文档内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
抽样比、样本总量、各层总 分步乘法计数原理及简单应用
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
数、总体容量的计算 实际问题中的组合计数问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解随机事件的定义
2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件
3.理解频率与概率的意义
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算
一起考查，需强化概念理解
知识讲解
1．事件的分类
必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
确定事件
不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.事件的关系与运算
定义 符号表示
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称 B ⊇ A (或
包含关系
事件A包含于事件B) A⊆B)
相等关系 若B⊇A且A⊇B A ＝ B
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A A∪B(或A＋
并事件(和事件)
与事件B的并事件(或和事件) B)
若某事件发生当且仅当 事件 A 发生 且 事件 B 发生 ，则称此事件为事件
交事件(积事件) A∩B(或AB)
A与事件B的交事件(或积事件)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅
A∩B＝∅；
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互 P(A∪B)＝
对立事件
为对立事件 P(A)＋P(B)
＝1
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有
一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
3. 频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n 为事件
A
A出现的频数，称事件A出现的比例f(A)＝为事件A出现的频率．
n
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f(A)稳定在某个常数上，把这个
n
常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
考点一、 事件的判断
1．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生
【答案】B
【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解．
【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，
故选：B．
2．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在 结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据事件的知识求得正确答案.
【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.
故选：B
1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果 ，那么 ；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若 为实数，则 ；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
【答案】 （1）、（4）、（11） （2）、（6）、（9）、（10） （3）、（5）、（7）、
（8）、（12）
【分析】由必然事件，不可能事件以及随机事件的概念逐一判断即可.
【详解】（1）抛掷一块石子，下落，是必然事件；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰不可能融化，是不可能事件；
（3）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；
（4）如果 ，那么 必然成立，是必然事件；
（5）掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和最大为12，所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件；
（8）某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；（9）绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；
（10）焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；
（11）若 为实数，则 必然成立，是必然事件；
（12）某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；
故答案为：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、
（12）
考点二、 事件的关系和运算
1．（2024·重庆·模拟预测）对于两个事件 ，则事件 表示的含义是（ ）
A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生
C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生
【答案】C
【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案.
【详解】由 表示的是 与 中至少一个发生.
故选：C.
2．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件
2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数
小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为： ,事件2可表示为： ,
事件3可表示为： ,事件4可表示为： ,
因为 ，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为 为不可能事件， 为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为 ，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为 为不可能事件， 不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.3．（21-22高一下·河南安阳·期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产
品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一
件是次品”则下列结论正确的是（ ）
A．B与D相互独立 B．B与C相互对立
C． D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.
【详解】 为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，
为三件全是次品，
为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，
为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.
由此可知 与 是互斥事件， 与 是包含，不是互斥， 与 对立
故选: B.
4．（21-22高一下·全国·开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出
3件产品，设事件 “3件产品都是次品”，事件 “至少有1件是次品”，事件 “至少有1件是正品”，
则下列结论正确的是（ ）
A． 与 为对立事件 B． 与 不是互斥事件
C． D．
【答案】ABC
【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.
【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正
品，3件产品都是正品.
事件 的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件 的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
与 为对立事件，故A正确；
{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则 与 不是互斥事件，故B正确；
， ，故C正确；
由上知 ，故D错误.
故选：ABC
5．（2024·河北沧州·一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：
科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件 ：只参加科技游艺活动；事件 ：至少参加两种科
普活动；事件 ：只参加一种科普活动；事件 ：一种科普活动都不参加；事件 ：至多参加一种科普活
动，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 是互斥事件 B． 与 是对立事件C． D．
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.
【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件 ：只参加科技游艺活动，
与事件 ：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件 和事件 满足两个特点，故B正确；
对C： 表示：至多参加一种科普活动，即为事件 ，故C正确；
对D： 表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从
盒子里随机取2个球．记事件 ：至少一个红球，事件 ：一个红球一个白球，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． 与 互斥 D． 与 独立
【答案】B
【分析】根据事件 ：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件 ：
一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解 发生， 一定发生， 发生， 不一定发生即可判断和
事件，积事件，互斥关系，独立关系．
【详解】解：现从盒子里随机取2个球．记事件 ：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个
白球，有两个红球；
A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． ，故 与 不互斥，故选项错误，不符合题意；
D． ，即 发生， 一定发生， 发生， 不一定发生，故 与 不独立，故选项错误，不
符合题意；
故选：B．
2．（2023·四川内江·三模）一个人连续射击 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【详解】一个人连续射击 次，其可能结果为击中 次，击中 次，击中 次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
3．（2023·广西柳州·模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而
不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
【答案】D
【分析】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事件包
含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错
误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包
含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是
不对立，故D正确.
故选:D.
4．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件 ，“点数之
和为4的倍数”是事件 ，则（ ）
A． 为不可能事件 B． 与 为互斥事件
C． 为必然事件 D． 与 为对立事件
【答案】B
【分析】利用事件的基本关系判断即可.
【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件 有 共有4种情况；“点数之和为4的倍数”是事件 有 共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C： 表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D： 与 不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件 为“第一次中靶”，
事件 为“至少一次中靶”，事件 为“至多一次中靶”，事件 为“两次都没中靶”.下列说法正确的是
（ ）
A． B． 与 是互斥事件
C． D． 与 是互斥事件，且是对立事件
【答案】AD
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可知，事件 为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”
“ 两次都中靶” “ 两次都没有中靶”；
事件 为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两
次都中靶”；
事件 为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”
“ 两次都没有中靶”；
事件 为“两次都没中靶”；
故 ， 与 不是互斥事件， 与 是互斥事件，且是对立事件， .
故选:：AD.
考点三、 频率与概率
1．（2022·山东威海·三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的
评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为 ，乙在网站B查到共有1260人参与评价，
其中好评率为 ．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为 .故选：B.
2．（22-23高二上·湖北武汉·期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试
验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.55
【答案】B
【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，
那么出现正面朝上的频率为 ,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是 ,
故出现正面朝上的概率为 ,
故选︰B．
3．（2021·全国·模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气
温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 ，
需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年
6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气
温
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x
瓶的概率估计值为0.1，则x=（ ）
A．100 B．300 C．400 D．600
【答案】B
【分析】根据频数分布表确定概率
【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，
由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为 ，
所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
故选：B．
1．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ．
【答案】 /
【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案.
【详解】由题意可知事件A出现的频率为 ，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，
由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为 ，
故答案为：
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采
用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计
算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟
产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【详解】20组数据中， 共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为 .
故答案为：
3．（2023·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有 个白球和 个红球，这些球除颜色外都相同，某班50
名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，
以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位
小数）
【答案】0.7
【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.
【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，
所以摸到红球概率的估计值为 .
故答案为：0.71．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000
次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.56，0.56 B．0.56，0.5
C．0.5，0.5 D．0.5，0.56
【答案】B
【分析】根据频率和概率的定义求解.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，
那么出现正面朝上的频率为 ，
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是 ，
故出现正面朝上的概率为 ．
故选:B．
2．（24-25高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均
匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，
则品种A约有（ ）
采样
品种A 品种B
点
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾
【答案】C
【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.
【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，
所以品种A约所占比为： ，
所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 尾，故选：C
3．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）下列说法：①必然事件的概率为 ．②如果某种彩票的中奖概率为
，那么买 张这种彩票一定能中奖．③某事件的概率为 ．④互斥事件一定是对立事件．其中正确的
说法是（ ）
A．①②③④ B．① C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】由必然事件的概念即可判断①；根据互斥事件概率的计算公式即可判断②；由随机事件概率的性
质即可判断③；根据互斥事件和对立事件的区别与联系即可判断④；
【详解】根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故①正确；
根据随机事件的概率可知，买10张这种彩票也会有 的可能性不中奖，所以②错误；
根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为 ，即③错误；
互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生其他情况，
所以互斥事件不一定是对立事件，即④错误；
故选：B
4．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件 ，“向上的面
至少有一枚是正面”为事件 ，则有( )
A． B． C． D． 与 之间没有关系
【答案】C
【分析】根据题意，结合列举法求得事件 和事件 ，进而得到两事件的关系，得到答案.
【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为 {（正，正），（正，反），（反，正），（反，
反）}，
其中事件 {（正，正）}，事件 {（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以 .
故选：C.
5．（2023·山东·模拟预测）已知事件 满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 与 互斥，则
C．若 与 相互独立，则
D．若 ，则 与 不相互独立
【答案】B
【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若 ，则 ，所以A错误；
对于B，若 与 互斥，则 ，所以B正确；
对于C，若 与 相互独立，可得 与 相互独立，
所以 ，所以C错误；
对于D，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 与 相互独立，所以D错误.
故选：B.
6．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是 ，则这件事
发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.
【答案】可能
【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果.
【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是 ，
表示刮出500元的可能性是 ，所以这件事可能发生.
故答案为：可能
7．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到 时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为 ，则买100000张这种彩票一定能中奖；
④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上．
其中必然事件是 ．
【答案】②
【分析】根据必然事件一定会发生逐个判断即可
【详解】因为在标准大气压下，水加热到 100℃才会沸腾，所以①不是必然事件；
因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；
因为某彩票中奖的概率为 ，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必
然事件；
抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件
故答案为：②
8．（2020高三·全国·专题练习）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习
惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机
抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】6912
【解析】计算出对“键盘侠”持反对态度的频率，由此计算出该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为 ，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态
度的有9600× ＝6912（人）．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用频率进行估计，属于基础题.
9．（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特
别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的 个黑球和
个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是
奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若 人中有 人回答了“是”， 人
回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以 人的频率估计概率） ．
【答案】 /
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到 个白球或黑球的概率均为 ，
所以， 人中回答第一个问题的人数为 ，则另外 人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为 ，即摸到黑球且回答“是”的人数为 ，
则摸到白球且回答“是”的人数为 ，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为 .
故答案为： .
10．（22-23高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件
A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事
件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；② ；③A与
C是互斥事件；④ .
【答案】①②④
【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.
【详解】试验的样本空间 ，
根据题意， ， ， ， .
因为 ， ，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故①正确；
因为 ， ，所以 ，故②正确；因为 ，所以A与C不是互斥事件，故③错误；
因为 ， ，所以 ，故④正确.
故答案为：①②④.
1．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关．
如果最高气温不低于 ，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 内，需求量为300瓶；
如果最高气温低于 ，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高
气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气
温
天数 3 6 25 38 18
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x
瓶的概率估计值为0.1，则 （ ）
A．100 B．300 C．400 D．600
【答案】B
【详解】命题意图 本题考查用样本频率估计总体的概率．
解析 由表格数据知，最高气温低于 的频率为 ，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过
300瓶的概率估计值为0.1．
2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设 ={2名全是男生}， {2名全是女生}，
{恰有一名男生}， {至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则 ， ，可判断A,C;
事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生， 表示至少有一名男生，
由此判断D.
【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故 ， ，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故 ，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生， 表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故 ，D错误，故选：D.
3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： “点数为 ”，
其中 ； “点数不大于2”， “点数大于2”， “点数大于4” 下列结论是判断错
误的是 （ ）
A． 与 互斥 B． ，
C． D． ， 为对立事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C.
【详解】由题意 与 不可能同时发生，它们互斥，A正确；
中点数为1或2， 中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此
为不可能事件，B正确；
发生时， 一定发生，但 发生时， 可能不发生，因此 ，C正确；
与 不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；
故选：D．
4．（多选）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次
投中两分球的次数 投中三分球的次数
数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估
计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意， ， ，
显然事件A，B互斥， ，
事件B，C互斥，则 ，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC.
5．（2024·云南昆明·三模）（多选）在一个有限样本空间中，事件 发生的概率满足， ，A与 互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与 相互独立
C． D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据互斥得到 ， ；B选项，根据
求出 ，故 ，B正确；C选项，A与
互斥，故 与 互斥，故C正确；D选项，根据 求出D正确.
【详解】A选项，A与 互斥，故 ， ，则 包含事件 ，故 ，A正
确；
B选项， ，
即 ，故 ，
故 ，A与 相互独立，B正确；
C选项，A与 互斥，故 与 互斥，故 ，C错误；
D选项，
，
因为 ，故 ，D正确.
故选：ABD
一、单选题
1．（重庆·高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】C
【详解】试题分析：从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．
解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，
样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，
∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为 =0.4，
故选C
点评：本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择
和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
2．（浙江·高考真题）从存放号码分别为1，2， ，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张
卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
【答案】A
【分析】有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码．这样事件的总数是100，从表中可以看出取到
的卡片上数字是奇数有53种情况，可直接算出频率．
【详解】由题意知，
∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，
∴总次数是100，
由表可以看出取到号码为奇数有13＋5＋6＋18＋11＝53种结果，
所以频率 ，
故选：A．
3．（湖北·高考真题）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米
1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
【详解】设夹谷 石，则 ，
所以 ，
所以这批米内夹谷约为 石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.4．（湖北·高考真题）甲： 、 是互斥事件；乙： 、 是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当 、 是互斥事件时， 、 不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当 、 是对立事件时， 、 一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
点睛：本题主要考查互斥事件和对立事件的联系和区别，考查充分条件和必要条件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定对立，甲乙对立，则甲乙一定互斥.
5．（全国·高考真题）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：
g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约为
．
【答案】 /
【分析】首先从所给的 袋抽取的质量中找出质量在 之间的质量，进而确定几袋，用所
得袋数除以总袋数 袋，进一步得到样本中质量在 之间的概率，根据频率分布估计总体分
布的原理，将样本中的频率近似看作总体中的概率即可.
【详解】解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在 之间的概率为 ，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约为：
.
