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湖北省部分省级示范高中 2024～2025 学年下学期高一期中测试
数学参考答案
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. A【解答】解：由题意，角 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 ，
α
所以 ，解得 ，所以 ．
故选：A．
2．C【解答】解：因为 tan ＝2，则 ．
故选：C． α
3．B【解答】解：在△ABC 中， ， ，B＝60°，
由正弦定理得 ，而 a＜b，则 A＜B＝60°，
因此 A＝45°，所以 C＝ ＝75°．
故选：B．
4．A【解答】解：由题意可得： ， ， ， ，
∴ ，
故选：A．
5．C【解答】解： 4．
故选：C．
6．C【解答】解：A 项，y＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期为 ，A 项错误；
B 项，y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，最小正周期为 ，B 项错误；π
π
C 项， ，最小正周期为 2 ，C 项正确；
π
D 项， ，最小正周期为 ，D 项错误．
故选：C． π
7． D【解答】解：由图可知，A＝2，且 f（0）＝2sin ＝﹣1，可得 sin ，
又| | ，∴ ，故 A 错误； φ φ
φ φ
由五点作图法可知， ，解得 ＝2，
ω
第 1页（共 8页）则 f（x）的最小正周期为 ，故 B 错误；
函数解析式为 f（x）＝2sin（2x ），
当 x 时，2x （2 ，3 ），2 < ，f（x）在区间 上不是单调递减的，故 C 错误；
∈ ∈
由 f（x）＝0，可得 2x k ，k Z，即 x ，k Z，
π ∈ ∈
再由 ，解得 k ，由 ，解得 k ，
∴ k ，则 f（x）在区间[﹣2025 ，2025 ]上共有 8100 个零点，故 D 正确．
故选：D． π π
8． B
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ：
，
即 f（x）＝sin x 是 上的“完整函数”，所以存在 ，使得 成立；
ω
即存在 ，使得 f（x ）+f（x ）＝2 成立；
1 2
又因为 f（x） ＝1，因此 f（x ）＝f（x ）＝1，‘
max 1 2
即 f（x）＝sin x 在 上至少存在两个最大值点，
ω
所以 ，解得 ≥2；
ω
当 ，即 ≥4 时，一定满足题意；
ω
若 2≤ ＜4，因为 ， ＞0，所以 ，
ω ω
又易知 ；
所以只需保证 即可，解得 3≤ ＜4，
综上可知 ≥3．故选：B． ω
本题采用特ω例法验证亦可.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9．ABD【解答】解：已知 ， ，
第 2页（共 8页）对于 A，由题意可得 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，
所以 ，故 C 错误；
对于 D， 在 方向上的投影向量是 ，故 D 正确．
故选：ABD．
另外，在平面直角坐标系中作出向量 ， ，从形的角度可直观得到结果.
10．AD
【解答】解：因为函数 ，
令 ，解得 ，
可得 f（x）的对称轴方程为 ，
当 k＝0 时， ，
可得 是 f（x）的一条对称轴，故 A 正确；
令 ，可得 ，
可得 f（x）的对称中心是 ，故 B 错误；
由 ，可得 ，
所以 ，故 C 错误；
将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
所以 ，所以 g（x）是奇函数，
所以 g（﹣2025）+g（2025）＝0，故 D 正确．
故选：AD．
11．ACD【解答】解：对于 A：a＝1，且 bcosA﹣cosB＝1，即 bcosA﹣acosB＝a，
由正弦定理得：sinBcosA﹣sinAcosB＝sinA，即 sin（B﹣A）＝sinA，
∴B﹣A＝A 或 B﹣A+A＝ （舍去），∴B＝2A，故 A 正确；
π 第 3页（共 8页）对于 B：由正弦定理 ，则 ，
∵△ABC 为锐角三角形，则 ，即 ，
∴ ，所以 ，故 B 不正确；
对于 C：∵b＝2cosA 且 ，∴ ，∴ ，
由正弦定理 ，求得 ，
即△ABC 的外接圆半径为 ，故 C 正确；
对于 D：
，
且 tan ＝ ，∵ ，即 ，
φ λ
要使得 有最大值，即 有最大值，
此时，当 sin（2A+ ）有最大值时，
φ
即 时， 有最大值为 ，
此时 ， ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围为 ，故 D 正确．
故λ选：ACD．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案】
【解答】因为 为纯虚数，则 ，解得 .
故答案为： .
第 4页（共 8页）13.【答案】 2
【解答】解：∵ a2+c2﹣b2＝4，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2＝2ac•cosB，
∴ ∴ 2．
14．【答案】答案 [﹣16，0]．
【解答】解：如图：
（ ）•（ ） R2，
判断 的取值范围即判断 R2 的取值范围即可，
由图可知| |的最大值为 R 时， 取最大值 0；
当 M 为 AC 中点时，| |最小，此时 R2﹣16， 取最小值﹣16，
故答案为：[﹣16，0]．
四、解答题:本大題共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15． 【解答】解：（1）复数 z ＝1﹣3i，z ＝a+i，a R，
1 2
∴z 1 z 2 ＝（a+3）+（1﹣3a）i ， ∈
∵z z 是“理想复数”，∴（a+3）+（1﹣3a）＝0，
1 2
∴a＝2． ………………….……..5 分
（2）由（1）知 z ＝1﹣3i，z ＝2+i，则 ，…….….7 分
1 2
∵ ，
∴由 ，
得 ．…13 分
16. 【答案】（1） （2）
【解答】（1）因为 ， ，则 ，
所以 …..6 分
第 5页（共 8页）（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
. ……………15 分
17.【答案】(1) (2)
【解答】（1）向量 与向量 共线，有 ，
由正弦定理得 ，
∴ ，
由 ， ，∴ ， ，又 ，∴ .………..7 分
（2）由（1）知 ，∴ ， ，
，得 ，
由余弦定理： ，
∴ ，解得 . ……………15 分
18. 【答案】（1） （2）
【解答】（1） ，
，
因为 相邻的对称轴之间的距离为 ，所以 的最小正周期为 ，
所以 ，得 ，所以 ， …………5 分
令 ，则 ，
所以 的单调递减区间为 …………………..7 分
第 6页（共 8页）（2）由（1）知 ，将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函
数 ，
再向左平移 个单位得 ，………..11 分
令 ，则 ，所以 ，
因为 在 上只有一个解，
由 的图象可得， 或 ，
所以 的取值范围是 …………………..17 分
19. 【答案】（1） （2）
【解答】（1）解： 在 中， ， ，则 ，
，
所以， ，
因为 ，则 ，
当 时，即当 时， 的面积取最大值，且最大值为 . ………..5 分
（2）解：过点 作 ，垂足为点 ，
因为 ， ， ，则四边形 为矩形，
所以， ， ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，则
第 7页（共 8页），
所以， ，
， ，
所以， ， …………………..10 分
令 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ， ，
所以， ，
所以， ，
故当 时， 取最大值 ，
因此，从点 出发，经过线段 、 、 、 ，到达点 ，求途径线段长度的最大值为 .
…………………..17 分
第 8页（共 8页）
