文档内容
专题 01 一元二次方程的实际应用与几何应用
（考题猜想，7 种热考题型）
题型一：一元二次方程的实际应用——面积问题（共4题）
1．（边框设计问题）（2023秋•兴宾区期末）在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸
边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，要求纸边的宽度
不得少于 ，同时不得超过 ．（1）求出 关于 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）此时金色纸边的宽应为多少 时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
2．（甬路问题与平移）（2024春•栖霞市期末）某校园内有一块长为 ，宽为 的矩形场地，计划在
这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．
（1）如图①，测得草坪的面积是 ，求道路的宽度；
（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽
的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使
种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？3．（围栏靠墙问题——注意自变量的取值范围）（2023春•安庆期末）某农场要建一个饲养场（长方形
，两面靠墙 位置的墙最大可用长度为 ， 位置的墙最大可用长度为 ，另两边用栅
栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的 、 、 三处各留 、
、 宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长 ．
（1）若饲养场（长方形 的一边 长为 ，则另一边 ．
（2）若饲养场（长方形 的面积为 ，求边 的长．
（3）饲养场的面积能达到 吗？若能达到，求出边 的长；若不能达到，请说明理由．
4．（折叠纸盒问题）（2024春•上城区期末）综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了
一些长为 ，宽为 的
长方形硬纸板，准备利用每张
纸板制作两个大小完全相等的
无盖长方体纸盒（接头处忽略
不计）．
素材
配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求 的最大值，过
程如下：当 时， 有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右
两块，每一块都在四个直角处
裁掉四个边长为 的正方
形，再沿虚线折起来，其中一
个纸盒的底面是正方形
．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角
处裁掉四个边长为 的正
方形，再在中间裁掉一块正方
形 ，分别沿着虚线折起
来，其中一个纸盒的底面是矩
形 ．
任务1
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含 的代数
式表示），并判断底面积能否达到 ．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面 边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
题型二：一元二次方程的实际应用——循环、传染、分叉问题（共6题）
5．（双循环比赛问题）（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两
场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
6．（单循环比赛问题）（2023春•马尾区校级期末）某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每
两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有 支球队参加比赛，则所列方程正确的是A． B． C． D．
7．（互送贺卡问题）（2023秋•娄底期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56
张，设这个小组有 人，则
A． B． C． D．
8．（握手问题）（2023秋•宣化区期末）“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10
次，则参加聚会的人数是 人．
9．（树枝分叉问题）（2024春•利津县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样
数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 个．
10．（传染问题）（2023秋•太和县期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患
了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
题型三：一元二次方程的实际应用——增长率、下降率问题（共2题）
11．（下降率问题）（2023秋•江夏区校级期末）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，
“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知 ， ， 三人分配奖
金的衰分比为 ，若 分得奖金1000元，则 ， 所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位
技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲
分得奖金100万元，则“衰分比”是 ．
12．（增长率问题）（2022秋•和平区校级期末）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，
一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产
能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？题型四：一元二次方程的实际应用——利润与商品销售问题（共4题）
13．（2023秋•龙岗区校级期末）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，
每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，
如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价 元．
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 的代数式表示）；
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
14．（2024春•金东区期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每
月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，
那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为 ，若前三个月的总销量为285件，求该
季度的总利润．
15．（2023秋•沈丘县期末）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价
部门限定每件商品加价不能超过进货价的 ．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每
件售价 元，则可卖出 件．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？
16．（2023秋•巧家县期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为每件60元
时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价不低于成本
价．设每件商品的售价为 元时，每天的销售量为 件．
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润 （元 最大？最大利润是多少元？
题型五：一元二次方程的几何应用—黄金分割点与图形分割（新热点）（共3
题）
17．（2022春•合肥期末）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则
A． B． C． D．
18．（2022秋•江都区期末）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优
选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作 将矩形窗框 分为上
下两部分，其中 为边 的黄金分割点，即 ．已知 为4米，则线段 的长为
米（结果保留根号）．19．（2023秋•江阳区期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，
等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为 ，那么它的下
部应设计为多高？
题型六：一元二次方程的几何应用——动点形成的线段和面积（共8题）
20．（2023秋•沈北新区期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿
以 的速度向点 移动，一直到达点 为止；同时，点 从点 出发沿边 以 的速度向点
移动．设运动时间为 ，当 时，
A． B． 或4 C． 或 D．4
21．（2023秋•铁西区期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始
沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．如果点 ，
分别从点 ， 同时出发，那么出发后 秒时，线段 的长度等于 ．22．（2023秋•吉州区期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．若 ， 两点
同时出发，当点 运动到点 时， ， 两点同时停止运动．求：
（1）几秒后， 的面积等于 ？
（2）几秒后， 的长度等于 ？
（3） 的面积能否等于 ？说明理由．
23．（2023秋•龙华区校级期末）在 中， ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，设 、 分别
从 、 同时出发，运动时间为 秒．
（1）当 为何值时， 的面积等于 ．
（2）请问 、 两点在运动过程中，是否存在 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说
明理由．24．（2022秋•新会区期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿 边
向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．如果 、 分别
从 、 同时出发，问出发多少秒钟时 的面积等于 ？
25．（2023春•邗江区校级期末）如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发沿
向点 移动（不与点 、 重合），一直到达点 为止；同时，点 从点 出发沿 向点 移动（不与
点 、 重合）．
（1）若点 、 均以 的速度移动，经过多长时间四边形 为菱形？（2）若点 为 的速度移动，点 以 的速度移动，经过多长时间△ 为直角三角形？
26．（2024春•南昌期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿边
向终点 以 的速度移动．与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．
点 、 分别从点 ， 同时出发，当点 移动到点 时，两点停止移动．设移动时间为 ．
（1）填空： ， ；（用含 的代数式表示）
（2）是否存在 的值，使得 的面积为 ？若存在请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
27．（2023秋•衡南县期末）如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分
别从 、 同时出发，设移动时间为 ．
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 为多少时， 的面积是 ？
（3）当 为多少时， 与 是相似三角形？
题型七：一元二次方程的几何应用——综合题（共12题）
28．（2024春•东平县期末）已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则 的形状为
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
29．（2023秋•梁溪区期末）如图，点 是三边均不等的 三条角平分线的交点，过 作 ，分别交 、 于 、 两点，设 ， ， ，关于 的方程
A．一定有两个相等实数根
B．一定有两个不相等实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．没有实数根
30．（2024春•工业园区期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是直角三角
形时，求 的值．
31．（2023春•建邺区校级期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 的两边 、 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角
形时，求 的值．
32．（2023秋•黄山期末）已知关于 的一元二次方程 ．（1）求证：无论 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当 时，该方程的两个根分别是菱形 的两条对角线的长，求菱形 的面积．
33．（2023秋•九江期末）已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为
三边．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如果 ， ， ，求这个一元二次方程的根．
34．（2024•广西模拟）如图，点 为线段 上一点， ，以 为斜边作等腰 ，若线段
、 长为关于 的一元二次方程 的两个根．
（1）试判定此一元二次方程的根的情况；（2）求证： ；
（3）若 与 的面积比 ， ，则 （直接写出答案）．
35．（2022秋•定远县期末）如图，在平面直角坐标系中， 的边 ，若 ， 的长是关于
的一元二次方程 的两个根，且 ．
（1）求 ， 的长．
（2）若 轴上的有一个点 满足 ，求证： ．
36．（2022秋•驻马店期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，直
线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ， 与 相交于点 ，线段 、 的长是一元二次方程的两根 ， ， ．
（1）求点 、点 的坐标；
（2）求直线 的解析式；
（3）在 轴上是否存在点 ，使点 、点 、点 为顶点的三角形与△ 相似？若存在，请求出点
的坐标；如不存在，请说明理由．
37．（2022秋•天河区期末）已知关于 的方程 有两个相等的实数根．
（1）若 ，求 的值；
（2）在 中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，且该方程的解是点 的横坐标．
①过点 作 轴，交边 于点 ，求证： 的长为定值；
②求 面积的最小值．
38．（2021秋•舒兰市期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是一元二次方程 的两个根，其中 ， ，边 交 轴于点 ，动点
以每秒1个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设
与矩形 重叠部分的面积为 ．请解答下列问题：
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
39．（2024春•钢城区期末）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ， 是和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当 ， 时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图，若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是
，求 的面积．
