
设点 的横坐标为 ，由（2）知 ， ，
由 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ，
由 ， ，同理可得直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ，
，
点 到 的距离为定值2，
的面积为定值 ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，待
定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
34．（2023秋•靖江市期末）如图1，已知二次函数 、 、 为常数，且 的图象，与
轴交于 、 两点 点在 点左侧），与 轴交于点 ，且其函数表达式可以变形为
的形式．已知点 为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为 ．（1）求出点 、点 的坐标和该二次函数的表达式；
（2）连接 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，直线 交 轴于点 ，连接 ．
①求出直线 的函数表达式（用含有 的代数式表示）；
②设四边形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并求 的最大值；
（3）如图2，若直线 为该二次函数图象的对称轴，交 轴于点 ，直线 ， 分别交直线 于点 、
．在点 运动的过程中， 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得 ， ，把点 代入 得到 ；
（2）①根据题意得到 ，设直线 的解析式为 ，待定系数法即可得到结论；
②待定系数法求得直线 的解析式为 ；得到 ， 求得 ，推出
，得到四边形 是矩形，根据矩形的面积公式得到 关于 的函数关系式，然后根据二次
函数的性质得到结论；
（3）求得抛物线 的对称轴为直线 ，待定系数法得到直线 的解析式为
，求得 ， ，于是得到结论．
【解答】解：（1） 二次函数 、 、 为常数，且 的图象，与 轴交于 、 两点
点在 点左侧），其函数表达式可以变形为 的形式，， ，
把点 代入 得， ，
，
二次函数的表达式为 ，
即 ；
（2）① 点 为该抛物线在第一象限内的一点，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ；
② ， ，
直线 的解析式为 ；
轴于点 ，交 于点 ，
，
在 中，当 时， ，
，
，
轴，，
四边形 是矩形，
；
即 关于 的函数关系式为 ；
，
的最大值为 ；
（3） 为定值，
抛物线 的对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
， ，
，
故 为定值，定值为8．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，折叠的
性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一
次函数解析式是解题的关键．
35．（2023秋•天元区期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
负半轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点 是抛物线上第三象限内的一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
（3）如图2，经过定点 作一次函数 与抛物线交于 ， 两点，试探究 是否为定
值？请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）以 为顶点，在 下方作 ，连 交抛物线于点 ，过 作 交 于 ，过
点 作 轴于点 ，求出 知 是等腰直角三角形，可得 ， ，故
， ，可得 ， ，直线 解析式
为 ，联立方程组得 ，得 ， ，而 ，点
是抛物线上第三象限内的一点，即可得 ；
（3）根据题意先确定点 的坐标为 ， ，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中
两点之间的距离公式求出 、 、 ，证出 ，最后可求 ．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，代入得：
，解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，以 为顶点，在 下方作 ，连 交抛物线于点 ，过 作 交
于 ，过点 作 轴于点 ，
，令 ，得 ，
，又 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， ，设直线 解析式为 ，把 ， ， 代入得：
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
联立方程组得 ，
解得 （舍去）或 ，
点 是抛物线上第三象限内的一点，
， ；
（3） 是定值．理由如下：
设 ， ， ， ，
由 得： ，
， ，， ，
，
，
点 是直线 上一定点，
， ，
，
，，
，
是定值．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数
定义，一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用．解题的关键是掌握待
定系数法求出函数解析式．
36．（2023秋•泉州期末）如图1，已知抛物线 与 轴相交于点 ，点 是抛物线的顶点，
连接 ．
（1）点 ， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值；
（2）设过定点 的直线与抛物线相交于 、 两点，点 在点 的左侧且点 在第四象限，当直线
与直线 相交所成的一个角为 ，求点 的坐标；
（3）如图2，把抛物线的顶点平移到坐标原点，在平移后的抛物线上任取一点 ，过点 作射线
轴交抛物线于点 ，在射线 上点 的左右两侧各有一个动点 ， ，分别过 ， 作 垂线交抛物
线于 ， ， 交 于点 ，连接 ， ， ， ， ，则 ， ， ，中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．
【分析】（1）先求解抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，如图，过 作 于 ，则
，再利用三角函数解题即可；
（2）由 ，定点 ， ，求解 ， ，可得 ，过
作 于 ，则 ，可得 ， ，结合 ，可得
，过 作 于 ，可得 ， ，求解直线 为 ，从而可得答案；
（3）先求解新的抛物线为 ，设 ， ， ， ，可得 ，
， ， ， 求 解 直 线 为 ， 可 得
，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1） 抛物线 ，
抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
为等边三角形，
， ，
如图1.1，过 作 于 ，则 ，
，
，，
解得： ；
（2）如图2，
抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
，定点 ， ，
令 ，则 ，
，
解得： ， ，
， ，
，
，
过 作 于 ，则 ，
， ，，
，
，
过 作 于 ，
同理可得： ，
， ，
，
， ，
设 为 ，
，
解得： ，
直线 为 ，
，
， ，
．
（3） ，理由如下：
把抛物线 的顶点平移到坐标原点，则新的抛物线为 ，设 ， ， ， ，
， ，
， ，
设直线 为 ，代入得：
，
解得： ，
直线 为 ，
，
， ， ， ， ，
，
，
．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，利用待定系数法求解函数解析式，锐角三角函数的应用，求解
函数的交点坐标，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
37．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系 中，已知点 在 轴正半轴上．
（1）如果四个点 ， ， ， 中恰有三个点在二次函数 为常数，且 的图象
上．
①
②如图1，已知菱形 的顶点 、 、 在该二次函数的图象上，且 轴，求点 的坐标；③如图2，已知正方形 的顶点 、 在该二次函数的图象上，点 、 在 轴的同侧，且点 在点
的左侧，设点 、 的横坐标分别为 、 ，试探究 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不
是，请说明理由．
（2）已知正方形 的顶点 、 在二次函数 为常数，且 的图象上，点 在点 的左
侧，设点 、 的横坐标分别为 、 ，直接写出 、 满足的等量关系式．
【分析】（1）①证明 不在 的图象上，将 代入 ，即可求出 的值；
②设点 的坐标为 ，由二次函数对称性得点 的坐标为 ，通过菱形的性质列出关于 的方
程，从而求出点 的坐标；
③ 是定值．连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证
明 ，得 ， ， ， ，由 ， ，得
到关系式，从而证明 是定值；
（2）分当 、 在 轴右侧时，当 、 在 轴左侧时，当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 不
垂直于 轴时，当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 垂直于 轴时几种情况讨论，证明
， 得 得 ， ， 则 ， ， 设 ， 则
， ， ，表示出 ， ， ， 的长度，通过 ，
，列出关系式从而求解．【解答】解：（1）①由二次函数 ，得当 时， ，
可得 不在 的图象上，
将 代入 ，解得 ，
故答案为：1；
②二次函数的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，
由菱形的性质可得 ，
由二次函数 关于 轴对称，且 ，可得点 的横坐标为 ，
即点 的坐标为 ，
，
，
解得 （不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）， ，
点 的坐标为 ；
③ 是定值，理由如下：
连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 是正方形，、 互相平分， ， ，
， ，
，
， ，
，
， ，
点 、 的横坐标分别为 、 ，
， ，
则 ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ， ，
， ，
，
点 、 在 轴的同侧，且点 在点 的左侧，
，
，
是定值，值为1；
（2）当 、 在 轴右侧时，
同理可证 ，
， ，
得 ， ，则 ， ，
设 ，则 ， ， ，
， ， ， ，
， ，，
化简得 ，
，
；
当 、 在 轴左侧时，
同理可得 ；
当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 不垂直于 轴时，
同理可得 ，
当 在 轴左侧， 在 轴右侧时，且 垂直于 轴时，
由正方形、二次函数的性质可得 ；
综上所述， 或 ．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的性质，正方形和菱形的性质，全等三角形
的性质与判定，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题．
