文档内容
2024 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高一数学试卷
命题学校：黄石二中 命题教师：李朝盛王小平
审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋
考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 中国古代四大发明 B. 所有无理数
C. 2024年高考数学难题 D. 小于 的正整数
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.
【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集
合；
对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合;
对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合；
对于D，小于 的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合.
故选：C
.
2 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合 ，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意， ，而 ，所以 .
故选：D
3. 已知函数 是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数 （ ）
A. 2 B. C. 4 D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得.
【详解】因函数 是幂函数，则 ，即 ，解得
或 ，
当 时，函数 在(0,+∞)上递增，则 ，
当 时，函数 在(0,+∞)上递减，不符合要求，
实数 .
故选：B
4. 已知 是定义在 上的减函数，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 的定义域以及单调性可得 ， 满足的条件，由此即可解得 的范围．
【详解】由题意，函数 是定义在 上的减函数，因为
得 ，解得 ， 所以x的取值范围是 .
故选：A.5. 若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用乘“1”法即可求出最值.
【详解】根据题意可得
当且仅当 即 时，等号成立，此时最小值为3.
故选：B.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的
特征.下面的图象对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由 时， 排除A，即可得答案.
【详解】由图象可知，函数的定义域为 ，因为 的定义域为 ，所以排除C，
因为 的定义域为 ，所以排除D，
因为当 时， ，所以排除A，
故选：B
7. 已知函数 ，若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，求出不等式 的解，再代入判断列式求解.
【详解】函数 ，设 ， 不等式 为 ，
即 ，解得 ，依题意， 无解，
即不等式 无解，因此 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：C
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数 称为高斯函数，
其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ， ，则方程 的
所有大于零的解之和为（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】 ， ，使 ，可得 ， ，分类讨论k为
奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.
【详解】 ， ，使 ，则 ，
于是 ， ，
若k为奇数，则 ， ，
，则 ，解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ， ，解得 ，
当 时， ， ， ， ，解得 ；
若k 为偶数，则 ，则 ，
，则 ，解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ， ，解得 ，
当 时， ， ， ， ，解得 ，
所以所有大于零的解之和为 .
故选：D【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有下列四种说法，正确的说法有（ ）
A. 奇函数图象不一定过坐标原点
B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C. 若 ，则“ ”的充要条件是“ ”
D. 定义在 上 函的数 对任意两个不等实数a，b，总有 成立，则 在
上是增函数
【答案】AD
【解析】
【分析】对A举反例即可；对B，利用全称命题的否定为特称命题即可判断；对C，举反例 即可；对
D，根据单调性的定义即可判断.
【详解】对于A，奇函数的图象不一定过坐标原点，如 是奇函数，它的图象不过原点，
所以A正确；
对于B，命题“ ， ”的否定是“ ”，B错误；
对于C，若 ，则由 不能推出 故“ ”不是 的充要条件，故C错误；
对于D，根据题意知， 时， ， 时， ，
由单调性的定义知，y=f (x)在R上是增函数，D正确.
故选：AD.
10. 已知关于x的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）A. B. 的解集为
C. D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，可得 ，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得.
【 详 解 】 由 不 等 式 的 解 集 为 或 ， 得 且 是 方 程
的两个根，
则 ，即 ，
对于A， ，A错误；
对于B，不等式 为 ，而 ，解得 ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，不等式 为 ，即 ，解得 D正确.
故选：BCD
11. 已知函数 的定义域为 ，对任意实数x，y满足： ，且 .当
时， .则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D. 为 上的增函数
【答案】ABC
【解析】【分析】对A直接赋值 即可；对B，赋值 即可；对C，利用奇偶性定义判断即可；
对D，根据单调性的判断方法判断即可.
【详解】对于A，由题可知 故 ，故A正确；
对于B，由题可知 ，故B正确；
对于C， ，
故 为奇函数，故C正确；
对于D，当 时， ，
∵x >x ,∴x −x >0,∴f (x −x )−1<0
1 2 1 2 1 2
∴f (x)是R上的减函数，故D错误.
故选：ABC.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量 的取值范围，再求交集即可.
【详解】因为 所以 解得 且 ，
所以函数的定义域为( .
故答案为： .
13. 已知集合 ， ，若 ，则 _________.
【答案】
【解析】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.
【详解】依题意可知 ，由于 可知 ，
此时 ，
所以 ，解得 或 (舍去)
即 .
故答案为：
14. 设函数 关于x的方程 有三个不等实根 ，且 ，则
的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合得到 ， ，求出答案.
【详解】画出函数 的图象，观察图形知，仅当 时，方程 有三个不等实根，
分别对应直线 与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设 ，显然 关于 对称，则 ，
另一个交点位于直线 上，在 中，当 时， ，即 ，因此 ，所以 .
故答案为：
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤.
15. 设全集 ，已知集合 ， .
（1）若 ，求实数m的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合 ，然后结合集合的交集运算即可求解；
（2）由题意得 ，然后结合集合的包含关系即可求解．
【小问1详解】
由 ，解得 ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 或 ，
得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ；
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”的充分条件，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底
，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成 ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出
所用篱笆长度的最小值.
【答案】等腰三角形腰长为 ，所用篱笆长度的最小值为 .
【解析】
【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解.
【详解】设 ， 上底 ，
分别过点 ， 作下底的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， ，则下底 ，
该等腰梯形的面积 ，
所以 ， 则
所用篱笆长为
当且仅当 即 ， 时取等号.
所以，当等腰梯形的腰长为 时，所用篱笆长度最小，其最小值为 .17. 函数 的定义域为 ，且满足对于任意 ，有
，当 时， .
（1）证明： 是偶函数；
（2）如果 ，解不等式 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ， 从而得到 ，即可证明；
（2）通过赋值代换得 ，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
因对定义域内的任意 ，有 ，
令 ，则有 ，
又令 ，得 ，再令 ，得 ，
从而 ，于是有 ，
所以 是偶函数.
【小问2详解】
由于 ，所以 ，
于是不等式 可化为 ，
由（1）可知函数 是偶函数，则不等式可化为 ，设 ，则 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，
所以可得 ，
解得 ，所以不等式 的解集为 .
18. 已知函数 为 上的奇函数，且 .
（1）求实数 的值；
（2）试判断函数 在区间 的单调性，并说明理由；
（3）求函数 （其中 ）的值域.
【答案】（1） ， ；
（2）函数 在区间 单调递增，理由见解析；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果；
（2）利用单调性定义按照步骤即可证明 在区间(1,+∞)单调递增；
（3）由换元法得出函数 的表达式，再由（2）中的结论得出其在 上的单调性，利用二次
函数性质分类讨论即可得出结果.【小问1详解】
根据题意可得 ，即 ，可得 ；
再由 可得 ，解得 ；
当 ， 可得 ，
经检验此时 满足 ，为奇函数，
所以 ，
【小问2详解】
取任意 ，且 ，
则
;
由 ， 可得 ， ；
所以 ，即可得 ，
即函数 在区间(1,+∞)的单调递增；
【小问3详解】
由 ，
由(2)得当 时， ，
所以 ，即 ，所以函数 在[0,1]上单调递减；
因此函数 在[0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又函数 为上的奇函数，所以函数 的减区间为 ，递增区间为 ,
当 时， ,
令 ，有
①当 时，即 ， ,
此时函数 的值域为 ;
②当 时，即 时，
可得
此时函数 的值域为
③当 时，即 时，
，
此时函数 的值域为
④当 时， 即 ，
，此时函数 的值域为 ，
综上所述， 时，其值域为 ;
当 时，值域为
当 时，值域为 ；
当 时，值域为
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数 的表达式，再证明得出函数的单调性，利
用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数 的值域.
19. 已知n为正整数，集合 ，对于 中任意两个元素
和 ，定义： ；
（1）当 时，设 ， ，写出 ，并计算 ；
（2）若集合 满足 ，且 ， ，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集
合S，并证明你的结论；
（3）若 ，且 ，任取 ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）最大值是4，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；
（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．
【小问1详解】
当 时，设 ， ，
则 ，所以 ；
【小问2详解】
最大值是4．理由如下：
此时 或 ．
若还有第5个元素，则必有 和 和 和 之一出
现，
其对应的 ，不符合题意．
【小问3详解】
设 ， ， ，
所以 ， ， ，2，3， ，
从而 ，
又 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，
所以 ．
