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第 7 节 直线与椭圆、双曲线
考点一 直线与椭圆、双曲线的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这
时直线l与椭圆C没有公共点.
感悟提升 1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋
By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一
个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ
＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C
为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的
对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交
点.
训练1 (1)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m>0C.00且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，
∴m≥1且m≠5.
(2)直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是________.
答案 1
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
因为直线y＝x＋3与双曲线－＝1的一条渐近线平行，
在y轴上的截距为3，所以直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是1.
考点二 中点弦及弦长问题
角度1 中点弦问题
例2 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则
此弦所在的直线方程为________________.
答案 x＋2y－3＝0
解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x ，y )，
1 1
B(x ，y ).
2 2
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x ＋x ＝，
1 2
又∵x ＋x ＝2，∴＝2，
1 2
解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交
于A，B两点，
设A(x ，y )，B(x ，y )，则＋＝1，①
1 1 2 2
＋＝1，②
①－②得＋
＝0，
∵x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∴＋y －y ＝0，
1 2
又x －x ≠0，∴k＝＝－.
2 1
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
角度2 弦长问题
例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的
离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.
当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.
解 (1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存
在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则直线CD的方程为y＝－(x－1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x
1
＋x ＝，x ·x ＝，
2 1 2
所以|AB|＝|x －x |
1 2
＝·
＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
感悟提升 1.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表
示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.
若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
2.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x ，y )，B(x ，
1 1 2
y )两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
2
①|AB|＝|x －x |
1 2
＝；
②|AB|＝|y －y |(k≠0)
1 2
＝.
训练 2 (1)以 A(2，1)为中点的双曲线 C：2x2－y2＝2 的弦所在直线的方程为
________.
答案 4x－y－7＝0
解析 设A(2，1)是弦P P 的中点，
1 2
且P (x ，y )，P (x ，y )，
1 1 1 2 2 2
则x ＋x ＝4，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∵P ，P 在双曲线上，∴
1 2
∴2(x ＋x )(x －x )－(y ＋y )(y －y )＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴2×4(x －x )＝2(y －y )，
1 2 1 2
∴k＝＝4.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整
理得4x－y－7＝0.
联立得14x2－56x＋51＝0，
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.
(2)(2022·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直
线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
①求椭圆C的方程；
②当△AMN的面积为时，求k的值.解 ①由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
②由消y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，显然Δ>0.
设点M，N的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
所以|MN|＝
＝.
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
考点三 直线与椭圆、双曲线的综合问题
例4 已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，
直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且PQ＝QB.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径
的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，
得a＝2，B(2，0).
设Q(x ，y )，则由PQ＝QB，
0 0
得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，
解得k2>.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以OM·ON>0，即x x ＋y y >0，
1 2 1 2
又由x x ＋y y ＝x x ＋(kx －2)(kx －2)
1 2 1 2 1 2 1 2＝(1＋k2)x x －2k(x ＋x )＋4
1 2 1 2
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得b>0)，则c＝1.因为过F 且垂直于x轴的直线
2
与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，
所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
3.(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心
1 2
率为.P是C上一点，且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4，则a＝( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A
解析 法一 设|PF |＝m，|PF |＝n，P为双曲线右支上一点，则S ＝mn＝4，m
1 2 △PF1F2
－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1.
法二 由题意得，S ＝＝4，
△PF1F2
得b2＝4，又＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
4.已知F ，F 是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF 与x轴垂直，
1 2 1
sin∠MF F ＝，则E的离心率为( )
2 1
A. B. C. D.2
答案 A
解析 离心率e＝，
由正弦定理得e＝
＝＝＝.
5.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A.3 B. C.2 D.答案 D
解析 设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－＝0的距离为
d＝
＝，
所以d ＝＝.
max
6.(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )
A.C的方程为－y2＝1
B.C的离心率为
C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D.直线x－y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 ∵双曲线C的渐近线为y＝±x，
∴设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线C过点(3，)，得λ＝1，故A正确；
此时C的离心率e＝，故B错误；
曲线y＝ex－2－1经过C的焦点(2，0)，故C正确；
联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D错误.
7.(2021·全国乙卷)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.
答案
解析 由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为
(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝.
8.(2022·南昌模拟)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线
相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，
则双曲线C的方程为________.
答案 －＝1
解析 由题意知c＝4，不妨取A(a，b)，所以(a－4)2＋b2＝16，又a2＋b2＝16，
∴a＝2，b2＝12，
所以双曲线的方程为－＝1.
9.(2021·全国甲卷)已知F ，F 为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标
1 2
原点对称的两点，且|PQ|＝|F F |，则四边形PF QF 的面积为________.
1 2 1 2
答案 8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F F |可以得到四边形PF QF 为对角线相等的
1 2 1 2
平行四边形，所以四边形PF QF 为矩形.
1 2设|PF |＝m，则|PF |＝2a－|PF |＝8－m，
1 2 1
则|PF |2＋|PF |2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F F |2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得
1 2 1 2
m(8－m)＝8，
所以四边形PF QF 的面积为
1 2
|PF |·|PF |＝m(8－m)＝8.
1 2
10.(2022·天津模拟)已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过右
焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程.
解 (1)由已知，椭圆方程可设为
＋＝1(a＞b＞0).
∵长轴长为2，离心率e＝，
∴b＝c＝1，a＝.
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l过椭圆右焦点F(1，0)，且斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1.
设P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2
由得3y2＋2y－1＝0，
解得y ＝－1，y ＝.
1 2
∴S ＝|OF|·|y －y |
△POQ 1 2
＝|y －y |＝.
1 2
(3)当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，此时∠POQ小于90°，以OP，
OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1).
由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
∵y ＝k(x －1)，y ＝k(x －1)，
1 1 2 2
∴y y ＝.
1 2
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形⇔OP·OQ＝0，
由OP·OQ＝x x ＋y y ＝＋＝0，得k2＝2，
1 2 1 2
∴k＝±.∴所求直线的方程为
y＝±(x－1).11.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当
四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.
解 (1)由已知可得，＝，c＝2，
所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率k ＝＝－m.
TF
当m≠0时，直线PQ的斜率k ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
PQ
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
设P(x ，y )，Q(x ，y )，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋
1 1 2 2
3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y ＋y ＝，y y ＝，
1 2 1 2
x ＋x ＝m(y ＋y )－4＝.
1 2 1 2
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OP＝QT，即(x ，y )＝(－3－x ，m－y ).
1 1 2 2
所以解得m＝±1.
此时，四边形OPTQ的面积
S ＝2S ＝2×·|OF|·|y －y |
OPTQ △OPQ 1 2
＝2＝2.
12.(多选)(2022·青岛质检)已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F ，F ，直
1 2
线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交
点为P，则下列结论正确的是( )
A.四边形AF BF 为平行四边形
1 2
B.∠F PF ＜90°
1 2
C.直线BE的斜率为k
D.S ∈(0，4]
四边形AF1BF2
答案 ABC
解析 对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF |＝|OF |，|OA|＝|OB|，故四边形
1 2
AF BF 为平行四边形.故A正确；
1 2
对于B，根据椭圆的性质，当P在上下顶点时，|OP|＝b＝＝c.此时∠F PF ＝90°.由
1 2
题意可知P不可能在上下顶点，故∠F PF ＜90°，故B正确；
1 2对于C，如图，不妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为＝＝k，故C正确；
对于 D，S ＝2S ＝|F F |·|BD|＝2|BD|.又 0＜|BD|＜，故 S 四边形
四边形AF1BF2 △BF1F2 1 2
AF BF ∈(0，4).故D错误.
1 2
13.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F 、F ，点P在双曲线的右
1 2
支上，且|PF |＝4|PF |，则此双曲线的离心率e的最大值为________.
1 2
答案
解析 由双曲线的定义，知|PF |－|PF |＝2a.
1 2
又|PF |＝4|PF |，∴|PF |＝a，|PF |＝a.
1 2 1 2
在△PF F 中，由余弦定理，
1 2
得cos∠F PF ＝＝－e2.
1 2
求e的最大值，即求cos∠F PF 的最小值，
1 2
故当∠F PF ＝π，即－e2＝－1时，e取得最大值，此时e2＝，∴e＝.
1 2
14.(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F (－，0)，F (，0)，点M
1 2
满足|MF |－|MF |＝2.记M的轨迹为C.
1 2
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|
TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解 (1)因为|MF |－|MF |＝2<|F F |＝2，
1 2 1 2
所以点M的轨迹C是以F ，F 分别为左、右焦点的双曲线的右支.
1 2
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－
a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为
x2－＝1(x≥1).
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，设直线AB的方程为y
－t＝k (k ≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k (k ≠0)，
1 1 2 2
由得(16－k)x2－2k x－－16＝0.
1
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
由题意知16－k≠0，
则x x ＝，
A B
x ＋x ＝，
A B
所以|TA|＝
＝，
|TB|＝
＝，
则|TA|·|TB|
＝(1＋k)
＝(1＋k)＝
(1＋k)
＝.
同理得|TP|·|TQ|＝.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以＝，
所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，
即k＝k，
又k ≠k ，所以k ＝－k ，即k ＋k ＝0.
1 2 1 2 1 2
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
