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专题 04 一次函数
（考题猜想，易错常考重难点 8 大题型 79 题）
题型一：一次函数图象平移问题（常考）
1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线 平移得到直线 ，则移动方法为（ ）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
2．（多结论）（22-23八年级下·重庆北碚·期末）对于函数 ， ， 为常数与函数， ， 为常数）．若 ， ，则称函数 与 互为“对称函数”，下列结
论：①若函数 与 互为“对称函数”，则 与 的图象关于 轴对称；②若点 ， ， 分别在
“对称函数” 与 的图象上，当 时，则 ；③若函数 与函数
互为“对称函数”，则 的值为1；④若函数 与 互为“对称函数”，将函数
向右平移 个单位得到函数 ，当 ，则 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）直线 平行于直线 ，且与 轴交于点 ，此函数
的关系式为 ．
4．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）将直线 向右平移3个单位长度后，所得直线经过点 ，
则m的值为 ．
5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，将 沿 轴向左平移2个单位得到 ，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 交于
点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线 与y轴交于点D．将直线 向上平移6个单位得到直
线 ，直线 与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线 ，若点M为垂线 上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当 的值最小时，此时点M的坐标为 ．
7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，等腰 在第一象限，且
轴，直线 从原点 出发沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 截得的线段长度 与直线在
轴上平移的距离 的函数图象如图 所示，那么 的面积为
8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点
，且与x轴交于点A．
(1)求 的函数表达式；
(2)将 向下平移 个单位长度得到直线 ，若平移后的直线 经过点A关于y轴的对称点，求n的值．9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数 的图象性质．
【素材内容】
素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数
的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 ；
素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一
应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象．
【问题解决】任务1：对于函数 ，当 时化简函数的表达式：
当 时， ；当 时， ；
任务2：在平面直角坐标系中，画出函数 的图象；
任务3：函数 的图象可由 的图象向 平移 个单位得到；
函数 的图象可由 的图象向 平移 个单位得到；
任务4：结合以上任务，你发现函数 有哪些性质？（写出一条即可）
10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线 与 轴、 轴交于点 、 ，点 在 轴负半轴上，
且 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)直线 与直线 、 分别交于点 、 ，若 ，求 的值；
(3)将 中直线 向上平移后经过点 ，与 轴交于点 ， 为线段 上一点（含端点），连接 ，
一动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿线段 运动到 ，再以每秒 个单位的速度沿线段运动到 后停止．当点 的坐标是多少时，点 在整个运动过程中用时最少？
题型二：一次函数的规律探究问题（难点）
11．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为
直线 ， ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， 过点 作 轴的垂线交 于点 ， 过点 作
轴的垂线交 于点 ，过点 作y轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级上·河南周口·期末）正方形 ， ， ，…按如图所示的方式放置，
点 ， ， ，…和点 ， ， ，…分别在直线 和 轴上，则点 的纵坐标是（ ）A． B． C． D．
13．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 图象上，
过 点作 轴平行线，交直线 于点 ，以线段 为边在右侧作正方形 ， 所在的直线
交 的图象于点 ，交 的图象于点 ，再以线段 为边在右侧作正方形 依此类推．
按照图中反映的规律，则点 的坐标是 ；第 个正方形的边长是 ．
14．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…和点 ， ， ，
…分别在直线 和x轴上，直线 与x轴交于点M， ， ， …都是等
腰直角三角形，如果点 ，那么点 的纵坐标是 ．
15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点 ，点 ， ，…在直线l上，点 ， ， ，…在x轴的正半轴上，若 ， ，
，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形 顶点
的横坐标为 ．
16．（23-24八年级下·山东聊城·期末）正方形 、 、 、⋯，按如图所示的方式放
置．点 、 、 、⋯，和点 、 、 ，⋯，分别在直线 和 轴上，已知点 ，
，则点 的坐标是 ．
17．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
按如图方式作正方形 ，正方形 ，正方形 点在直线 ， ， ，…在直线
上，点 ， ， ，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 ， ， ，
…则 的值为 ．18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示， ， ，…， 都是边长为2的
等边三角形，边 在x轴上，点 ， ， ，…， 都在直线 上，则点 的坐标是 ．
19．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 且与x轴正方向
夹角为30°，如图所示依次作正方形 、正方形 、正方形 、…、正方形 ，
使得点 、 、 …在直线l上，点 、 、 …在y轴正半轴上，则 的长度是 ．
20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图．在平面直角坐标系中，点 ，…和 ，…分别在直线 和x轴上， ，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点 且
截距为 ．
（1）直线 的表达式为 ；
（2） 的纵坐标是 ．
题型三：求直线围成的图形面积（易错）
21．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线 ，直线 ，
若 ， 与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
22．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线 是一次函数 的图象，直线 是一次函数
的图象．(1)求 的面积；
(2)根据图象直接写出 时x 的取值范围．
23．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过 与点
．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点 为此一次函数图象上一点，且 的面积为12，求点 的坐标．
24．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象经过
两点．(1)求b的值；
(2)若 是y轴上的点，连接 ，求 的面积；
(3)若 ，且直线 与线段 有一个交点，求m的取值范围．
25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，与
直线 交于点 ，直线 与x轴交于点A．
(1)求直线 的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．26．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 分别交 轴、 轴
于点 ，直线 分别交 轴、 轴于点 ．
备用图
(1)求线段 的中点坐标；
(2)若点 是直线 上的一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点 在第一象限内，以 为顶点作 ，射线 交 轴于 ．求点 的
坐标．
27．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
．直线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的值及点 的坐标．
(2)求 的面积．
(3)连接 ，在 轴上有一点 ，使得 的面积等于 面积的 ．直接写出此时点 的坐标．28．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 ，
两点，过点 作 交 于点 ，交 轴于点 ，且 ．
(1) 的坐标为_________，线段 的长为_________．
(2)求直线 的解析式和点 的坐标．
(3)如图（2），点 是线段 上一动点（不与点 ， 重合）， 交 于点 ，连结 ．
①在点 移动过程中，线段 与 数量关系是否不变，并证明；
②连结 ，当 面积最大时，求 的长度和 的面积．29．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与直线 交于点
，直线 与x轴，y轴分别交于点B，点C， 的面积为 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)如图2，过点 作直线分别交直线 ， 于点E，点F，设点E在第三象限．
①连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求点E的坐标；
②当 的面积最小时，求点E的坐标．
30．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 交于点
，且分别交x轴于A、C两点．(1)求a，b的值及点A，C的坐标；
(2)在直线 上找一点D，使得 是 的面积的2倍，求出点D的坐标；
(3)y轴上有一动点P，直线 上有一动点M，点N在平面上，若四边形 是正方形，求出点N的坐
标．
题型四：分配方案问题(一次函数的实际应用)（难点）
31．（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个
场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需
230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题：
(1)求A场馆和B场馆的门票价格；
(2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免
参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个
场馆参观；
①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小
值；
②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，
最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案．32．（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二
课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两
种优惠促销活动．
活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
活动乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球 筒．
(1)写出每种优惠办法实际付款金额 （元）， （元）与x（筒）之间的函数关系式．
(2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛
球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案．
33．（23-24八年级下·江西宜春·期末）某学校是乒乓球体育传统项目学校．为进一步推动该项目的开展，
学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须购买10个乒乓球，乒乓球
的单价为2元/个，若购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副
横拍球拍多花费800元．
(1)求两种球拍每副各多少元？
(2)若学校购买球拍共30副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，
并求该方案所需费用．
34．（23-24八年级下·云南昆明·期末）鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达
500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上
荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，
火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同．(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？
(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼
数量的 ，应怎样购买，费用最少为多少元？
35．（23-24八年级下·山东聊城·期末）为落实“五育并举”教育，强化体育锻炼，大力发展青少年体育运
动，我县涌现出来一批体育特色学校．某学校计划购买篮球和足球共 个，已知每个篮球的价格是 元，
每个足球的价格是 元．设购买篮球 个，购买两种求所需费用为 元．
(1)求 与 的函数表达式，其中 ；
(2)若购买篮球的数量不超过足球数量的2倍．请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
36．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有
A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数
一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该年级共有600名学生．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？
37．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋 千克，超市决定从甲、乙两大型
养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出 千克，乙养殖场每天最多可调出 千克，从甲、乙
两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元 千克 千米）
甲养殖场
乙养殖场
设从甲养殖场调运鸡蛋 千克，总运费为 元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出 与 的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
38．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化 行动计划”，搭建数字化校
园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买 台电子白板和 台平板电脑共需 万元；购买3台电
子白板和4 台平板电脑共需 万元．(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共 台，其中电子白板不超过 台，某商家给出了
两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买 台电子白板，送 台平板电脑．若购
买电子白板 台和平板电脑所需的费用为 （万元），请根据两种优惠方案分别写出 关于 的函数表达
式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
39．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）某公司在 两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙
两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从 地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和
400元．从 地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从 地运往甲地 台挖掘机，运这批
挖掘机的总费用为 元．
(1)请填写下表，并写出 与 之间的函数关系式；
运往地
甲 乙 总计
运出地
A 台 ______台 16台
B ______台 ______台 12台
总计 15台 13台 28台
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？
40．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每
天 元，双人间为每人每天 元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠
大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个 人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双
人间客房．
(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)设三人间共住了 人，一天一共花去住宿费 元，请写出 与 的函数关系式；(3)一天 元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿
费用最低，并求出最低的费用．
题型五：最大利润问题(一次函数的实际应用)（难点）
41．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对
窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总
进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多
少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
42．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划从厂家购进 、 两款衣服共100件，这两款衣服的进
价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价
90 75
（元/件）
售价
120 100
（元/件）
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最
大利润；
(3)为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为2000元，求 、 的
值．
43．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满
成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、
航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划
购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞
船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、
乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有
40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大
利润是多少？
44．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有
A和B两种配件，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进A配件50件和B配件25件．
种类 A种配件 B种配件
进价（元/件） a 80售价（元/件） 300 100
(1)求a的值；
(2)若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，购进A
种配件x件，请写出y与x之间的函数关系式（利润 售价 进价）；
(3)在（2）的条件下，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种的2倍．如何进货才能使本次销售获
得的总利润最大？最大利润是多少元？
45．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同
时购进 ， 两类图书，已知购进3本 类图书和4本 类图书共需192元；购进6本 类图书和2本 类
图书共需240元．
(1) ， 两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用 元来购进这两类图书，设购进 类 本， 类 本．
①求 关于 的关系式．
②进货时， 类图书的购进数量不少于500本，已知 类图书每本的售价为38元， 类图书每本的售价为
30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
46．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨
梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题．
内容
材料一 某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货
总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经
过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低
材料二
于200斤，且不高于500斤．
杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅
材料三
按同样的价格销售，并适当让利给消费者．
任务一 （1）已知 ， ，求图中直线 的函数表达式．
（2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，
设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润 销售额 成本）．求出w
任务二
（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公
司设计出获得最大利润的收购方案．
（3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的 让利给购买者，那么按
任务三
同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数）
47．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品
平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品 篇，制作并上传这70篇
作品共获利 元．
(1)求 与 之间的关系式．
(2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的 ，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大
利润是多少？
(3)由于网络管理需要，有 的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是 元．若总获利 随
的增大而减小，请求出 的取值范围．48．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和
橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其
中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是
多少？
49．（22-23八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大
了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进
乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
乒乓球拍（元/套） 45
羽毛球拍（元/套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，
售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（ ），羽毛球拍的进
价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？50．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300
盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设
该超市采购x盆A种盆栽．
品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽 12 19
B种盆栽 10 15
(1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
(3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了 元，同时B种盆栽
批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
题型六：行程问题(一次函数的实际应用)（难点）
51．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，
小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，
用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一
个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中
错误的是（ ）A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发 分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
52．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模
型分别从距水平线起点 和距水平线起点 处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所
在位置的高度 与飞机上升时间 的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差 时，上升的时
间为
53．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为
．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船
随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离 与行驶时间 的关
系如图所示．(1)水流的速度为__________ ；
(2)求点A的坐标，并解释它的实际意义；
(3)若游船在出发 后到达B港，则A港与B港之间的距离为__________m．
54．（24-25八年级上·山东青岛·期末）周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练．二人在起点
会合后，甲出发 时，乙出发，结果乙比甲提前 到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如
图①，设甲离开起点后的时间为 ，甲离开起点的路程 与 之间的函数关系式为 ，
图象为线段 ；乙离开起点的路程 与 之间的函数关系用线段 表示，请根据图象中的信
息解决下列问题：
(1)图中 的值为______， 的值为______；
(2)求线段 对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出点 的坐标，并解释点 的坐标表示的实际意义；
(4)设甲离开起点后的时间为 ，甲乙两人之间的距离为 ，请在图②坐标系中画出 与
的函数图象．
55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）周末，李叔叔开车从青岛出发去350千米远的济南游玩，张大伯在
同一时间从济南去往青岛．李叔叔行驶2小时到达潍坊时，他停车休整了半小时，离开时恰好遇见了张大
伯．两人继续行驶，李叔叔到达济南用时5小时，李叔叔、张大伯与青岛的距离 、 （千米）与时间
（时）之间的关系如图所示．(1)求李叔叔遇到张大伯后， 与 之间的函数关系式；
(2)张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有多远？
56．（24-25八年级上·四川成都·期末）某无人机表演团队进行无人机表演训练．甲无人机以a米/秒的速度
从地面起飞，乙无人机从距离地面20米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到
达指定的高度停止上升，并开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升．当甲、乙无人机按照训练
计划同时到达距离地面120米时，进行了时长为b秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面，
甲、乙两架无人机所在位置的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合
图象解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，b的值为______；
(2)求图中线段 所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们之间的高度差为10米？（请直接写出答案）57．（24-25八年级上·山东济南·期末）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游
玩，设乙行驶的时间为 ，甲、乙两人距出发点的路程 、 关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两
人之间的路程差 关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是______ ，乙的速度是______ ；
(2)分别求出 、 与x的函数关系式；
(3)对比图1，图2可知： ______， ______， ______；
(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距 ？（直接写出x的值）58．（24-25八年级上·山西运城·期末）学科实践
问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛.甲、乙二人在相邻两条直跑道上比赛（注：跑
道长50米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到起点.
数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀速）.图中的折线
是甲离起点的距离 （米）与比赛时间 （秒）的函数图象；线段 是乙去程中离起点的距离
（米）与比赛时间 （秒）的函数图象.已知线段 对应的函数表达式为 .
问题解决：
(1)求点 的坐标及线段 对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(2)乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2秒，结果仍比甲提前3秒回到起点.请在坐标系中画出表示乙转身及返程途中，离起点的距离 （米）与比赛时间 （秒）之间的函数图象，并标明表示乙返程图象的两
个端点的坐标；
(3)请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛时间 的值.
59．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达
到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计
两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量 与时间 （分钟）的关系数据记录如表 ：
电池充电状态
时间 （分钟）
增加的电量
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量 与行驶里 （千米）的关系，数据
记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程 （千米）
显示电量【建立模型】
（1）观察表 、表 发现都是一次函数模型请结合表 、表 的数据，求出 关于 的函数表达式及 关于
的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点 千米处的目的地，若电动汽车行驶 千
米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量
为 ，则电动汽车在服务区充电多长时间？
60．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图①，在长方形 中， ，
，点 从点 出发，沿 路线运动，到点 停止；点 出发时的
速度为每秒 秒时点 的速度变为每秒 ，图②是点 出发 秒后， 的面积 与
（秒）的函数图象．
(1)根据题目中提供的信息，请直接写出 的值；
(2)设点 运动的路程为 ，请写出点 出发后， 与 的函数表达式；
(3)当点 出发几秒后，以点 为顶点的三角形是等腰三角形．题型七：梯度计价问题(一次函数的实际应用)（重点）
61．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包
时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收
费用 （元 与上宽带网时间 （时 的函数关系如图所示，且超时费都为 元 时，则这两种方式所收的
费用最多相差 元．
62．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种
玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一
次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下：
购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 …
付款金额/元 10 50 58 130 …
任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直
接写出；
任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量
关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为 千克，付款金额为 元，请你为小李建立 与 的函
数关系式；
任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量合在一
起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？63．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、
小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元
与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为 ；B种电动车支付
费用是 之内，起步价6元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为
，小唐家到公司的距离为 ，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）；
(2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同
为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差．
64．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的
出行市场，现有 ， 两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间的对
应关系，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应 ，请根据相关信息，解答下列问题：(1)分别求 、 关于 的函数表达式；
(2)如果小明爸爸每天早上骑行 品牌或 品牌的共享电动车去公司上班，已知两种品牌共享电动车的平均
行驶速度均为 ，小明家到公司的距离为 ，那么小明爸爸选择哪个品牌共享电动车更省钱?
65．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携 克的月球背面土壤
样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装
饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒
挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170
元可以买2盒挂件和3盒印章．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格；
(2)如果购买挂件 盒，则购买印章_______盒（用含有 的式子表示）恰好能够配套分发；
(3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费 元，
求 关于 的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？
66．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）今年君君家科学养虾喜获丰收，上市22天全部售完．君君对销售
情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函
数关系如图①所示．大虾价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图②所示．
(1)观察图①，直接写出日销售量的最大值 ；(2)根据图①，求君君家上市12天之前大虾的日销售量y与上市时间x的函数关系式；
(3)根据图②，当 时，根据大虾价格z与上市时间x的关系，试计算第8天与第12天的销售金额各
是多少？
67．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示， 表示行驶里程，
（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
(1)该地出租车的起步价是______元；
(2)当 时，求 关于 的函数关系式；
(3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．
68．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出
租车自驾游．
公
租车收费方式
司
甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元．
乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元．
(1)设租车时间为x小时 ，租用甲公司的车所需费用为 元，租用乙公司的车所需费用为 元，
分别求出 与x间的关系式；(2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算．
题型八：一次函数与几何综合（难点）
69．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在x轴上，
当 最大时，点M的坐标为 ．
70．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数
的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为 ．若动点P在 的内部（不包括边
上），则a的取值范围为 ．
71．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交x轴和y
轴于A，B两点，点A关于y轴的对称点为C，作直线 ．(1)求点C的坐标及直线 的函数表达式；
(2)在线段 上取一点D，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，且点E刚好落在y轴上．
ⅰ）求点D的坐标；
ⅱ）试探究直线 与直线 的位置关系．
72．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ，点，点 的解．
(1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接 ，设点P的运动时间为t秒，
△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
(3)在（2）的条件下，当 时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q， ，当点P
停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿 向终点C运动（当点M运动至点C
时停止运动），连接 、 ，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．73．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点．
(1) 点坐标为__________， 点坐标为__________；
(2)如图1，若点 的坐标为 ，且 于点 ， 交 于点 ，求点 的坐标；
(3)如图2，若点 为 的中点，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点
，当点 在 轴正半轴上运动的过程中，式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式
子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．74．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线. .的点的横
坐标和纵坐标都扩大到原来的 倍，得到新的直线 ，则称直线 为直线 的“k倍伴随线”．
【定义辨析】
（1）若点 在 上，则下列四个点① 、② 、③ 、④ ，在 的 “k 倍伴随
线” 上的点有 （填序号）；
（2）下列函数图像是直线 的“2倍伴随线”的是（ ）；
A． B． C． D．
【定义延伸】
（3）若直线 的“k倍伴随线”记为 ．现给出两个关系式：① ；②
．其中正确的是 （填序号）；
【定义应用】
（4）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点
C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值．75．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）情景探究
【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平
面直角坐标系中，已知点 为 轴上的一个动点，点 在什么位置时， 的值最小？
最小值为多少？
【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时
的值最小；然后展示了两种求解方案：
方案一：连接 ，利用 列方程求出点 的坐标．
方案二：求出直线 对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点 的坐标．
（1）点 的坐标为_____， 的最小值为_____．
（2）选择一种你喜欢的方案求出点 的坐标．
【推广应用】
（3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，直线
经过点 ，且与 轴平行，分别在 轴和直线m上找点 ，使得 轴，且 的值最小，
求出点 的坐标．76．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，坐标系 中，直线 与 轴正半轴交于点 ，与
轴正半轴交于点 ，且 ， ．
【基本问题】
（1）求直线 的解析式；
【问题探究】
（2）点 是线段 上一点，连接 ，当 的面积为 时，求 的值；
【问题拓展】
（3）在（2）的条件下，过点 作直线 轴，在直线 上有一点 ，直线 交 轴正半轴于点 ，
在射线 上有一点 ，使 ，请直接写出点 坐标．77．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，与
直线 交于点 ，B为直线 上一点．
(1)求a，m的值；
(2)当线段 最短时，求 的长和点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 的值最小，若存在，并求此时点M的坐标，若不存在，请说明
理由．78．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【模型呈现】
（1）如图1， 中， ，直线 经过点C，过点A作 于点D，过点B作
于点E，求证： ；
【模型应用】
（2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为 ，则点A的坐标是 ；
（3）如图3，直线l： 分别交x轴、y轴于点A、B．
①将直线l绕点A逆时针旋转 得到直线m，求直线m的函数表达式；
②如图4，点C的坐标为 ，点D为直线l上一动点，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得
到线段 ，请直接写出线段 长度的最小值．79．（24-25八年级上·广西百色·期末）综合与实践
【积累经验】
（1）如图1， 于点A， 于点 ，点 在线段 上，连接 ， ， ，且
．求证： ， ．只需证明 __________ __________即可；
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形， ， ，已知点A的坐
标为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点 在第一、三象限的角平分线 上，点 在 轴上，
为等腰直角三角形．
①如图3，当 时，求点 的坐标；②直接写出其他符合条件的点 的坐标．
