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专题 02 全等三角形辅助线与模型（考题猜想，7 种热考模
型）
题型一：中点模型之倍长中线模型（共4题）
1．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在 中， ， 为 的中点，连结 ，作
交 于点 ．若 ， ，则 ．
2．（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在
中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长 至点 ，使 ，连接 ，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2， 是 的中线， 交 于 ，交 于 ，且 ．若
， ，求线段 的长．
（3）【拓展提升】如图3，在 中， 为 的中点， 分别交 ， 于点 ， ．求证：
．
3．（2022秋•梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点 是 的中点，点 在 上，且 ．
求证： ．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明
的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证 ，
必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ；
②如图2，分别过点 、 作 ， ，垂足分别为点 ， ．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．4．（2022秋•桐柏县校级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在 中， ， ，则 边上的中线 长度的取值范围是
．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形 中， ，点 是 的中点，若 是 的平分线，
试猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知 ，点 是 的中点，点 在线段 上， ，若
， ，直接写出线段 的长．题型二：平行线+线段中点构造全等模型（共6题）
1．（2024 春•平房区期末）如图，已知 ，点 是 的中点，点 在线段 上，
，若 ， ，则线段 的长为 ．
2．（2023秋•东莞市校级期末） 中， 是 边上的一点，过 作直线交 于 ，交 的延长
线于 ，且 ， ，
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
3．（2023春•浦东新区校级期末）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，连接 并延
长交 的延长线于点 ，点 在边 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，试说明 与 垂直的理由．4．（2024秋•丰台区校级月考）如图， ， ， 三点共线， ， ， 三点共线， ，
于点 ， ．
（1）求证： 是 的中点；
（2）求证： ．
5．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，等腰 中， ， ， 点为射线 上
一动点，连接 ，作 且 ．
（1）如图1，过 点作 交 于 点，求证： ；
（2）如图2，连接 交 于 点，若 ，求证： 点为 中点；
（3）如图3，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若 （其中 为正
数），则 ．（用含 的代数式表示）6．（2024春•锦州期末）【问题提出】
期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图 1，在 中， 是 延长线的点， 是 边
上一点，且满足 ， ，那么 是 的中点，请你说明理由．
【思路探究】
小王同学从条件出发分析解题思路：以 为腰构造等腰 和平行八字型全等三角形，如图2，以点
为圆心，以 长为半径画弧，交 的延长线于点 ，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形
全等“ ”（或“ ” 的判定方法即可得 ，小张同学从结论出发分析解题思路：以 为
腰构造等腰 ，将说明 的问题转化为说明 的问题，如图3，以点 为圆心，以
长为半径画弧，交 于点 ，于是可得 ，再应用三角形全等“ ”（或“ ” 的
判定方法即可得 ．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】
（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如
图4，在四边形 中， ， ，过点 作线段 ，且 ，连接
，交 的延长于点 ，猜想 与 的数量关系并说明理由．
题型三：角平分线+垂直构造全等模型（共10题）1．（2023秋•睢阳区期末）如图， 的面积为 ， 平分 ， 于 ，连接 ，则
的面积为
A． B． C． D．
2．（2024 春•泰山区期末）如图， ， 分别是 ， 上的点，过点 作 于点 ，作
于 点 ， 若 ， ， 则 下 面 三 个 结 论 ： ① ； ② ； ③
，正确的是
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
3．（2023秋•巴中期末）如图， 为 的外角平分线上一点并且 垂直平分 交 于点 ，过
作 于 ， 交 的延长线于 ，则下列结论：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ，其中正确的结论是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋•苍梧县期末）如图， 的面积为 ， 平分 ，且 于 ，则 的
面积为 ．
5．（2023秋•金山区期末）如图， 和 的平分线交于点 ，过 作 交 的延长线于
点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，求证： ．
6．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 上的点，且
、 交于点 ．若 、 为 的角平分线．
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．7．（2023秋•潢川县期末）如图，在 中， ， ， ， 平分 ，
交边 于点 ，点 是边 的中点．点 为边 上的一个动点．
（1） ， 度；
（2）当四边形 为轴对称图形时，求 的长；
（3）若 是等腰三角形，求 的度数；
（4）若点 在线段 上，连接 、 ，直接写出 的值最小时 的长度．
8．（2023秋•奉化区期末）如图，在 中， ， 平分 ，点 是 的中点，过点
作 交 延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， ，求 的长（用 、 的代数式表示）．9．（2022秋•长沙期末）如图， 为 的角平分线．
（1）如图1，若 于点 ，交 于点 ， ， ．则 ．
（2）如图2，若 ，点 在 上，且 ， ， ，求 的长；（用含 、
的式子表示）
（3）如图3， ，点 在 的延长线上，连接 ，若 的面积是7，求 的面积．
10．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在等腰直角 中， ，点 为 边上的中点．
（1）如图 1，若点 、点 分别为线段 、 上的点，且 ，连接 、 ，求证：
；
（2）如图2，若点 为线段 上的点，点 为线段 延长线上的点，且 ， ，连接
，交 于点 ， 是 的角平分线，交 于点 ，连接 、 ，探究线段 、 、
之间的数量关系，并给出证明．题型四：三垂直（K字）、一线三等角模型（共6题）
1．（2023秋•永定区期末）在△ 中， ， ，过点 作直线 ， 于点
， 于点 ．
（1）若 在△ 外（如图 ，求证： ；
（2）若 与线段 相交（如图 ，且 ， ，则 ．
2．（2023秋•梅里斯区期末）在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于
， 于 ．
（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，
求证：① ；
② ；
（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，
说明理由．3．（2024春•康平县期末）（1）猜想：如图1，已知：在 中， ， ，直线 经
过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 、 ．试猜想 、 、 有怎样的数量关系，
请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图 2，将（1）中的条件改为：在 中，
， ， 、 三点都在直线 上，并且有 （其中 为任意锐角或钝
角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：如图3， 是角平分线上的一点，且 和 均为等边三角形， 、 分别是直线
上 点左右两侧的动点， 、 、 互不重合，在运动过程中线段 的长度始终为 ，连接 、
，若 ，试判断 的形状，并说明理由．
4．（2023秋•武威期末）在直线 上依次取互不重合的三个点 ， ， ，在直线 上方有 ，
且满足 ．
（1）如图1，当 时，猜想线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请
说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当 时，点 为 平分线上的一点，且 ，分别连接 ，
， ， ，试判断 的形状，并说明理由．5．（2023秋•台江区期末）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为 ，于是有三组边相互垂直．
所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ 中， ， ，过点 作直线 ，
于 ， 于 ，求证：△ △ ；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ 中， ， ，过点 作直线 ，
于 ， 于 ， ， ，求 的长；
（3）拓展延伸：如图 3，在平面直角坐标系中， ， ，△ 为等腰直角三角形，
， ，求 点坐标．
6．（2023秋•金乡县期末）如图所示，在 中， ，点 是线段 延长线上一点，且
．点 是线段 上一点，连接 ，以 为斜边作等腰 ．连接 ，且 ．
（1）若 ， ，则 ；
（2）过 点作 ，垂足为 ．
①填空： △ ；
②求证： ；
（3）如图2，若点 是线段 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段 ， ， 之间的数量关
系，并简要说明理由．题型五：手拉手模型（共9题）
1．（2023秋•河东区期末）如图，已知： ， ， ， ，现
有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中不正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个
2．（2023 秋•华亭市校级期末）（ 1）如图（1）， 和 均为等腰三角形，且
，点 、 、 在同一直线上，连接 ．则 的度数为 度，线段 与
的数量关系为 （用几何语言填写）．
（2）如图（2）， 和 均为等边三角形，点 、 、 在同一直线上，连接 ．若
，求 与 的位置关系．3．（2023秋•道外区期末） 中， ，分别以 、 为边作等边 、等边 ，
、 交于点 ，连接 并延长交 于点 ．
（1）如图1，求证：点 是 的中点；
（2）如图2，连接 ，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三
角形（非等边三角形）．
4．（2023秋•斗门区期末）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题．
例如：若 ， ，求 的值．
解： ， ，
， ．
．
．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若 ， ，则 ；（2）已知 ，分别以 、 为直角边向 两侧作等腰直角 和等腰直角 ，其中
．
①如图1，若 ， 的面积为12， 和 的面积之和为26，求线段 的长；
②如图2，若 与 在同一直线上，连接 ，延长 与 交于点 ，连接 并延长 与边
交于点 ，且 ，若 和 的面积之和为20， 的面积为6，求线段 的长．
5．（2023秋•霸州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知 、 且 、 满足 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）如图2，若 是 的中点， ， 在线段 的延长线上， ，连接 ，试探
究 和 的关系．6．（2023秋•红桥区期末）在 和 中， ， ， ，连接 ， ．
【发现问题】如图①，若 ，延长 交 于点 ，则 与 的数量关系是
， 的度数为 ．
【类比探究】如图②，若 ，延长 ， 相交于点 ，请猜想 与 的数量关系及
的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若 ，且点 ， ， 在同一条直线上，过点 作 ，垂足为点
，请猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
7．（2023秋•渝中区期末）已知， 中， ， ，点 为 边上一动点，以
为边在 的右侧作等边 ．
（1）如图1，若 ， 平分 ，求 的长；
（2）如图2，点 是 的中点， 的延长线交 于点 ，求证： ；
（3）若 为直线 上一动点，在（2）的条件下，连接 ，当 为等腰三角形时，直接写出
的度数．8．（2023秋•丹江口市期末）如图①，平面直角坐标系 中，已知 ， ，且 ， 满足
．
（1）填空： ， ， ；
（2）如图②， 是 轴正半轴上的一个动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 至 ，问点
是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由；
（3）如图③，当点 与点 关于 轴对称时，在直线 上的一点 满足 ，请判断线段 与
的数量关系，并说明理由．9．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，在平面直角坐标系中， ， 为 轴上两点，且 ， 满
足： ，点 ， ， 为线段 上一动点．
（1）则 ， ；
（2）如图1，若点 在 的垂直平分线上，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，求证：
轴；
（3）如图2，作点 关于 的对称点 ，连接 ，取 中点 ．连接 ， ，判断 与
的数量关系，并说明理由．题型六：夹半角与截长补短（共8题）
方法:邻边相等的四边形中一个角夹它的半角，往往通过截长补短证明一次旋转型全等，再证明一次对称型
全等
1．（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形 中，点 、 分别在边 、 上， ．
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 的面积．
2．（2021春•溧水区期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程
中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．
【问题提出】如图①，在正方形 中， ，点 、 分别在边 、 上．求证： ．
证明思路如下：
第一步：如图②，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，再证明 、 、 三点在一条直线
上．
第二步：证明 ．
请你按照证明思路写出完整的证明过程．
【初步思考】
如图③，四边形 和 为正方形，连接 、 ，得到 和 ．
下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③ ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【深入研究】
如图④，分别以 的四条边为边向外作正方形，连接 ， ， ， ．若 的面积为
8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 ．3．（2023秋•湖北期末）【初步思考】
（1）如图1．在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
．求证： ．
小阳发现此题是证明线段的和（差 问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：
请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路．
第一步：延长 至点 ，使 ，连接 ，易证 ，得出① ，
．
第二步： ， ，得出 ，所以②
．
第三步：易证 ，得出③ ，于是 ④ ，即
【问题解决】
（2）如图2，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 ， 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，四边形 是边长为7的正方形， ，求 的周长．4．（2021秋•黄陵县期末）【问题提出】
（1）如图①，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
．求证： ；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 延长线上
的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们
之间的数量关系，并说明理由．5．（2024春•福田区校级期末）在等边 的两边 、 所在直线上分别有两点 、 ， 为
外一点，且 ， ， ．探究：当 、 分别在直线 、 上移
动时， 、 、 之间的数量关系及 的周长 与等边 的周长 的关系．
（1）如图1，当点 、 在边 、 上，且 时， 、 、 之间的数量关系是
；此时 ；
（2）如图2，点 、 在边 、 上，且当 时，猜想 问的两个结论还成立吗？若成立请
直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当 、 分别在边 、 的延长线上时，探索 、 、 之间的数量关系如何？
并给出证明．6．（2020 秋•德清县期末）（1）【问题背景】如图 1，在四边形 中， ，
， ， ， 分别是 ， 上的点， ，求证： ．
小亮同学认为延长 到点 ，使 ，连结 ，先证明 ，再证明 ，
即可得证，并写出了以下的思维框图：
请问：小亮同学②处用到的判定依据是 ．
．
．
．
．
（2）【探索延伸】如图2，在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， 上
的点， ，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【结论运用】在平面直角坐标系中，正方形 如图3放置， 是坐标原点，点 、点 分别在
轴和 轴上， ， 分别是 ， 上的点， ，若点 的坐标为 ， ，试求出
点 的坐标（可直接运用背景结论）．7．（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别
是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：
；
（2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且
．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系： ．8．（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形 中， ， ， 、 分别是
边 、 上的点，且 ，线段 、 、 之间的关系是
；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
（3）如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 延长线上的点，
且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量
关系，并证明．题型七：婆罗摩笈多结构（共5题）
1．（2022春•漳州期末）如图， ， ， ， 于点 ， 的
延长线交 于点 ，现给出下列结论：
① ；
②连接 ， ，则 ；
③ ；④ ．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
2．（2023 春•邛崃市期末）如图， ， 均为等腰直角三角形， ，
，若四边形 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的数量关系为
．
3．（2020秋•芝罘区期末）如图，以 的两边 和 为腰在 外部作等腰 和等腰
， ， ， ．
（1）连接 、 交于点 ，如图①，求证： ， ；
（2）连接 ， 于点 ，直线 交 于点 ，如图②，求证： ．
4．（2022 春•开江县期末） 和 是两个等腰直角三角形， ， ，
．
（1）如图（1），判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图（1），若 ， ．则四边形 面积的最大值是 ；（3）如图（2），过点 作 于点 ，延长 交 于点 ．试说明点 为 的中点．
5．（2024秋•蔡甸区校级月考）在△ 中， 、 是角平分线，交于 点．
（1）如图1， 是高， ， ，直接写出 和 的度数．
（2）如图2，若 ， ，求 的度数．
（3）如图3，若 ， ， ， ，直接写出 ．
