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专题 06 反比例函数综合题（考题猜想，4 种必考题型）
题型一：反比例函数K的几何意义（共10题）
一、单选题
1．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数 的图像与矩形 的边 、 分
别相交于点D、E，连接 、 ，直线 与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是
（ ）
①
②
③④）若 ， ，则 ．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图像与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合
思想是解答的关键．根据相关知识逐个分析即可作出判断．
【详解】解：设 ，则 ， ，
①∵点D、E在反比例函数 的图像上，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，故②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，故③正确；
④由 得
，则 ，又 ，
∴ （负值舍去），故④正确，
综上，正确的结论为①②③④，
故选：D．
2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线OB在x轴上，顶
点A在反比例函数 的图象上，若菱形 的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k
的几何意义是正确解答的前提．连接 交 于 ，由菱形的性质可知 ，根据反比例函数
中 的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出 的值．
【详解】连接 交 于 如图：
四边形 是菱形，
，
菱形的面积 ，顶点 在反比例函数 的图象上，
解得∶ ．
故选∶D．
3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，点 、 在 轴上，点 、 在反比例函数 的图像上，
， 过原点 ， 与反比例函数 交于点 ，点 在 上， ，连接 交
于点 ， 的面积为2，若 ，则 的值为 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】A
【分析】根据反比例函数的对称性可知四边形 是平行四边形，通过相似可求 ， 的面
积为8，设点 坐标为 ，表示出 坐标，列方程即可求出 的值．
【详解】解：∵点 、 在反比例函数 的图像上， 过原点 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设点 坐标为 ，分别作 、 垂直 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ，
∵ ，即 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、反比例函数综合应用等知
识，熟练掌握反比例函数的性质以及相似三角形的性质是解题关键．
二、填空题
4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数 图象上的一点A作y轴的平行线
交反比例函数 于点B．连接 、 ．若 ，则k的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的 的几何意义，令 交 轴于 ，由题意可得 ，求出
，即可得解．
【详解】解：如图：令 交 轴于 ，
，
∵点 在反比例函数 上，且 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 中， ，点 在 轴的正半轴，点 在第一象限，函数 （ ）的图象与边AB， 分别交于点 ，若 ， ，则 的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键．
根据题意，连接CD，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，可得 ，可证
，得到 ，设 ，则 ，点 ，根据
，可得 ，则有 ，再根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接CD，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且点 三点共线，
∴点 三点的横坐标都相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∵点 在反比函数图象上，
∴ ，即 ，
∵点 三点的横坐标都相同，
∴点 的横坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 ，
∴
，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图在平面直角坐标系 中，矩形 的点 在函数 (x>0)
的图象上，点 在函数 ( )的图象上，若点 的横坐标为 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，构造 字形相似，
由面积比得出相似比为 ，从而得出 点坐标与 点坐标关系，而 是矩形对角线交点，故 是
的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．
【详解】解：如图，过 点作 轴，过 点作 轴，
点 在函数 的图象上，点 在函数 的图
象上，
， ，
轴，
， ，
在矩形 中， ，
，
，
又 ，
，
，
， ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
连接 ， 交于点 ，则点 为 ， 的中点，
又∵点 的横坐标为 ，，
解得a=−1（不合题意，舍去）或 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，反比例函数 经过 ， 两点，过点 作 轴于
点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 ， ，已知 ， ，
，则点 到 的最短距离为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据反比例函数的比例系数的几何意义
得 的值，求得 、 两点的坐标，进而根据三角形的面积公式求得 到 的距离．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵ ， ， 轴， 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则点 到 的最短距离为 的长，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点 到 的最短距离为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质，坐标与图形，两点间的
距离，垂线段最短，三角形的面积公式，解题的关键是确定 、 点的坐标．
8．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的图
象上，点 在点 左侧，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于点
，连接 ，若 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数 值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质，掌
握反比例函数图象的性质，比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
如图所示，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，可得 ， ，设，用含 的式子表示点 的坐标，由此可得直线 ， 的解析式， 从而求出 的
坐标，分别求出 的长，再根据
可求出 的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，且在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，即点 的纵坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，整理得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数 与 的
图像上，连接 ， ， ，且 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点 作
轴于点 ，过点 作 轴于点 ，证明 ，根据 ，求出 ，
从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到 的值，即可解题．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
， ，
，
，
，
，
，，即 ,
设 ， ，则 ，
，
，
，
故答案为： ．
10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点B、C在第
一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数 （ ）的图象于点D，若 ，平行四边形
的面积为18，则k的值为 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义．
过点D作 轴于N，过点B作 轴于M，可得 ，设 ， ，则 ，
根据 的面积为18表示出 的长度，从而表示出点C的坐标，由 得到 ，根据
求出 的长，从而表示出点D的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
【详解】过点D作 轴于N，过点B作 轴于M，∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴点C的坐标为
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴D点坐标分别为 ，∵点 ， 都在反例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40
题型二：反比例函数与一次函数综合（共7题）
1．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
交于点M，过点M做 轴于N，且 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，当x取何值时， ？（根据图直接写出结果）
(3)若一次函数 的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数 的图象上，且横坐标为3，
求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问
题，梯形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据 即可得到M的横坐标为1，然后代入一次函数求出M的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解；
（2）利用图像法求解即可得到答案；
（3）过B作 轴于E，先求出A，B的坐标，即可得到 的长，然后根据
求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
把x=1代入 中，得 ，
∴ ，
把x=1， 代入 中，得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
（2）∵ ，
∴一次函数的图像要在反比例函数图像的下方，
∴结合函数图像可知 时，满足题意，
∴当 时， ；
（3）过B作 轴于E，
把 代入 中，得 ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵A是直线 与y轴的交点，
∴ ，
∴ ，
∴
．
2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请结合图象，直接写出当 时，自变量x的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）根据函数图象及交点 ， ，图形结合可直接写出 时自变量的取值范围．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数 经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
∵点 在反比例函数 的图象上，即 ，
∴ ，
∴点 ，
把点 ， 代入 中，
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：根据图像及交点的坐标，当 时，自变量x的取值范围为： 或 ．
3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点
、 ，交反比例函数 的图象于点 ，点 在反比例函数的图象上，横坐标
为 ， 轴交直线 于点 ， 是 轴上任意一点，连接 、 ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为
(2)4
【分析】本题考查了求一次函数和反比例函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函
数的性质是解题关键．
（1）将点 、 代入 即可得一次函数的解析式；从而可得点 的坐标，再代入
可得反比例函数的解析式；
（2）先分别求出点 的坐标，从而可得 的长，再利用三角形的面积公式和二次函数的性质求最值即
可得．
【详解】（1）解：将点 、 代入 得： ，
解得 ，
则一次函数的表达式为 ，
将点 代入 得： ，
则点 的坐标为 ，将点 代入 得： ，
则反比例函数的表达式为 ．
（2）解：∵点 在反比例函数的图象上，横坐标为 ， 轴交直线 于点 ，
∴ ， ， 的 边上的高为 ，
∴ ，
∴ 面积为 ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 面积取得最大值，最大值为4，
所以 面积的最大值为4．
4.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知 ， 是一次函数 的图象与反比例
函数 的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）先把 代入 求得m的值即可；
（2）把 代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入 即可求得一次函数解析
式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用 即可求解；
（3）分三种情况求解：①当 时，②当 时，③当 时．
【详解】（1）∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
（2）∵点 在 上，
∴ ，
∵ ， 都在一次函数 的图象上，代入得：
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
∵直线 与x轴交于点C，如图1，∴ ，
∴ ，
∵A的坐标为 ，B的坐标为 ，
∴
；
（3）①当 时，
∵ ，
∴ ，∴ ；
②当 时，
作 轴于点E，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
同理可求 ；
③当 时
设 ，则 ，
解得 ，
∴ ．
同理可求 ．
综上可知，点P的坐标为 ．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面
积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
5．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
， 两点，与 轴、 轴分别交于点 ， ．
(1)求反比例函数的解析式和点 的坐标．
(2)求过 ， 两点的最小圆的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）把点 代入 解方程得到 ，把 代入 解方程求得反
比例函数表达式，再解方程组即可得到结论．
（2）根据题意得过 ， 两点的最小圆是以线段 为直径的圆，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解方程组，勾股定理，圆的面积，
正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 代入 得， ，
，
把 代入 得 ，
反比例函数的解析式为 ，
解方程组 ，得 或 ，
点 的坐标 ；
（2）解： 过 ， 两点的最小圆是以线段AB为直径的圆，
由（1）知， ，B(−2,1)，
，
过 ， 两点的最小圆的面积为 ．
6．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点
A，点B，交反比例函数 （ ）的图象于 ．(1)求反比例函数的解析式；
(2)抛物线 ，经过点B．
①求抛物线与x轴的交点个数；
②该抛物线与反比例函数 的图象交于点 ，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)①两个；②
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出抛物线的解析式，利用二次函数与一元二次方程的关系和根的判别式解题即可；
②由题意可得 ，然后代入计算即可．
【详解】（1）∵ 在直线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ．
又∵ 在双曲线 上，
∴ ，解得 ，
∴双曲线的解析式为 ．（2）①直线 交y轴于点B，
∴点B的坐标为 ，
将 代入 中，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ．
∵ ，
∴该抛物线与x轴有两个交点．
②依题意，n是方程 的解，
∴ ，去分母得 ，
整理得 ，等号两边分别平方，得 ，
简化，得 ，
∴
．
7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数 和反比例函数 相交于点 和点 ．(1) ＝ ， ＝ ；
(2)连接 ，在反比例函数 的图象上找一点 ，使 ，求出点 的坐标；
(3)点 为 轴正半轴上任意一点，过点 作 轴的垂线交反比例函数 和一次函数 分别
于点 ，且满足 ，求 的值．
【答案】(1)3；1
(2) 或
(3) 或
【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉
及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键．
（1）把点 分别代入 和 中即可得到结果；
（2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点 的坐标；
（3）根据点 的坐标设 的坐标，利用两点之间距离公式求出 和 的距离，再代入 即
可．
【详解】（1）解：把点 分别代入 和 得，
， ，
解得 ， ．
（2）解：由（1）可知， ， ，
设过原点与直线 平行的直线解析式为 ，
列方程组 ，
解得， 或 （舍去），
则 点坐标为 ，把直线 向上平移2个单位得 ，
列方程组 ，
解得， 或 （舍去），
则 点坐标为 或 ．
（3）解： 点 为 轴正半轴上任意一点，
，
设 ， ，
，
，
，
当 时，整理得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，整理得 ，
解得 或 （舍去），
或 ．
题型三：实际问题与反比例函数（共9题）
1．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升 ，加热到 ，
停止加热，水温开始下降．此时水温 与通电时间 成反比例．当水温降至 时，饮水机再
自动加热．若水温在 时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．水温从 加热到 ，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．水温从 降至 ，所需时间为
D．水温不低于 的时间为
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函
数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】∵开机加热时水温每分钟上升 ，
∴水温从 加热到 ，需要 ，故A选项错误；
∴设反比例函数的解析式为 ，将点 代入，可=得 ，
∴水温下降过程中， 与 的函数关系式是 ，故B选项错误；
将 代入 得，
解得
∴
∴水温从 降至 ，所需时间为 ，故C选项错误；
∵开机加热时水温每分钟上升 ，
∴水温从 加热到 ，需要 ，
将 代入 得，
解得∴水温不低于 的时间为 ，故D选项正确．
故选：D．
2.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体
积的面团做成拉面，面条的总长度 是面条的粗细（横截面积） 的反比例函数，其图象如图所
示．
(1)求当面条粗 时，面条的总长度是多少米？
(2)若面条的总长度要求不大于 ，那面条的粗细有什么限制？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然
后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）利用待定系数法求出它们的关系式，代入求解即可．
（2）根据 求出 的取值范围即可．
【详解】（1）解：设面条的总长度 是面条的粗细（横截面积） 的关系式为 ，
把点 代入可得 ，
∴
当 时， ．
答：面条的总长度是80米．（2）解：根据题意得：
，
解得：
答：面条的粗细不小于
3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校
对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致
可以用“拥挤指数” （ ）与放学后时间 （分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状
态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数 的图象趋势．若“拥
挤指数” ，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用
（1）设该二次函数的解析式为 ，把点 代入，即可求得二次函数的解析式；把点
代入 ，即可求得k的值；
（2）由 可得 ，再由 ，得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为 ，把点 代入，得 ，解得：
∴所求二次函数的解析式为
把点 代入 得： ；
（2）解：没有超过15分钟，
理由如下：
由 解得： ， （舍去），
由 ，解得： ，
，
所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟．
4．（23-24九年级上·广西百色·期末）【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面
积S的数据关系如下表所示：
桌面所受压强
250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)压强的计算公式是： ，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积
（S）中，哪一个量不变？
(2)求出压强 关于受力面积 的函数表达式及a的值；
(3)如图②，将另一长、宽、高分别为 ， ， ，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水
平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1)压力F不变(2) ，
(3)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）根据表格当中所给数据分别计算出F的值，可知压强P与受力面积S的乘积不变，即压力F
不变；
（2）用待定系数法可得函数关系式，把 代入关系式中，可得a的值；
（3）先求出S，再代入函数关系式中求出P，然后与4000比较大小即可得到答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数关系式．
【详解】（1）由表中数据可知
当 时， ，
此时 ；
当 时， ，
此时 ；
当 时， ，
此时 ；
由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变．
（2）把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
解得 ；
（3）这种摆放方式不安全．
理由：由已知 ，
此时 ，
∴这种摆放方式不安全．
5．（23-24九年级上·广西北海·期末）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双
减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 的关系式为 ．
(1)当镜片焦距是 时，近视眼镜的度数是多少度？
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少 ？
(3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦
距调整为 ，则小明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】(1)当镜片焦距是0.1m时，近视眼镜的度数是1000度
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是
(3)小明的眼镜度数下降了100度
【分析】本题考查了反比例函数的应用:
（1）把 ，代入 即可得到结论；
（2）把 代入 即可得到结论；
（3）当 时，求得 ，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距 的关系式为y ，
当 时， ，
答：当镜片焦距是 时，近视眼镜的度数是1000度；
（2）解：当 时， ，
答：当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是 ；
（3）解：当 时， ，
∴ （度），
答：小明的眼镜度数下降了100度．
6．（23-24九年级上·山东青岛·期末）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个
小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y
（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离为 ，求火焰的像高；
(3)若火焰的像高不得超过 ，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【答案】(1)
(2)火焰的像高为
(3)小孔到蜡烛的距离至少是
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意设 ，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把 代入 ，再计算可得答案；
（3）由 再建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意设： ，
把 代入，得 ，
关于x的函数解析式为： ；
（2）把 代入 ，得 ，
∴火焰的像高为 ．
（3） 时，
，
，，
答：小孔到蜡烛的距离至少是 ．
7．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的
温度y（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段 表示原料加热阶段；线段 轴，表示原料的
恒温阶段；曲线 是反比例函数 图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
(1)填空：a的值为 ；
(2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间．
【答案】(1)21；
(2)30分钟．
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）把 代入 ，可得 ；
（2）用待定系数法可得线段 对应的函数解析式为 ， 由 得 ，由
得 ，
即可得到答案．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得： ，
∴ ，
故答案为：21；
（2）解：设线段 对应的函数解析式为 ，把 代入得：
，
解得 ，∴线段 对应的函数解析式为 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴可进行零件加工的时间长度为30分钟．
8．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某
天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度 随时间 变化的函数图象，其中 段是恒
温阶段， 段是双曲线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求 的值.
(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于 的时间有多长.
【答案】(1)
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于 的时间有13.8小时．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解
析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）直接将点 的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有 的点，而且 段是恒温阶段， ，所以计算 和 两段
当 时对应的 值，相减就是结论．
【详解】（1）把 代入 中得：
；（2）如图，
设 的解析式为： ．
把 、 代入 中得：
，
解得： ，
的解析式为： ，
当 时， ， ．
，
解得： ，
．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于 的时间有13.8小时．
9．（23-24九年级上·四川达州·期末）通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量 与
市场价格 之间存在下列函数关系： ，且该地区这种农产品的产量
与市场价格 成正比例关系： ．现不计其他因素影响，若需求量y等于
产量z时，则称市场处于平衡状态．
(1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格；
(2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价
格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值．
【答案】(1)
(2)320000
【分析】本题主要考查了函数与方程的应用．熟练掌握函数与方程的关系，根据“需求量=生产数量”列
出方程，是解题的关键．
（1）平衡状态时，让 得到x的方程，求出相应的x；
（2）处于平衡状态时，市场价格为40元，代入“需求量=生产数量”，求出m值，即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得 ，
经检验， ， 都是方程的解， 不合题意，舍去，
答：当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格为 ；
（2）由题意得方程 的解为 ，
∴ ，
解得 ．
故m的值为320000．
题型四：反比例函数与几何综合（共14题）
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分
别交于A、B两点．正方形 的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图象上．
若正方形 向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】过D、C分别作 轴， 轴，垂足分别为E、F， 交反比例函数的图象于G，易证
，则可求 ， ，确定函数解析式 ，点C向左平移n个单位
后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值．
【详解】解：过D、C分别作 轴， 轴，垂足分别为E、F， 交反比例函数的图象于G，
∵A，B为函数 与x轴、y轴的交点．
∴当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∵ 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵
∴在 和 中
∴ ，
同理可证得： ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
把 ，代入 中，
解得： ，
把 代入 中，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，
给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键．
2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图， 是坐标原点， 的直角顶点 在 轴的正半轴上，
，反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ．（1） ；
（2） 为该反比例函数图象上的一点，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据已知条件得出 的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出 的坐标，
进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线 ，联立 与反比例函数解析式，得出 的坐标，进而根据两点距离公
式求得 ， ，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ．
∴ ；
故答案为： ；
（2）设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，设直线 的解析式为 ，
将点 代入 中，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由（1）得反比例数解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比
例函数的性质是解题的关键．
3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
和 ．(1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________．
(2)由图像写出满足 的自变量x的取值范围；
(3)点P是线段AB上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，若 的面积为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的
综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键．
（1）把点 代入一次函数，把点 代入反比例函数，即可求解；
（2）把点 代入一次函数解析式可得 ，结合图形即可求解；
（3）根据题意，设 ，得到 ，则有 ，
当 ， 的面积最大，最大值为 ，当 时， ，当 时， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ，
∴把点 代入一次函数得， ，
解得， ，
∴一次函数解析式为： ，
把点 代入反比例函数得， ，
解得， ，∴反比例函数解析式为： ，
故答案为： ；
（2）解：把点 代入一次函数得， ，
解得， ，
∴ ，
∴由图形可得，当 或 时， ，
∴满足 的自变量x的取值范围为： 或 ；
（3）解：∵点P是线段AB上一点，
∴设 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， 的面积最大，最大值为 ，
∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ 的取值范围为 ．
4.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形 的顶点 ， 在 轴的正半轴上，点 的坐标为
，点 在点 的右侧，反比例函数 在第一象限内的图象与直线 交于点 ，交
于点 ．(1)求 点的坐标及反比例函数 的关系式；
(2)连接 ，若矩形 的面积是27，求出 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质：
（1）根据矩形的性质，得到点D的横坐标为4，代入 ，可求得点D的坐标，再代入 ，得到k
的值，即可得到反比例函数的关系式；
（2）设线段 ，线段 的长度为 ，根据“矩形 的面积是24”，可求出m的值，从而得到点E
的坐标为 ，进而得到线段 的长度，再根据三角形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，四边形 是矩形，
∴可设D坐标为 ，
把 代入直线 得： ，
∴点D的坐标为 ，
∵ 经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴反比例函数的关系式为： ；
（2）解：设线段 ，线段 的长度为 ，∵ ，
∴ ，
∵矩形 的面积是27，
∴ ，解得： ，
即点B，点C的横坐标为： ，
把 代入 得： ，
即点E的坐标为： ，
∴线段 的长度为 ，
∴
5.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数 图象上，过点A作 轴于
点B，四边形 是正方形，点D是反比例函数 图象上．
(1)若点A的横坐标为 ，求k的值；
(2)若设正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐
标是解题的关键；
（1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论；
（2）由正方形 的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可．
【详解】（1） 点A的横坐标为 ，在正比例函数 图象上，
当 时， ，
A的坐标为： ，
点A作 轴于点B，四边形 是正方形，
，
，
D的坐标为： ，
点D是反比例函数 图象上
，
（2） 正方形 的面积为m，
，
点D和A得纵坐标为 ，
A的坐标为： ，
，
D的坐标为： ，
代入 得：
6.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边作菱形 ，过点D作
轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．
(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比
例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．
【答案】(1)3，8：y=
(2)
【分析】
（1）过点C作 于点T，利用菱形面积求出 ，再利用勾股定理求出 ，从而可设出点C
的坐标为 ，则点A的坐标为 ，得到 ，求出m的值即可得到答案；
（2）设点 ，过点C作 轴于点N，交 于点M，利用菱形面积得到 ，即可得到
点C的纵坐标为 ，则 ，进一步推出，点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，
得到 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）
解：过点C作 于点T，
∴菱形面积 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为 ，
设点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴反比例函数的表达式为： ， ，
故答案为：3，8；
（2）
解：设点 ，过点C作 轴于点N，交 于点M，
∵菱形面积是48，
∴ ，
∴ ，
∴点C的纵坐标为 ，
∴ ，∴点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应
线段的长度是解题的关键
7．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相
交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．
(1)当 时，求A、B两点的坐标：(2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点P，使 是以 为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，直线 分别交反比例函数 图象的另一支于点C和点D，连接 和
交x轴于点Q， 交y轴于点G．若 ．
①求此时反比例函数的表达式．
②求 ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)① ；②
【分析】（1）解方程组即可得到结论；
（2）分情况讨论，过点 作 于点 ，设 与 轴的交点为 ，根据相似的性质得到 ，
设直线 的解析式为 ，解方程组即可得到答案；
（3）如图 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，根据相似三角形的性质得到
．
①设 ，解出 ，即可求出函数解析式；
②设直线 的解析式为 ，得到 的解析式为 ，得到 ，根据三角形面积公式
计算即可．
【详解】（1）解：当 时，反比例函数的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
；（2）解：若
过点 作 于点 ，设 与 轴的交点为 ，
令 ，解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
即 ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
解得 或 ，，
②若 ，
过点 作 于点 ，设 与 轴的交点为 ，
令 ，解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
即 ，
，
，
设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 ，
综上所述，符合条件的点 的坐标为 或 ；
（3）解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
则有 ，
，
，
①设 ，
，
，即 ，
都在反比例函数上，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
故反比例函数为 ；
②设直线 的解析式为 ，
则有 ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ，
令 ，解得 ，
，
，，
根据轴对称的性质得到四边形 为平行四边形，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，待
定系数求函数解析式，正确做出辅助线是解题的关键．
8．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，直线 （ ）的图象与双曲线 的图象
相交于点 和点 ，点 是 轴上的一个动点．
(1)求出点 的坐标．
(2)连接 ，若 的面积为 ，求此时点 的坐标．
(3)点 为平面内的点，是否存在以点 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)存在， 或 或 ．
【分析】（ ）利用代数系数法求出一次函数和反比例函数解析式，联立函数式，解方程组即可求解；
（ ）分 在 下方和 在 上方两种情况解答即可求解；
（ ）设 ，以 四点为顶点的四边形是菱形时，分 为边和对角线三种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点 的坐标．
【详解】（1）解：∵点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴直线的关系式为： ，反比例函数的关系式为： ，
联立得 ，
解得 或 ，
∴点 的坐标为 ；
（2）解： 在 下方时，过 作 轴于 ，过 作 于 ，
设 ，
∵点 的坐标为 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；在 上方时，
设 ，直线 交 轴于 ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）解：设 ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴ ，
，
，
以 为边， 时，，解得 或 ，
∴点 的坐标为 或 ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴点 的坐标为 或 ；
以 为边， 时，
，无解，
∴此种情况不存在；
以 为对角线时， ，如图，，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积公式、待定系数法求函
数的解析式，运用分类讨论的思想解答是解题的关键．
9．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形 的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D
位于第一象限，且 ，对角线 交于点G，若曲线 经过点C、G．
(1)设 ，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）；
(2)求点C的坐标；
(3)求矩形 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，根据矩形的性质可得 ，
进而得到 、 即可解答；
（2）由题意可得 解得 ，作 轴于H，即 ；再证明 ，利用相
似三角形的性质列比例式可得 ，进而得到 即可解答；
（3）由勾股定理可得 、 ，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵曲线 经过点C、G，
∴ ，
解得： ，
如图：作 轴于H，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴矩形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、反比例函数与
几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为：
与x轴交于点B，且与过原点的直线 互相垂直且交于点 ．正方形 的其中一个顶点C与
原点重合，另一顶点E在反比例函数 上，正方形 从现在位置出发，在射线 上以每秒1个
单位长度的速度向右平移，运动时间为t．(1)当D落在线段 上时 ________，当D落在线段AB上时 ________．
(2)记 与正方形 重叠面积为S，当 时，请直接写出S与t的函数关系式以及t的取值范
围．
(3)在正方形 从图1位置开始向右移动的同时，另一动点P在线段AB上以每秒1个单位长度的速度
从B点运动到A点，当 时，请求出使得 是以 为腰的等腰三角形的t的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的值为 或
【分析】（1）运用待定系数法求出点 的坐标，由此可求出正方形的边长，设 ，当点 上时，
根据纵坐标的值即可求解；
（2）根据图形的移动，点的移动规律，分类讨论：① ；② ；③ ；④ ；
图形结合分析，再根据三角形面积的计算方法即可求解；
（3）先求出点 的坐标，分类讨论，当 ；当 ；根据等腰三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意， 时， ，
∴ ，
设 所在直线的解析式为 ，把点 代入得，，
解得， ，
∴ 所在直线的解析式为 ，
∵正方形 中点 在反比例函数 的图象上，
∴正方形的边长为 ，即 ，
∴ ，
当正方形 以每秒 个单位长度向右平移时，
设 ，
∴当点 在 上时， ，
解得， ，
当点 在AB上时， ，
解得， ，
故答案为： ．
（2）解：①当 时，如图所示，
∵ ，则 ，
∴ ；
②当 时，如图所示，∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，如图所示，过点 作 轴于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
；
④当 时，如图所示，过点 作 轴于点 ，则 ， ，当 时， ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
；
综上所示， 与 的函数关系式为 ；
（3）解：如图所示，过点 作 轴于点 ，由（2）可知， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，当 时，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，作 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
在 中，当 时，
，
解得， ；如图所示，当 时，同理构成 ， 得，
，
解得， （舍）， ；
综上所述，使得 以 为腰的等腰三角形的 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合，待定系数法求解析式，几何图形面积与函数的关系，勾股定理，
等腰三角形的判定和性质，图形运动规律等知识的综合，掌握图形结合，分类讨论，方程思想，构造图形
辅助计算等方法是解题的关键．
11．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点 和 是一次函数 的图象与反比例函数
的图象的两个交点，直线 交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点 ，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边
形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，
请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1) ；
(2)8(3)A． ， ，
B． , , ,
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出 ，利用反比例函数求点B的坐标为 ，
将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可；
（2）过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点F，先求出点C的坐标，再利用
即可求出 的面积；
（3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为 ， 当 是边时，利用平移可得 ，
或 ， ，求出s、t， 当 是对角线时，由中点公式得： ，
求即可；
B：由直线 求点 ，由点A、C的坐标求 ，设点Q的坐标为(0,m)，点M的坐标为 ，
当 为边时，则 或 ，即 或 ，求出s、m， 当 是对角
线时，则 且 的中点即为 的中点，则 ，解方程组即可．
【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
得 ，反比例函数的表达式为 ；
点 在反比例函数 的图象上，
，
解得： ，
点B的坐标为 ，
将点 和 的坐标分别代入 ，
得 ，
解得 ，
一次函数的表达式为 ．
（2）解：在 中，当 时 ，
点C的坐标为 ，
过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点F，如图所示：
的面积为8．
（3）解：能，理由：A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为 、 、 ，
设点D的坐标为 ,
当 是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得
到D（P），
则 ， 或 ， ，
解得 或 ；
当 是对角线时，
由中点公式得： ， ,
解得 ；
故点D的坐标为 或 或 ．
B：由直线 的表达式知，点 ，由点A、C的坐标知 ，设点Q的坐标为(0,m)，点M的坐标为 ，
当 为边时，
则 或 ，
即 或 ，
解得 或8（舍去）或4，
即 或4；
当 是对角线时，
则 且 的中点即为 的中点，
则 ，解得 ，
综上，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，
平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键．
12．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数 与一次函数 交于 ，B
两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当 面积最小时，在直线 上存在两点 ，
且 ，求四边形 周长的最小值？
(3)如图3，在（2）问条件下，连接 ，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接 交x轴于点H，在反比
例函数上是否存在一点P，使 ？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ，
(2)(3) 或 或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）当 面积最小时，经过点 平行于直线 的直线 与 有且只有一个公共点，
利用一元二次方程根与系数关系可得直线 的解析式为 ，进而可得 ，作点 关于直线
的对称点 ， 过点 作 轴交直线 于 ，连接 ，将点 沿直线
向左上平移 个单位得到点 ，连接 交直线 于点 , 将点 沿直线 向
右下平移 个单位得到点 ，则此时四边形 的周长最小，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）当点P在第四象限时，如图 ，过点 作 于点 ，延长 至 , 使 ，过点 作
轴于 ，可得 ，从而求得点 ，得出直线 的解析式为
，联立方程求得点L的横坐标，可得 ；当点 在第二象限时，如图 ，过点
作 于 ，延长 至 ，使 ，过点 作 轴于 ，同理可得
【详解】（1）把 代入 得 ，
，
把 代入 得 ，
解得： ，
；（2）由 ，得 ，
∴ ，
当 面积最小时，经过点 平行于直线 的直线 与 有且只有一个公共点，
设过点 平行于直线 的直线解析式为 ，
则 ，即 ，
，
∴ 或 (舍去)，
∵直线 的解析式为 ，
由 ，
解得: ，
∴ ，
作点 关于直线 的对称点 ，过点 作 轴交直线 于 , 连接 ，
则 ，由对称性可得 ，将点 沿直线 向左上平移 个单位得到点 ，连接
交直线 于点 ，将点 沿直线 向右下平移 个单位得到点 ，则此时四边形
的周长最小，如图 ，，则 为平行四边形，则 ，四边形 的周长
为最小，
∵将点E沿直线 向左上平移 个单位，相当于向左平移 个单位，向上平移 个单位, 即
，
，
，
∴四边形 的周长最小值 ；
（3）在反比例函数上是否存在一点 ，使 ，且 或 理由如下：
，
∴直线 的解析式为 直线 的解析式为 ，
，
，
当点P在第四象限时，当 时，始终有 ；当点 在第二象限时，如图 ，过点 作 于 ，延长 至 ，使 , 过点 作 轴于
，
则 ，
，
，即
，
，
同理可得： ，
，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： 或 (舍去)，
或 ；综上所述，在反比例函数上存在一点 ，使 则 或 或
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，轴对称一
最小值问题，相似三角形的判定和性质等，正确添加辅助线是解题关键．
13．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1， 的图像与y轴交于点B，与反比例函数
的图像交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段 上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连
接 ，当四边形 的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ，若点O的对应点 恰好
落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得 ，若存在，请
直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答；（2）设 ，则 ，根据四边形的面积构建方程求解即可；
（3）分两种情况：当点M位于 内部时，延长 交反比例函数于M；当点M位于 外部时，
分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可．
【详解】（1）解：把点 分别代入 和 中可得：
， ，解得：
∴ ， ．
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
∵四边形 的面积等于24，
∴ ,即 ，
整理得： ，解得：
检验： 是原方程的解，
∵ ，
∴ ，则 ．
∴ ．
（3）解：由平移可得： ,
∴直线 的解析式为: ，
联立得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）经检验 是方程组的解，
∴点
∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到 ，
由 (2)可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图1，当点M位于 内部时，作 于N，延长 交反比例函数于M，
∵ ，
∴ ,
∴ N为 的中点，
∴ ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得：
，解得： ，∴直线 的解析式为: ，
联立得： ，解得： （舍弃负值）
经检验 是方程组的解，
∴ ；
如图，当点M位于 外部时，作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ 关于 对称， ，
设直线 的解析式为: ,
将 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设 ，则 的中点在直线 上，
∴ 在直线 上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，整理得： ，解得: ，
∴ 或 ，
经检验，当 )时，直线 不垂直 ，故不符合题意，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为: ，
联立得： ，解得： （舍弃负值）
经检验 是方程组的解，
∴ ．
综上所述，M的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与
方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键．
14．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，已知双曲线 ，直线 ：，过定点 ，且与双曲线交于 、 两点，设A(x ,y )，B(x ,y ) ．
1 1 2 2
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，点 在双曲线上，点 在直线 ： 上，且 轴，求 的
最小值，并求出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 时， 最小值是
【分析】（1）根据题意求出直线 的解析式，联立方程组，求出双曲线与直线的交点横坐标，再求出直线
与 轴的交点 的坐标，结合三角形的面积公式即可求解；
（2）先联系方程组，结合双曲线与直线有两个交点，以及一元二次方程根与系数的关系可得
， ，根据两点间的距离公式可求出 ，结
合题意列出方程 ，解方程即可求出 的值；（3）先结合题意求出点 的坐标，连接 ，结合题意设设 ，则 ，分别求出
和 的值，得出 ，即可得出点 在 上时， 最小值是 ，待定系数法求出 所在
直线的解析式，联立方程求出点 的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，直线 的解析式为： ，
联立得， ，
化简得： ，
解得： ， ，
设直线 与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
即 ，
故 ．
（2）解：根据题意得： ，
整理得： ，
∵ ，根据题意可得 、 是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
结合 ，可得： ，
将 ， 代入得出 ，
化简可得 ，
即 ，
整理得， ，
即 ，
解得： 或 ．
（3）解：∵直线 ： ，过定点 ，
∴ ，
连接 ，如图：∵点 在双曲线上，点 在直线 ： 上，且 轴，
故设 ，则 ，
故 ，
，
即 ，
∴ ，
当点 在 上时，等号成立，
设 所在直线的解析式为 ，
将 ， 代入得出 ，
解得： ，
故 所在直线的解析式为 ，
联立联立得， ，
化简得： ，
解得： ， （舍去），当 时， ，
即点 的坐标为 ，
当 时， 最小值是 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点间的距离公式，三角形的面积、一元二次方
程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式等．解题
的关键是学会联立方程组求两个函数的交点坐标，根据两点之间线段最短解决最短线段和最小的问题．
