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专题 07 相似三角形解题模型（考题猜想，7 种热考模型）
题型一：A字模型（共8题）
1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊 ，文化长廊上伫立
着三座名人塑像 ， ， ，点 ， ， ， ， 在同一直线上，且 ．在明
德楼的楼顶有一照明灯 ，塑像 的影子为 ，塑像 的影子为 ．该校“探数学”兴趣小组的同
学测得文化长廊 米，塑像高 米，塑像 的影长 米．
（1）求明德楼的高 ；
（2）求塑像 的影长 ．2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个
方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离） 为 ，离小李 处
的小张拿一根高 的标杆直立地面，小张离教学楼 ，此时小李的眼睛、标杆
顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼 的高度．
3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为 的小尺测量这棵
树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端 ， ，然后
不断调整站立的位置，在点 处时恰好能看到该大树的顶端 和底部 ．（图中所有点均在同一平面，点
， ， 在同一条直线上． 经测量，小明的手臂长 ，点 到树底端的距离 ，求
大树 的高度．4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰 的高度，在 处和 处树立标杆 和 ，
标杆的高都是20米， ， 两处相隔200米，并且 ， 和 在同一平面内．从标杆 后退80米
的 处，可以看到顶峰 和标杆顶端 在一条直线上；从标杆 后退160米的 处，可以看到顶峰 和
标杆顶端 在一条直线上．求山峰的高度 及它和标杆 的水平距离 各是多少米？
5．（2023秋•大荔县期末）如图，矩形 中， ， ， 是边 上的点，以 为直径
的 恰好与 相切，切点为 ．
（1）求 的半径；
（2）延长 交 的延长线于点 ，求 的值．6．（2023秋•广安区校级期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意
义．如图所示，现将一高为2米的木杆 放在灯杆 前，测得其影长 为1米，再将木杆沿着 方
向移动1.8米至 的位置 ，此时测得其影长 为3米，求灯杆 的高度．
7．（2023秋•莱西市期末）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，以 为直径作 ，与 交于点 ，连接 ．设运动时
间为 ，解答下列问题：
（1） 取何值时， 平分 ；
（2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 与 相切？若存在，求出 的值；若不存在说明理由．8．（2023秋•市南区期末）如图1，在 中， ， ，点 以每秒1个单位长度的
速度，从点 出发沿 方向向终点 运动，同时，点 以每秒2个单位长度的速度，从点 出发沿
方向向终点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒，请解答下
列问题：
（1）当 为何值时， ；
（2）在点 、 的运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得 的面积等于6？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
（3）如图2， 是 的中点，连接 ，与 交于点 ，是否存在某一时刻 ，使得 ？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由．题型二：8字模型（共7题）
1．（2022秋•隆昌市校级期末）已知：如图，在 中，点 在边 上， ， 与 、
分别相交于点 、 ， ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，求证： ．
2．（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ， 平分 ，且
．
（1）求证： ；
（2） ．3．（2022秋•平谷区期末）如图，已知锐角 ，以 为直径画 ，交 边于点 ， 平分
与 交于点 ，过点 作 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 长．
4．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于 ， 是边 延
长线上的一点，联结 ，与边 交于 ，与对角线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．5．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形 中， 为 上一点， ， 交 于 ，
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
6．（2022秋•南开区校级期末）如图，在 中， 是 延长线上一点，连接 交 ， 于 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．7．（2022秋•双流区期末）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪
从观测出发点 观测深坑底部 ，且观测视线刚好经过深坑边缘点 ，在深坑右侧用观测仪 从测
出发点 观测深坑底部 ，且观测视线恰好经过深坑边缘点 ，点 ， ， ， 在同一水平线上．已
知 ， ，观测仪 高 ，观测仪 高 ， ， ，深坑宽度
，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
题型三：一线三等角模型（共7题）
1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，
．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．2．（2022秋•魏都区校级期末）如图， ， ， 为 上一点， ，连接 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 平分 ，求证： ．
3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边 ， ， 分别在边 、 上，将 沿 折叠，
点落在 边上的 处．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 ．4．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形 中， 为 上一点， ， 交 于 ，
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
5．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形 中， 为 边上一点，连结 ，过点
作 交 于点 ．易证： ．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，连结 ，过点 作 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为 的中点，求 的长．
【应用】如图③，在 中， ， ， ． 为 边上一点（点 不与点 、
重合），连结 ，过点 作 交 于点 ．当 为等腰三角形时， 的长为或 2 ．
6．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形 中， 是对角线，且 ． 是 边上一动
点，连接 ， ， 交 于点 ，其中 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ．
①如图2，若 ，求 的值；
②如图3，若 ，求 的面积．7．（2022秋•岚山区校级期末）【基础巩固】
（1）如图1，在 中， ，直线 过点 ，分别过 、 两点作 ， ，垂足分
别为 、 ．求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中， ， 是 上一点，过 作 的垂线交 于点 ．若 ，
， ，求 的长．
【拓展提高】
（3）如图 3，在平行四边形 中，在 上取点 ，使得 ，若 ， ，
，求平行四边形 的面积．题型四：手拉手旋转模型（共9题）
1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在 中，点 在边 上， ， ，
与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证： ．
2．（2022秋•大东区期末）如图， 为 内的一点， 为 外的一点，且 ，
．（1）求证： ；
（2）若 ， ，直接写出线段 的长度为 ．
3．（2022秋•松原期末）已知 是等腰三角形， ，将 绕点 逆时针旋转得到△ ，
点 、点 的对应点分别是点 、点 ．
感知：如图①，当 落在 边上时， 与 之间的数量关系是 （不需要证明）；
探究：如图②，当 不落在 边上时， 与 是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，
请说明理由；
应用：如图③，若 ， 、 交于点 ，则 度．4．（2023秋•陵城区期末）如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形， ，
的顶点 与 的斜边 的中点重合，将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段
相交于点 ，线段 与射线 相交于点 ．
（1）如图①，当点 在线段 上时，且 ，求证： ；
（2）如图②，当点 在线段 的延长线上时，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， 时，求点 、 两点间的距离．（用含 的代数式表示）5．（2022秋•驿城区校级期末）已知在 中， 于点 ．
（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．
（2）已知 ， ，将 绕着点 按顺时针方向进行旋转得到△ ，连接 ， ．
①如图2，判断 与 之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点 ， ， 在同一直线时，求 的长．6．（2022秋•沭阳县校级期末）在 中， ，在 中， ，请探索解答下
列问题．
【问题发现】
（1）如图1，若 ，点 ， 分别在 ， 上，则 与 的数量关系是
，直线 与 的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2，若 ，将 绕点 旋转至如图2所示的位置，则 与 之间是否
满足（1）中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（1）的条件下，若 ，将 绕点 旋转过程中，当 ， ， 三点共线．请直接写出
的长．7．（2022秋•梅里斯区期末）在 中， ，点 为 边上一动点， ，
，连接 ， ．
（1）问题发现：
如图①，若 ，则 ， 与 的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当 时，请写出 的度数及 与 的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点 为正方形 的边 上的三等分点，以 为边在 上方作正方形 ，点 为正
方形 的中心，若 ，请直接写出线段 的长度．8.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在同一
直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
(1)求证：△MFC∽△MCA；
BE
(2)求 的值；
CF
(3)若DM=2,CM=4，求正方形AEFG的边长．
9.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE
，BE与DC交于点P，已知PA=3，PB=4，PC=5．(1)求证：△ADC≌△ABE；
(2)求∠DPB的度数及BE的长；
(3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出
图象，求QR的长．
题型五：三角形内接矩形模型（共3题）
1.（2023春·山东东营·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M ，N
1 1
，P 分别在AC、BC、AB上，且四边形M CN P 是正方形，点M ，N ，P 分别在P N 、BN ，
1 1 1 1 2 2 2 1 1 1
BP 上，且四边形M N N P 是正方形，…，点M ，N ，P 分别在P N ，BN ，BP 上，且
1 2 1 2 2 n n n n−1 n−1 n−1 n−1
四边形M N N P 是正方形，则线段M P 的长度是 ．
n n−1 n n 2023 2023
2.（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6
，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．则MN的长为3.（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以
每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD
右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜
4）． △
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
题型六：双垂直模型（共2题）
1.（23-24九年级·广西南宁·期末）如图1，在正方形ABCD中，AB长为4❑√3，点E和点F分别是BC，CD
边上一点，且DF=CE，连接DE，AF，DE和AF相交于点H．
(1)求证：△ADF≌△DCE；
(2)如图2，过B作BM⊥AF，垂足为M．
①若∠DAF=30°，求MH的长；
DN
②如图3，连接BH并延长BH交CD于点N，若M为AH的中点，求 的值．
BE2.（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角
形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和
斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明
定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作
CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=❑√10，求OF的长．题型七：母子模型（共4题）
1．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图， 中，点 在边 上，且
，若 ， ，则 的长为 ．
2.（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在 ABC中，D为BC边上的一点，且AC=2❑√6，CD＝4，
BD＝2，求证： ACD∽△BCA． △
△
3.（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且
△
AB AD
= ，∠BAD＝∠ECA．
AC CE（1）求证：AC2＝BC•CD；
CE
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
AC
△
4.（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P
为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2❑√2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想
点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的
长．
