文档内容
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
(cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53)
(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)
2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35)
(cid:29) I (cid:27)
(cid:90)(cid:49)(cid:93)(cid:24)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:10)(cid:25)(cid:21)(cid:94)8(cid:61)(cid:21)(cid:38)(cid:60)(cid:61)(cid:21)5(cid:28)(cid:38)(cid:94)40(cid:28).(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:95)(cid:59)(cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:20)(cid:24)(cid:98)(cid:38)(cid:99)(cid:100)(cid:90)(cid:24)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:21)(cid:70)
(cid:104)(cid:105).
1(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:73)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)·(cid:90)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:103) ={ }(cid:38) = 3= (cid:38)(cid:118) =(cid:107) (cid:114)
A(cid:106){ } B(cid:106){ } C(cid:106){0𝐴,1} −1,0,1,2 𝐵D(cid:106)𝑥{|𝑥 𝑥} 𝐴∩𝐵
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)−(cid:122)1(cid:123)(cid:16)(cid:124)(cid:117)(cid:103) (cid:38)(cid:125)−(cid:117)1,1(cid:103)(cid:46)(cid:92)(cid:117)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131). −1,0,1
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:134)(cid:135) = 𝐵 3= ={ }(cid:38)
(cid:136)(cid:137) ={ 𝐵}. 𝑥|𝑥 𝑥 −1,0,1
(cid:138)(cid:20)𝐴(cid:10)∩D.𝐵 −1,0,1
1 1
2(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:127)·(cid:90)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:142)(cid:21) >1(cid:38)ln > (cid:38)(cid:118) (cid:135)(cid:107) (cid:114)
3 3 3
𝑝:∀𝑥 𝑥 − 𝑥 ¬𝑝
1 1 1 1
A(cid:106) >1(cid:38)ln B(cid:106) 1(cid:38)ln <
3 3 3 3 3 3
∀𝑥 𝑥≤ − 𝑥 ∃𝑥≤ 𝑥 − 𝑥
1 1 1 1
C(cid:106) 1(cid:38)ln D(cid:106) >1(cid:38)ln
3 3 3 3 3 3
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121) ∃𝑥 (cid:122) ≤ (cid:123)(cid:143)(cid:144) 𝑥 (cid:142) ≤ (cid:21) − (cid:46)(cid:145)𝑥 (cid:126)(cid:135)(cid:146)(cid:144)(cid:142)(cid:21)(cid:38)(cid:145)(cid:126)(cid:147) ∃ (cid:148) 𝑥 (cid:135)(cid:10)(cid:43) 𝑥 (cid:76) ≤ (cid:135) − (cid:38)𝑥 (cid:83)(cid:43)(cid:88)(cid:149)(cid:145)(cid:126).
1 1 ∃ ∀
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:125)(cid:142)(cid:21) >1(cid:38)ln > (cid:131)(cid:116)(cid:38)
3 3 3
𝑝:∀𝑥 𝑥 − 𝑥
1 1
(cid:135) >1(cid:38)ln (cid:38)(cid:138)D(cid:150)(cid:151)(cid:152)ABC(cid:153)(cid:154)(cid:152)
3 3 3
(cid:138) ¬𝑝 (cid:20)(cid:10) ∃𝑥 D. 𝑥≤ − 𝑥
3(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:96)(cid:155)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:113)(cid:114)(cid:159)(cid:160) { }(cid:161) { }={ }(cid:46)(cid:117)(cid:103) (cid:46)(cid:97)(cid:13)(cid:135)(cid:107) (cid:114)
𝑀⊆ 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝑀∩ 𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 𝑀A(cid:106)1 B(cid:106)2 C(cid:106)3 D(cid:106)4
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:162)(cid:163)(cid:92)(cid:117)(cid:46)(cid:88)(cid:164)(cid:38)(cid:137)(cid:165)(cid:166)(cid:117)(cid:46)(cid:3)(cid:167)(cid:38)(cid:151)(cid:126)(cid:117)(cid:103) (cid:98)(cid:46)(cid:168)(cid:169)(cid:38)(cid:130)(cid:131)(cid:105)(cid:120)(cid:117)(cid:103) (cid:46)(cid:97)(cid:13).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:125) { }={ }(cid:131)(cid:170)(cid:10){ } (cid:38) (cid:38) 𝑀 .(cid:171)(cid:134)(cid:135) { }(cid:38)𝑀
(cid:136)(cid:137) ={ }(cid:172) 𝑀=∩{ 𝑎,𝑏}.,𝑐 𝑎 𝑎 ⊆𝑀 𝑎∈𝑀 𝑏,𝑐∉𝑀 𝑀⊆ 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
(cid:138)(cid:20)𝑀(cid:10)B. 𝑎 𝑀 𝑎,𝑑
4(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:139)(cid:140)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:176) (cid:38)(cid:118)“| |<1”(cid:101)“1< <2”(cid:46)(cid:107) (cid:114)
A(cid:106)(cid:177)(cid:104)(cid:178)(cid:179) 𝑥∈𝑅 B(cid:106)(cid:180)𝑥−(cid:181)2(cid:177)(cid:28)(cid:182)(cid:181)(cid:42)(cid:104)𝑥(cid:178)(cid:179)
C(cid:106)(cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179) D(cid:106)(cid:42)(cid:104)(cid:181)(cid:177)(cid:28)(cid:178)(cid:179)
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:125)(cid:21)(cid:22)(cid:120)(cid:183)(cid:68)(cid:184)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:38)(cid:83)(cid:88)(cid:103)(cid:42)(cid:104)(cid:181)(cid:177)(cid:28)(cid:178)(cid:179)(cid:46)(cid:126)(cid:127)(cid:130)(cid:131)(cid:170)(cid:120).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123) <1(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135) < <3}(cid:38)(cid:136)(cid:137)“| |<1”(cid:101)“1< <2”(cid:46)(cid:42)(cid:104)(cid:181)(cid:177)(cid:28)(cid:178)(cid:179).
(cid:138)(cid:20)(cid:10)D. |𝑥−2| {𝑥|1 𝑥 𝑥−2 𝑥
5(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:113)(cid:114)(cid:191) (cid:38)(cid:161) > (cid:38)(cid:118)(cid:107) (cid:114)
1 1 𝑎,𝑏∈𝑅 𝑎 𝑏
A(cid:106) < B(cid:106) 2 > 2
2 1 2 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
C(cid:106) 2> > 2 D(cid:106) > >
2
𝑎+𝑏
𝑎 𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:130)(cid:131)(cid:105)(cid:120)ABC(cid:38)(cid:162)(cid:163)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:130)(cid:131)(cid:105)(cid:120)D.
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:125)(cid:197) > (cid:38)(cid:198) = = (cid:38) 1 = 1 = 1 (cid:38) 2 = 2=1(cid:38)(cid:86)(cid:199)(cid:170)(cid:200) 1 < 1 (cid:38) 2 >
2 1 2 1 2 2 1 2 1
2(cid:38)(cid:138)AB(cid:153)(cid:154)(cid:38) 𝑎 𝑏 𝑎 1,𝑏 −1 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 𝑎
𝑏(cid:198) = = ,(cid:118) 2= =0, 2=4(cid:38)(cid:86)(cid:199)(cid:170)(cid:200) 2> > 2(cid:38)C(cid:153)(cid:154)(cid:38)
𝑎 0,𝑏 −2 𝑎 0,𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏
(cid:125)(cid:197) > (cid:38)(cid:118) > + > (cid:38)(cid:136)(cid:137) > > (cid:38)
2
𝑎+𝑏
𝑎 𝑏 2𝑎 𝑏 𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏
(cid:138)(cid:20)(cid:10)D.
6(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:201)(cid:109)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:191)(cid:181)(cid:185)(cid:148) 2+( ) +2>0(cid:46)(cid:120)(cid:135)(cid:143)(cid:202)(cid:203)(cid:13)(cid:38)(cid:118)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:101)
(cid:107) (cid:114) 𝑘𝑥 𝑘−6 𝑥 𝑘
A(cid:106)2 18 B(cid:106) < <
C(cid:106)2<≤𝑘<≤18 D(cid:106)−01<8 <𝑘2 −2
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)𝑘(cid:123)(cid:28)(cid:206)(cid:207)(cid:149) =0(cid:208) 0(cid:33)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:38)(cid:88)(cid:103)(cid:190)𝑘(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:213)(cid:156)(cid:214)(cid:215)(cid:21)(cid:46)(cid:120)(cid:216)(cid:217)(cid:199)(cid:130)(cid:131)(cid:170)(cid:120).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:218) =0(cid:58)𝑘(cid:38)(cid:181)(cid:185)𝑘(cid:148)≠ 2+( ) +2>0(cid:131)(cid:16)(cid:135) +2>0(cid:38)(cid:219)(cid:220)(cid:181)(cid:103)(cid:21)(cid:22)(cid:152)
(cid:218) 0(cid:58)(cid:38)(cid:134)(cid:135)𝑘 2+( ) +𝑘2𝑥>0(cid:46)𝑘(cid:120)−(cid:135)6 𝑥(cid:143)(cid:202)(cid:203)(cid:13)(cid:38) −6𝑥
𝑘≠ 𝑘𝑥 𝑘−6 𝑥>0
(cid:136)(cid:137) (cid:38)(cid:120)(cid:170)2< <18(cid:152)
=( )2 ×2<0
𝑘
𝑘
(cid:221)(cid:56)(cid:10)Δ2<𝑘−<618−.4𝑘
(cid:138)(cid:20)(cid:10)C. 𝑘
7(cid:106)（5 分）(cid:107)2024·(cid:222)(cid:223)·(cid:90)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116) (cid:161) 0(cid:38)(cid:118)“ 2+ + >0(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135){ | 1 }”(cid:101)
“ + + =0”(cid:46)(cid:107) (cid:114) 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 𝑎≠ 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑥≠
𝑎 A(cid:106)𝑏 (cid:177)𝑐(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179) B(cid:106)(cid:42)(cid:104)(cid:181)(cid:177)(cid:28)(cid:178)(cid:179)
C(cid:106)(cid:177)(cid:28)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179) D(cid:106)(cid:180)(cid:181)(cid:177)(cid:28)(cid:182)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)
(cid:162)(cid:163)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:120)(cid:165)(cid:177)(cid:28)(cid:178)(cid:179)(cid:49)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:105)(cid:120).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:125)(cid:21)(cid:22)(cid:38)(cid:190)(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148) 2+ + >0(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135){ | 1 }(cid:38)
>0 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑥≠
(cid:118)(cid:185)(cid:224)(cid:197) =1 (cid:38)(cid:130) = > = (cid:38)(cid:130) + + =0(cid:38)
=
𝑎2𝑏
=0
−2𝑎 𝑎 𝑐 0,𝑏 −2𝑎 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:218) + + Δ=0𝑏(cid:58)−(cid:38)4𝑎(cid:181)𝑐(cid:225)(cid:226)(cid:59) = > = (cid:38)
(cid:136)𝑎(cid:137)“ 𝑏2+𝑐 + >0(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135)𝑎{ |𝑐 01,𝑏 }”(cid:101)−“2𝑎+ + =0”(cid:46)(cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:38)
(cid:138)(cid:20)(cid:10)𝑎A𝑥. 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝑥≠ 𝑎 𝑏 𝑐
8(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:227)(cid:228)(cid:228)(cid:229)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:199)(cid:153)(cid:154)(cid:46)(cid:101)(cid:107) (cid:114)
1 1
A(cid:106)(cid:191)(cid:150)(cid:203)(cid:13) (cid:159)(cid:160) + =1(cid:38)(cid:118) + (cid:100)(cid:233)(cid:61)(cid:184)4
𝑎,𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
B(cid:106)(cid:191)(cid:150)(cid:203)(cid:13) (cid:159)(cid:160) + =1(cid:38)(cid:118)2 +4 2 2
𝑎 𝑏
C(cid:106) = 2+ 𝑎, 3 𝑏 + 1𝑎 (cid:46) 2 (cid:233) 𝑏 (cid:61)(cid:184)(cid:135)4 3 ≥
2 3 3
D(cid:106) 𝑦 (cid:191) >𝑥 >1(cid:38)(cid:118)𝑥 + +1< +
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122) 𝑎 (cid:123) 𝑏 (cid:68)(cid:197)A(cid:38)(cid:234) 𝑎𝑏 (cid:64) 1 + 1𝑎 =( 𝑏 + ) 1 + 1 (cid:130)(cid:131)(cid:51)(cid:235) 1 + 1 4(cid:38)(cid:83)(cid:95)(cid:59)(cid:198)(cid:185)(cid:46)(cid:210)(cid:211)(cid:130)(cid:131)(cid:170)(cid:200)A(cid:150)(cid:151)(cid:152)
(cid:68)(cid:197)B(cid:38)(cid:234)(cid:64)2 +2 2 2 𝑎 𝑏 2 (cid:130) 𝑎 (cid:131)(cid:51) 𝑏 (cid:235)𝑎2 +𝑏 4 2 2(cid:38) 𝑎 (cid:170) 𝑏 (cid:200) ≥ B(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:68)(cid:197)C(cid:38)(cid:234)(cid:64)(cid:236)(cid:168)(cid:199)(cid:208)(cid:68)(cid:237)(cid:238)(cid:13)
𝑎 2𝑏 𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏
(cid:93)(cid:239)(cid:195)(cid:240)(cid:241)(cid:152)(cid:68)(cid:197)D(cid:38)≥(cid:242)(cid:51)(cid:218)⋅ =3(cid:38) =2(cid:58)(cid:181)(cid:185)(cid:148)≥(cid:181)(cid:156)(cid:214)(cid:38)(cid:170)(cid:200)D(cid:153)(cid:154).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:68)(cid:197)A(cid:38)(cid:191)(cid:150)(cid:203)(cid:13) 𝑎 (cid:159) 𝑏 (cid:160) + =1(cid:38)(cid:118) 1 + 1 =( + ) 1 + 1 =2+ + 2+2
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
𝑎,𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏≥ 𝑎⋅𝑏
1 1 1 1 1
=2+2=4(cid:38)(cid:243)(cid:218) = = (cid:58)(cid:38)(cid:100) + =1(cid:38) + =4(cid:38)(cid:244)(cid:243) + (cid:46)(cid:233)(cid:61)(cid:184)(cid:101)4(cid:38)(cid:138)A(cid:150)(cid:151)(cid:152)
2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:68)(cid:197)B(cid:38)(cid:191)(cid:150)(cid:203)(cid:13) (cid:159)(cid:160) + =1(cid:38)(cid:118)2 +4 =2 +2 2 2 2 =2 2 + =2 2(cid:38)(cid:138)B(cid:150)(cid:151)(cid:152)
𝑎 𝑏 𝑎 2𝑏 𝑎 2𝑏 𝑎 2𝑏
(cid:68)(cid:197)C(cid:38)(cid:176) 2+3 𝑎 = ,𝑏 [ 𝑎 3,+ 2𝑏 )(cid:38)(cid:118) = + 1 3)(cid:38)(cid:125) ≥ (cid:68)(cid:237)(cid:238) ⋅ (cid:13)(cid:93)(cid:239)(cid:195)(cid:170)(cid:233)(cid:61)(cid:184)(cid:101) 3+ 1 =4 3(cid:38)(cid:138)
3 3
𝑥 𝑡∈ ∞ 𝑦 𝑡 𝑡(𝑡≥C(cid:150)(cid:151)(cid:152)
(cid:68)(cid:197)D(cid:38)(cid:218) =3(cid:38) =2(cid:58)(cid:38)(cid:100) > >1(cid:38)(cid:245) +1=3 2+1=7>5=3+2= + (cid:38)(cid:138)D(cid:153)(cid:154).
(cid:138)(cid:20)(cid:10)D. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 ⋅ 𝑎 𝑏
(cid:190)(cid:49)(cid:246)(cid:24)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:10)(cid:25)(cid:21)(cid:94)4(cid:61)(cid:21)(cid:38)(cid:60)(cid:61)(cid:21)5(cid:28)(cid:38)(cid:94)20(cid:28).(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:95)(cid:59)(cid:46)(cid:20)(cid:24)(cid:98)(cid:38)(cid:100)(cid:246)(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:21)(cid:70)(cid:104)(cid:105).(cid:143)
(cid:34)(cid:20)(cid:68)(cid:46)(cid:170)5(cid:28)(cid:38)(cid:34)(cid:28)(cid:20)(cid:68)(cid:46)(cid:170)2(cid:28)(cid:38)(cid:100)(cid:20)(cid:153)(cid:46)(cid:170)0(cid:28).
9(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:93)(cid:254)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:103) ={ | 3 }(cid:38)(cid:117)(cid:103) ={ | +1 }(cid:38)(cid:225)(cid:255)
= (cid:156)(cid:214)(cid:46)(cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:100)(cid:107) (cid:114) 𝐴 𝑥 𝑥≤ 𝐵 𝑥 𝑥≤𝑚
𝐴∩A𝐵(cid:106) 𝐴>0 B(cid:106) >1 C(cid:106) >3 D(cid:106) >4
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)𝑚(cid:122)(cid:123)(cid:125) = (cid:156)𝑚(cid:214)(cid:46)(cid:177)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:105)(cid:59)(cid:68)(cid:69)𝑚(cid:46)(cid:256)(cid:13) (cid:46)(cid:204)(cid:205)(cid:38)(cid:88)(cid:103)𝑚(cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:46)(cid:126)(cid:127)(cid:130)(cid:131)(cid:170)(cid:120).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123) 𝐴∩=𝐵 (cid:218)𝐴(cid:161)(cid:257)(cid:218) (cid:101) (cid:46)(cid:166)(cid:117)(cid:38)(cid:218)(cid:161)(cid:257)(cid:218) 𝑚+1 3(cid:38)(cid:130) 2(cid:38)
(cid:68)(cid:258)(cid:20)(cid:24)(cid:131)(cid:116)(cid:255)𝐴∩(cid:170)𝐵 𝐴2(cid:156)(cid:214)(cid:46)(cid:177)𝐴(cid:28)(cid:181)𝐵(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:100) >3(cid:38)𝑚 >4≥. 𝑚≥
(cid:138)(cid:20)(cid:10)CD. 𝑚≥ 𝑚 𝑚
10(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:143)(cid:259)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:115)(cid:116) > > >0(cid:38)(cid:118)(cid:230)(cid:231)(cid:148)(cid:166)(cid:150)(cid:151)(cid:46)(cid:101)(cid:107) (cid:114)
1 1 𝑎 𝑏 0,𝑐 1
A(cid:106) > B(cid:106) < C(cid:106) D(cid:106) <
2 2
𝑎+𝑏 𝑎 𝑎+𝑐
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)
𝑐−
(cid:122)
𝑏
(cid:123)(cid:162)
𝑐−
(cid:163)
𝑎 (cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:195)𝑎𝑐(cid:196)(cid:131)𝑏𝑐(cid:170)A(cid:49)B(cid:46)(cid:150)(cid:154)𝑎+(cid:152)(cid:162)2𝑎(cid:163)𝑏≥
(cid:260)(cid:25)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:131)(cid:170)
𝑏
C
𝑏
(cid:46)
+𝑐
(cid:150)(cid:154)(cid:152)(cid:234)(cid:64)(cid:261)(cid:262)(cid:199)(cid:131)(cid:170)D(cid:46)
(cid:150)(cid:154).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:125) > > >0(cid:38)(cid:170) < <0(cid:38)(cid:136)(cid:137) < (cid:38)A(cid:150)(cid:151)(cid:106)
𝑎 𝑏 0,𝑐 −𝑎 −𝑏 𝑐−𝑎 𝑐−𝑏 1 1
(cid:134)(cid:135) > > >0(cid:38)(cid:136)(cid:137) > >0(cid:38)(cid:136)(cid:137) > >0(cid:38)(cid:136)(cid:137) > >0(cid:38)B(cid:150)(cid:151)(cid:106)
(cid:134)(cid:135) 𝑎 > 𝑏 > 0 0(cid:38) ,𝑐 (cid:136)(cid:137) +2 𝑎𝑐 𝑏𝑐 +( + ) 𝑎 = 𝑐 2( 𝑏 + 𝑐 )(cid:38)(cid:218)(cid:161)(cid:257)𝑏(cid:218)𝑐 = 𝑎𝑐 (cid:58)(cid:198)(cid:185)(cid:9)(cid:38)
𝑎 𝑏 𝑎 1 2𝑎𝑏≤𝑎 𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑏
(cid:136)(cid:137) = (cid:38)C(cid:150)(cid:151)(cid:106)
2 2( ) 2
𝑎+𝑏 𝑎+𝑏
𝑎+ 2𝑎𝑏≥ 𝑎+𝑏
(cid:134)(cid:135) = = >0(cid:38)(cid:136)(cid:137) > (cid:38)D(cid:153)(cid:154)(cid:106)
𝑎 𝑎+𝑐 𝑎(𝑏+𝑐)−𝑏(𝑎+𝑐) (𝑎−𝑏)𝑐 𝑎 𝑎+𝑐
𝑏−𝑏+𝑐 𝑏(𝑏+𝑐) 𝑏(𝑏+𝑐) 𝑏 𝑏+𝑐
(cid:138)(cid:20)(cid:10)ABC(cid:106)
11(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:143)(cid:259)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:32)(cid:263)(cid:117)(cid:103)A(cid:264)(cid:100)(cid:74)(cid:230)(cid:195)(cid:196)(cid:10) (cid:191) (cid:38)(cid:118) (cid:152) (cid:191) (cid:38)(cid:118) +
𝑥
(cid:230)(cid:231)(cid:240)(cid:241)(cid:98)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:46)(cid:100)(cid:107) (cid:114)
① 𝑥,𝑦∈𝐴 𝑦∈𝐴 ② 𝑥,𝑦∈𝐴 𝑥 𝑦∈𝐴
2022
A(cid:106) B(cid:106)
2023
−1∉𝐴 ∈𝐴
C(cid:106)(cid:191) (cid:38)(cid:118) D(cid:106)(cid:191) (cid:38)(cid:118)
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)𝑥(cid:123),𝑦∈𝐴 𝑥𝑦∈𝐴 𝑥,𝑦∈𝐴 𝑥−𝑦∈𝐴(cid:162)(cid:163)(cid:168)(cid:169)(cid:208)(cid:117)(cid:103)(cid:46)(cid:3)(cid:167)(cid:265)(cid:266)(cid:28)(cid:267)(cid:38)(cid:244)(cid:243)(cid:151)(cid:126)(cid:150)(cid:151)(cid:36)(cid:62).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)
(cid:68)(cid:197)A(cid:38)(cid:268)(cid:176) (cid:38)(cid:118)(cid:269) = = (cid:38)(cid:118) =1 (cid:38)
𝑥
−1∈𝐴 𝑥 𝑦 −1 𝑦 ∈𝐴
(cid:269) = =1(cid:38)(cid:118) + =0 (cid:38)
𝑥 −1,𝑦 𝑥 𝑦 ∈𝐴
(cid:269) = =0(cid:38)(cid:181)(cid:270)(cid:54) (cid:38)(cid:130) 0(cid:38)(cid:271)(cid:272)(cid:38)
𝑥
𝑥 1,𝑦 𝑦 𝑦≠
(cid:38)(cid:138)A(cid:68)(cid:152)
∴(cid:68)−(cid:197)1∉B(cid:38)𝐴 (cid:125)(cid:21)(cid:38)1 (cid:38)(cid:118)1+1=2 +1=3
2022 ∈𝐴 ∈𝐴,2 ∈𝐴,⋯,2022∈𝐴,2023∈𝐴,
(cid:38)(cid:138)B(cid:68)(cid:152)
2023
∴ ∈𝐴
1
(cid:68)(cid:197)C(cid:38) 1 (cid:38) (cid:38) (cid:38)
∵ ∈𝐴 𝑥∈𝐴 ∴𝑥∈𝐴
1
1= (cid:138)C(cid:68)(cid:152)
𝑦
(cid:68)∵𝑦
(cid:197)
∈𝐴
D
, (cid:38)𝑥∈𝐴
1
,∴𝑥
(cid:38)2
𝑥𝑦∈
(cid:38)
𝐴,
(cid:191) = =2(cid:38)(cid:118) = (cid:38)(cid:138)D(cid:153)(cid:154)(cid:106)
(cid:138)(cid:20)(cid:10)AB∵C(cid:106)∈𝐴 ∈𝐴 𝑥 1,𝑦 𝑥−𝑦 −1∉𝐴
12(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:222)(cid:223)(cid:273)(cid:274)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:199)(cid:150)(cid:151)(cid:46)(cid:101)(cid:107) (cid:114)
|
A(cid:106)(cid:181)(cid:185)(cid:148)4 2 +1>0(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:101) > 1 或 <1
4
𝑥 −5𝑥 |𝑥 𝑥 𝑥
B(cid:106)(cid:181)(cid:185)(cid:148)2 2 0(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:101) 3 或 2
2
C(cid:106)(cid:191)(cid:181)(cid:185)(cid:148) 𝑥 −2𝑥 + −6≤ +21<0(cid:213)(cid:156)𝑥 𝑥(cid:214)≤(cid:38)−(cid:118)a(cid:46)𝑥≥(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:101)
D(cid:106)(cid:191)(cid:3)(cid:197)x(cid:46) 𝑎𝑥 (cid:181)(cid:185) 8 (cid:148) 𝑎𝑥 2 2+ <0(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:101)( )(cid:38)(cid:118) + ∅ (cid:46)(cid:184)(cid:135) 1
2
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123) 𝑥 𝑝𝑥−3 𝑞,1 𝑝 𝑞 −
(cid:68)(cid:197)AB(cid:38)(cid:250)(cid:275)(cid:120)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:240)(cid:241)(cid:152)(cid:68)(cid:197)C(cid:38)(cid:68) (cid:28)(cid:206)(cid:207)(cid:149)(cid:130)(cid:131)(cid:240)(cid:241)(cid:152)(cid:68)(cid:197)D(cid:38)(cid:125)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148)
(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:208)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:217)(cid:133)(cid:46)(cid:162)(cid:46)(cid:3)(cid:167)(cid:38)(cid:276)(cid:105)(cid:170) (cid:38)(cid:220)(cid:63)(cid:130)(cid:131)𝑎(cid:240)(cid:241).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:68)(cid:197)A(cid:38)4 2 +1> ( 𝑝,𝑞 )( )> < 1 (cid:172) >1(cid:38)(cid:138)A(cid:153)(cid:154)(cid:152)
4
𝑥 −5𝑥 0⇔ 𝑥−1 4𝑥−1 0⇔𝑥 𝑥
(cid:68)(cid:197)B(cid:38)2 2 ( )( +3) 3 2(cid:38)(cid:138)B(cid:153)(cid:154)(cid:152)
2
(cid:191)(cid:181)(cid:185)(cid:148) 𝑥2− + 𝑥−6≤ + 0 2 ⇔ 1<𝑥0−(cid:213)2(cid:156)2(cid:214)𝑥(cid:38) ≤0⇔− ≤𝑥≤
(cid:218) =0(cid:58)𝑎(cid:38)𝑥218<𝑎0𝑥(cid:101)(cid:181)(cid:131)(cid:225)(cid:156)(cid:214)(cid:46)(cid:38)
𝑎 <0
(cid:136)(cid:137)(cid:99)(cid:225) (cid:38)(cid:243)(cid:277)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:278)(cid:86)(cid:120)(cid:38)(cid:221)(cid:56)(cid:38)(cid:138)C(cid:150)(cid:151)(cid:152)
=64 2 <0
𝑎
Δ 𝑎 −84𝑎(cid:68)(cid:197)D(cid:38)(cid:125)(cid:21)(cid:22)(cid:170) (cid:101)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:217)(cid:133)2 2+ =0(cid:46)(cid:33)(cid:162)(cid:38)
×1= 𝑞,1 3 𝑥 𝑝𝑥−3
(cid:244)(cid:243) 2 (cid:38)(cid:120)(cid:170) = = (cid:38)
2+ =−30 2
𝑞
𝑝 1,𝑞 −
(cid:243)(cid:218) = 𝑝−=3 3 (cid:58)(cid:38)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148)2 2+ < ( )( +3)< 3 < <1(cid:159)(cid:160)(cid:21)(cid:22)(cid:38)
2 2
𝑝 1,𝑞 − 𝑥 𝑥−3 0⇔ 𝑥−1 2𝑥 0⇔− 𝑥
1
(cid:136)(cid:137) + (cid:46)(cid:184)(cid:135) (cid:38)(cid:138)D(cid:150)(cid:151).
2
𝑝 𝑞 −
(cid:138)(cid:20)(cid:10)CD.
(cid:29) (cid:27)
Ⅱ
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13(cid:106)（5分）(cid:107)2023·(cid:279)(cid:280)·(cid:190)(cid:113)(cid:114)(cid:142)(cid:21)“ (cid:38) 2+ +1<0”(cid:135)(cid:268)(cid:142)(cid:21)(cid:38)(cid:118)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:135) 1 .
4
∃𝑥∈𝑅 𝑎𝑥 𝑥 𝑎 𝑎≥
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)
(cid:28)(cid:267)(cid:131)(cid:116)(cid:142)(cid:21)“ (cid:38) 2+ +1 0”(cid:135)(cid:281)(cid:142)(cid:21)(cid:38)(cid:68)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:265)(cid:266)(cid:28)(cid:206)(cid:207)(cid:149)(cid:38)(cid:54) =0(cid:58)(cid:38)(cid:250)(cid:275)(cid:242)(cid:51)(cid:130)
(cid:131)(cid:152)(cid:218) 0(cid:58)(cid:38)∀𝑥(cid:162)∈(cid:163)𝑅(cid:190)(cid:212)𝑎𝑥(cid:181)(cid:185)𝑥(cid:148)(cid:213)(cid:156)≥(cid:214)(cid:131)(cid:170)(cid:59)(cid:3)(cid:197)(cid:203)(cid:13) (cid:46)𝑎(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:278)(cid:38)(cid:221)(cid:103)(cid:131)(cid:170)(cid:59)(cid:203)(cid:13)𝑎 (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)𝑎≠(cid:133)(cid:123)(cid:125)(cid:21)(cid:22)(cid:131)(cid:116)(cid:38)(cid:142)(cid:21)“ (cid:38) 2+ +1 0𝑎”(cid:135)(cid:281)(cid:142)(cid:21). 𝑎
(cid:218) =0(cid:58)(cid:38)(cid:125) +1 0(cid:131)(cid:170) ∀𝑥(cid:38)∈(cid:181)𝑅(cid:103)𝑎(cid:282)𝑥(cid:21)(cid:22)𝑥(cid:152) ≥
𝑎 𝑥 ≥ 𝑥≥>−01 1
(cid:218) 0(cid:58)(cid:38)(cid:125)(cid:21)(cid:22)(cid:131)(cid:170) (cid:38)(cid:120)(cid:170) .
= 0 4
𝑎
𝑎≠ 𝑎≥
(cid:134)(cid:283)(cid:38)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:101)Δ 1−1 . 4𝑎≤
4
𝑎 𝑎≥
1
(cid:138)(cid:36)(cid:62)(cid:135)(cid:10) .
4
𝑎≥
14(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:143)(cid:259)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:103) ={ }(cid:38) ={ < <1}(cid:38)(cid:191) (cid:98)(cid:100)2(cid:97)
(cid:168)(cid:169)(cid:38)(cid:118)(cid:203)(cid:13)a(cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:101) [1,2) (cid:106) 𝑀 −2,−1,0,1 𝑁 𝑥|𝑎−3 𝑥 𝑀∩𝑁
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:162)(cid:163)(cid:92)(cid:117)(cid:46)(cid:284)(cid:129)(cid:165)(cid:117)(cid:103)(cid:98)(cid:46)(cid:168)(cid:169)(cid:46)(cid:97)(cid:13)(cid:38)(cid:231)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:105)(cid:120)(cid:130)(cid:131).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:134)(cid:135) ={ }(cid:38) ={ < <1}(cid:38)(cid:191) (cid:98)(cid:100)2(cid:97)(cid:168)(cid:169)(cid:38)
(cid:136)(cid:137) ={ 𝑀}(cid:38)(cid:136)−(cid:137)2,−1,0,1 𝑁< 𝑥(cid:38)|𝑎(cid:120)−(cid:170)3 1𝑥 <2(cid:38) 𝑀∩𝑁
(cid:118)(cid:203)𝑀(cid:13)∩a𝑁(cid:46)(cid:198)(cid:184)−(cid:204)1,0(cid:205)(cid:101)[1,2)−.2≤𝑎−3 −1 ≤𝑎
(cid:138)(cid:36)(cid:62)(cid:135)(cid:10)[1,2).
2 1
15(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:143)(cid:259)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:115)(cid:116) >1(cid:38) >0(cid:38)(cid:161) + =2(cid:38)(cid:118) + (cid:46)(cid:233)(cid:61)(cid:184)(cid:101) 3+ 2 2 (cid:106)
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:234)(cid:64) “1”(cid:46)(cid:285)(cid:64)(cid:165)(cid:260)(cid:25)(cid:181)(cid:185)(cid:148) 𝑥 (cid:130)(cid:131)(cid:105) 𝑦 (cid:120). 𝑥 𝑦 𝑥−1 𝑦
2 2
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:125) + =2(cid:38)(cid:170) + =1(cid:38)
𝑥 𝑦 𝑥−1 𝑦(cid:134)(cid:135) >1(cid:38) >0(cid:38)
(cid:136)(cid:137)𝑥 > 𝑦 >0(cid:38)
(cid:136)(cid:137) 𝑥1−1 + 0 = ,𝑦 + 2 1 + =3+ + 2 3+2 2 =3+2 2(cid:38)
𝑥−1 𝑦 𝑥−1 𝑦 𝑥−1 𝑦 (𝑥−1)𝑦 (𝑥−1)𝑦≥ (𝑥−1)𝑦⋅(𝑥−1)𝑦
2
(cid:218)(cid:161)(cid:257)(cid:218) = (cid:38)(cid:130) = 2(cid:38) =2+ 2(cid:58)(cid:38)(cid:185)(cid:9)(cid:156)(cid:214)(cid:38)
(𝑥−1)𝑦 (𝑥−1)𝑦 𝑥 𝑦
1
(cid:136)(cid:137) + (cid:46)(cid:233)(cid:61)(cid:184)(cid:101)3+2 2(cid:106)
𝑥−1 𝑦
(cid:138)(cid:36)(cid:62)(cid:135)(cid:10)3+2 2(cid:106)
16(cid:106)（5分）(cid:107)2024·(cid:56)(cid:247)(cid:286)(cid:229)·(cid:190)(cid:113)(cid:114)(cid:54)(cid:230)(cid:231)(cid:3)(cid:197)(cid:203)(cid:13) 、 (cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:98)(cid:38)(cid:213)(cid:156)(cid:214)(cid:46)(cid:101) (cid:106)(cid:107)(cid:287)
(cid:52)(cid:288)(cid:143)(cid:34)(cid:150)(cid:151)(cid:46)(cid:289)(cid:9)(cid:114) 𝑎 𝑏 ②③④
2
+ 2 (cid:152) (cid:152) (cid:152) 2+ 2 (cid:106)
2
𝑎+𝑏
①(cid:119)(cid:120)𝑎(cid:21)𝑏(cid:121)≥(cid:122)(cid:123)𝑎(cid:198)𝑏(cid:146)②(cid:184)(cid:131)(cid:240)(cid:241)≥𝑎(cid:152)𝑏(cid:261)(cid:262)③(cid:199)|𝑎(cid:131)|−(cid:240)|𝑏(cid:241)|≤|𝑎−𝑏(cid:152)| (cid:104)④(cid:51)𝑎 𝑏 ≥2𝑏−1(cid:130)(cid:51)2| || | (cid:131)(cid:240)(cid:241) .
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:68)(cid:197) (cid:38)(cid:198) =① =1(cid:38)(cid:138) (cid:153)②(cid:154)④(cid:152) |𝑎|−|𝑏|≤|𝑎−𝑏| 𝑎 𝑏 ≥2𝑎𝑏 ③
2 ① 2 𝑎2 −1,𝑏 2 2① 2
(cid:68)(cid:197) (cid:38) = = = 0(cid:38)(cid:138) (cid:150)(cid:151)(cid:152)
2 4 4 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏 +2𝑎𝑏−4𝑎𝑏 𝑎 +𝑏 −2𝑎𝑏 𝑎−𝑏
(cid:68)(cid:197)②(cid:38)(cid:218)| | −|𝑎𝑏|(cid:38)(cid:104)(cid:51) (cid:38)(cid:130)(cid:51)(| | | |≥)2 (| ②|)2(cid:38)
(cid:130)| |③2+| |2𝑎 ≥| |𝑏| | 2+|𝑎|−2|𝑏|≤(cid:38)|𝑎(cid:130)−𝑏(cid:51)| 2| || | 𝑎 − 𝑏(cid:38) ≤ 𝑎−𝑏
(cid:243)2𝑎| || |𝑏 −2(cid:213)𝑎(cid:156)𝑏(cid:214)≤(cid:38)𝑎 𝑏 −2𝑎𝑏 𝑎 𝑏 ≥2𝑎𝑏
(cid:218)| 𝑎|<𝑏| ≥|(cid:58)2(cid:38)𝑎𝑏 < >0(cid:38)(cid:136)(cid:137) (cid:38)(cid:138) (cid:150)(cid:151).
(cid:68)(cid:197)𝑎 (cid:38)𝑏 2+ |𝑎2|−|𝑏|+10=,|𝑎−2𝑏+|( )2 0|𝑎(cid:38)|−(cid:136)|𝑏(cid:137)|≤2|+𝑎−𝑏2| ③(cid:38)(cid:138) (cid:150)(cid:151).
(cid:138)(cid:36)(cid:62)④(cid:135)(cid:10)𝑎 𝑏 −2.𝑏 𝑎 𝑏−1 ≥ 𝑎 𝑏 ≥2𝑏−1 ④
四、解答题②：本③题④共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17(cid:106)（10分）(cid:107)2023·(cid:290)(cid:223)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:176)(cid:143)(cid:117) ={2,4, 2 (cid:38) = (cid:38) ={6}(cid:38)(cid:105) (cid:46)(cid:184)(cid:106)
U
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:125)(cid:291)(cid:117)(cid:46)(cid:292)(cid:293)(cid:231)(cid:148)(cid:105)(cid:120)(cid:106) 𝑈 𝑎 −5𝑎} 𝑃 {𝑎−2,2} ∁ 𝑃 𝑎
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:120)(cid:10) (cid:143)(cid:117) ={2,4, 2 (cid:38) = (cid:38) ={6}(cid:38)
U
2 =6 ∵ 𝑈 𝑎 −5𝑎} 𝑃 {𝑎−2,2} ∁ 𝑃
(cid:38)
=4
𝑎 −5𝑎
∴ =𝑎−62(cid:106)
1∴8𝑎(cid:106)（12分）(cid:107)2023·(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:297)·(cid:90)(cid:113)(cid:114)(cid:142)(cid:21) (cid:10)(cid:298)(cid:22) (cid:38) 2 >0(cid:156)(cid:214)(cid:152)(cid:142)(cid:21) (cid:10)(cid:270)(cid:54) (cid:38) 2+
+1<0(cid:156)(cid:214). 𝑝 𝑥∈𝑅 𝑥 −2𝑚𝑥−3𝑚 𝑞 𝑥∈𝑅 𝑥
4(1𝑚)(cid:191)𝑥(cid:142)(cid:21) (cid:135)(cid:268)(cid:142)(cid:21)(cid:38)(cid:105)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:152)
𝑞 𝑚(2)(cid:191)(cid:142)(cid:21) (cid:31) (cid:100)(cid:161)(cid:99)(cid:100)(cid:90)(cid:97)(cid:135)(cid:281)(cid:142)(cid:21)(cid:38)(cid:105)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205).
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)𝑝(cid:123)𝑞(cid:107)1(cid:114)(cid:125)q(cid:281),(cid:125)(cid:240)(cid:299)(cid:148)(cid:105)(cid:170)m(cid:46)(cid:198)𝑚(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:38)(cid:265)(cid:243)(cid:170)(cid:200)q(cid:268)(cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:152)
(cid:107)2(cid:114)(cid:105)(cid:170)p(cid:281)(cid:46)(cid:178)(cid:179)(cid:38)(cid:125) (cid:31) (cid:100)(cid:161)(cid:99)(cid:100)(cid:90)(cid:97)(cid:135)(cid:281)(cid:142)(cid:21)(cid:38)(cid:170)(cid:200) (cid:281) (cid:268)(cid:38)(cid:172) (cid:268) (cid:281)(cid:38)(cid:220)(cid:63)(cid:28)(cid:299)(cid:105)(cid:46)m(cid:46)(cid:198)(cid:184)
(cid:204)(cid:205)(cid:38)(cid:83)(cid:198)(cid:91)(cid:117)(cid:130)(cid:170). 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:107)1(cid:114)(cid:125)q(cid:281)(cid:10) =16 2 >0(cid:38)(cid:170) < 1 (cid:172) > 1 (cid:38)
2 2
Δ 𝑚 −4 𝑚 − 𝑚
1 1
(cid:136)(cid:137)q(cid:268)(cid:10) (cid:152)
2 2
(cid:107)2(cid:114)p(cid:281)(cid:10)
−
=
≤
4
𝑚≤2+
<0(cid:226)(cid:59) < <0(cid:38)
(cid:125) (cid:31) (cid:100)(cid:161)(cid:99)Δ(cid:100)(cid:90)𝑚(cid:97)(cid:135)1(cid:281)2𝑚(cid:142)(cid:21)(cid:38) −3 𝑚
𝑝 (cid:281)𝑞 (cid:268)(cid:38)(cid:172) (cid:268) (cid:281)(cid:38)
< <0 或 0
∴ 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞
1 1(cid:172) 1 1(cid:38)
< 或 >
−32 𝑚 2 𝑚≤−32 𝑚≥ 2
− 1≤𝑚≤ 𝑚 − 𝑚 1
<0(cid:172) (cid:172) > .
2 2
∴− ≤𝑚 𝑚≤−3 𝑚
2
19(cid:106)（12分）(cid:107)2023·(cid:143)(cid:259)·(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:114)(cid:107)1(cid:114)(cid:176)a(cid:38)b(cid:135)(cid:150)(cid:203)(cid:13)(cid:38)(cid:105)(cid:51)(cid:10) (cid:106)
4
𝑎 3𝑎−𝑏
𝑎+𝑏≥
3 3 3
(cid:107)2(cid:114)(cid:176)a(cid:38)b(cid:38)c(cid:135)(cid:150)(cid:203)(cid:13)(cid:38)(cid:105)(cid:51)(cid:10) + + (cid:106)
2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:107)1(cid:114)(cid:107)2(cid:114)(cid:162)(cid:163)(cid:21)(cid:22)(cid:38)𝑎+(cid:125)𝑏(cid:181)𝑏(cid:185)+𝑐(cid:148)(cid:46)𝑐+(cid:195)𝑎(cid:196) ≥ (cid:38)(cid:300)(cid:288)(cid:128)(cid:129)(cid:38)(cid:130)(cid:131)(cid:51)(cid:235).
2 2
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:107)1(cid:114)(cid:134)(cid:135) = (cid:38)a(cid:38)b(cid:135)(cid:150)(cid:203)(cid:13)(cid:38)
4
𝑎 3𝑎−𝑏 (𝑎−𝑏)
𝑎+𝑏− 4(𝑎+𝑏)
2 2
(cid:136)(cid:137) 0(cid:38)(cid:136)(cid:137) (cid:38)(cid:218)(cid:161)(cid:257)(cid:218) = (cid:58)(cid:38)(cid:198)(cid:185)(cid:9)(cid:106)
4
(𝑎−𝑏) 𝑎 3𝑎−𝑏
4(𝑎+𝑏)≥ 𝑎+𝑏≥ 𝑎 𝑏
(cid:107)2(cid:114)(cid:125)(cid:107)1(cid:114)(cid:38)(cid:170) 3 3 2 (cid:106)
4
𝑎 𝑎 −𝑎𝑏
𝑎+𝑏≥
(cid:301)(cid:15)(cid:38)(cid:170) 3 3 2 (cid:38) 3 3 2
4 4
𝑏 𝑏 −𝑏𝑐 𝑐 𝑐 −𝑎𝑐
𝑏+𝑐≥ 𝑐+𝑎≥
(cid:136)(cid:137) 3 + 3 + 3 3 2 3 2 3 2 = 3( 2 2 2) = (cid:38)
4 4 4 2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 −𝑎𝑏+ 𝑏 −𝑏𝑐+ 𝑐 −𝑎𝑐 𝑎 +𝑏 +𝑐 −𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑎𝑐 3(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐)−(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐) 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐
(cid:218)(cid:161)𝑎(cid:257)+𝑏(cid:218) 𝑏 = +𝑐 = 𝑐+𝑎(cid:58) ≥ (cid:38)(cid:198)(cid:185)(cid:9)(cid:106) ≥
20(cid:106)（12𝑎分）𝑏(cid:107)2𝑐3-24(cid:302)(cid:90)(cid:230)·(cid:303)(cid:248)(cid:304)(cid:305)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:103) ={ | < +1<7}(cid:38) ={ | < (cid:172)
>2}(cid:38) ={ | < < +1}(cid:106) 𝐴 𝑥 −3 2𝑥 𝐵 𝑥 𝑥 −4
(𝑥1)(cid:105) 𝐶( 𝑥)(cid:152)3𝑎−2 𝑥 𝑎
R
(2)(cid:191)𝐴“ ∩ ∁ 𝐵( )”(cid:101)“ ”(cid:46)(cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:38)(cid:105)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:106)
R
(cid:119)(cid:120)(cid:21)𝑝(cid:121):𝑥(cid:122)∈(cid:123)∁ (cid:107)𝐴1∪(cid:114)𝐵(cid:276)(cid:105)(cid:59)𝑞(cid:117):𝑥(cid:103)∈𝐶(cid:38)(cid:83)(cid:105)(cid:59) (cid:38)(cid:233)(cid:63)(cid:125)(cid:92)(cid:117)(cid:46)𝑎(cid:284)(cid:129)(cid:105)(cid:59) ( )(cid:152)
R R
𝐴 ∁ 𝐵 𝐴∩ ∁ 𝐵(cid:107)2(cid:114)(cid:276)(cid:105)(cid:59) (cid:38)(cid:83)(cid:105)(cid:59) ( )(cid:38)(cid:83)(cid:125)(cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)(cid:104)(cid:178)(cid:179)(cid:310)(cid:311)(cid:3)(cid:197) (cid:46)(cid:217)(cid:133)(cid:278)(cid:38)(cid:120)(cid:59)(cid:130)(cid:131).
R
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)𝐴(cid:107)∪1𝐵(cid:114)(cid:134)(cid:135) =∁{ |𝐴∪<𝐵 +1<7}={ | < <3}(cid:38)(cid:171)𝑎 ={ 2}(cid:38)
R
(cid:136)(cid:137) ( )={ <𝐴 𝑥2}−.3 2𝑥 𝑥 −2 𝑥 ∁ 𝐵 𝑥|−4≤𝑥≤
R
(cid:107)2(cid:114)𝐴∩ ∁ 𝐵={ |𝑥|<−2 (cid:172)𝑥≤> }(cid:38)(cid:136)(cid:137) ( )={ }(cid:38)
R
(cid:134)(cid:135)“𝐴∪𝐵 ( 𝑥 𝑥 )”−(cid:101)4“ 𝑥 −”(cid:46)2 (cid:177)(cid:28)(cid:181)(cid:42)∁ (cid:104)𝐴(cid:178)∪(cid:179)𝐵(cid:38) 𝑥|−4≤𝑥≤−2
R
(cid:118) (𝑝:𝑥∈)∁ 𝐴(cid:38)∪(cid:171)𝐵 ={𝑞:|𝑥∈𝐶 < < +1}(cid:38)
R
∁ 𝐴∪𝐵<⊆𝐶 𝐶 𝑥 3𝑎−22 𝑥 𝑎
(cid:136)(cid:137) < < .
+1> 3
3𝑎−2 −4
⇒−3 𝑎 −
21(cid:106)（𝑎12分）−(cid:107)22024·(cid:143)(cid:259)·(cid:190)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:203)(cid:13) > >0(cid:38)(cid:159)(cid:160) + =4 3.
(1)(cid:105)(cid:51)(cid:10) 2+ 2 24(cid:152) 𝑎 0,𝑏 𝑎 𝑏
(2)(cid:105)( 2 1𝑎)( 2 1𝑏)(cid:46) ≥ (cid:233)(cid:61)(cid:184).
𝑎 + 𝑏 +
𝑎𝑏
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:107)1(cid:114)(cid:43) + =4 3(cid:33)(cid:312)(cid:313)(cid:217)(cid:63)(cid:234)(cid:64)(cid:260)(cid:25)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:51)(cid:235)(cid:152)
(cid:107)2(cid:114)(cid:43)( 2 1)( 2 1)(cid:314)(cid:147) 𝑎 (cid:63)(cid:43) 𝑏 (cid:178)(cid:179)(cid:300)(cid:288)(cid:38)(cid:220)(cid:63)(cid:234)(cid:64)(cid:260)(cid:25)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:105)(cid:233)(cid:184).
𝑎 + 𝑏 +
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123) 𝑎𝑏 (cid:107)1(cid:114)(cid:125) + =4 3(cid:170)48=( + )2= 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2=2( 2+ 2)(cid:38)
(cid:218)(cid:161)(cid:257)(cid:218) = =2 3(cid:58)𝑎(cid:185)(cid:9)𝑏 (cid:156)(cid:214)(cid:38) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 2𝑎𝑏≤𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:136)(cid:137) 2+𝑎2 𝑏24(cid:152)
(cid:107)2(cid:114)𝑎(cid:125)(cid:115)𝑏(cid:116)≥> >0(cid:38)(cid:118) >0(cid:38)
(cid:118)( 2 1)( 2 1)𝑎
=
02,𝑏2 2 2 1
=
𝑎𝑏2 2 ( )2 1
=
2 2 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑏 +𝑎 +𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎+𝑏 −2𝑎𝑏+ 𝑎 𝑏 +48−2𝑎𝑏+
𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏
49
= + 2 49 =12(cid:38)
𝑎𝑏 𝑎𝑏−2≥= 49 −2
(cid:218)(cid:161)(cid:257)(cid:218) (cid:38)(cid:130) (cid:90)(cid:97)(cid:135)2 3+ 5(cid:38)(cid:90)(cid:97)(cid:135)2 3 5(cid:58)(cid:185)(cid:9)(cid:156)(cid:214).
+ =4 3
𝑎𝑏 𝑎𝑏
𝑎,𝑏 −
(cid:136)(cid:137)( 2 1)(
𝑎
2 1
𝑏
)(cid:46)(cid:233)(cid:61)(cid:184)12.
𝑎 + 𝑏 +
22(cid:106)（12 𝑎分𝑏 ）(cid:107)23-24(cid:302)(cid:90)(cid:56)·(cid:109)(cid:315)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:114)(cid:176)(cid:238)(cid:13) = 2+ + .
(cid:107)1(cid:114)(cid:191)(cid:3)(cid:197) (cid:46)(cid:181)(cid:185)(cid:148) ( ) (cid:100)(cid:203)(cid:13)(cid:120)(cid:38)(cid:105)(cid:203)(cid:13) (cid:46)𝑓(cid:198)(𝑥(cid:184)) (cid:204)𝑎(cid:205)𝑥 (cid:152)(1−𝑎)𝑥 𝑎−2
(cid:107)2(cid:114)(cid:191)(cid:181)(cid:185)(cid:148)𝑥 ( ) 𝑓 (cid:68)𝑥 (cid:197)≥(cid:203)−2(cid:13) [ ](cid:58)(cid:213)(cid:156)(cid:214)𝑎 (cid:38)(cid:105)(cid:203)(cid:13) (cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:152)
(cid:107)3(cid:114)(cid:120)(cid:3)(cid:197) (cid:46)𝑓(cid:181)𝑥(cid:185)≥(cid:148)−(cid:10)2 < 𝑎∈ −1,1 . 𝑥
(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)𝑥(1)(cid:43)(cid:95)(cid:126)(cid:46)𝑓(cid:181)(𝑥(cid:185))(cid:148)𝑎(cid:185)−(cid:224)1,(cid:316)(𝑎(cid:16)∈(cid:156)𝑅) 2+ + 0(cid:38)(cid:317) =0(cid:208) 0(cid:91)(cid:88)(cid:103)(cid:190)(cid:212)(cid:238)(cid:13)(cid:46)(cid:195)(cid:196)
(cid:207)(cid:149)(cid:270)(cid:54)(cid:203)(cid:13)(cid:255)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:156)(cid:214)(cid:130)(cid:131)(cid:152) 𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥 𝑎≥ 𝑎 𝑎≠
(2)(cid:43)(cid:95)(cid:126)(cid:46)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:185)(cid:224)(cid:316)(cid:16)(cid:156)( 2 + + 0(cid:38)(cid:162)(cid:163)(cid:95)(cid:126)(cid:178)(cid:179)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:212)(cid:238)(cid:13)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:130)(cid:131)(cid:261)(cid:36)(cid:152)
𝑥 −𝑥 1)𝑎 𝑥≥(3)(cid:43)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:16)(cid:135) 2+ <0(cid:38)(cid:28)(cid:206)(cid:207)(cid:149)(cid:91)(cid:318)(cid:319)(cid:90)(cid:168)(cid:190)(cid:212)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:120)(cid:199)(cid:130)(cid:131)(cid:261)(cid:36).
(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(1)𝑎(cid:320)𝑥(cid:21)(cid:22)(1(cid:38)−𝑎()𝑥)−1 (cid:100)(cid:203)(cid:13)(cid:120)(cid:38)(cid:130)(cid:181)(cid:185)(cid:148) 2+ + 0(cid:100)(cid:203)(cid:13)(cid:120)(cid:38)
(cid:218) =0(cid:58)(cid:38) 0(cid:100)(cid:203)(cid:13)(cid:120)𝑓(cid:38)𝑥(cid:118)≥−=20(cid:38) 𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥 𝑎≥
(cid:218)𝑎>0(cid:58)(cid:38)𝑥(cid:198)≥=0(cid:38)(cid:118) 2+ 𝑎 + = >0(cid:156)(cid:214)(cid:38)(cid:130) 2+ + 0(cid:100)(cid:203)(cid:13)(cid:120)(cid:38)(cid:197)(cid:101)(cid:170) >0(cid:38)
(cid:218)𝑎<0(cid:58)(cid:38)(cid:190)(cid:212)𝑥 (cid:238)(cid:13) =𝑎𝑥 2+(1−𝑎)𝑥 +𝑎 (cid:46)𝑎(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:230)(cid:38)𝑎𝑥(cid:104) (1−0𝑎(cid:100))𝑥(cid:120)(cid:38)𝑎(cid:218)≥(cid:161)(cid:257)(cid:218) = 2 𝑎 2
𝑎 1 𝑦 𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥 𝑎 𝑦≥ 𝛥 (1−𝑎) −4𝑎
(cid:38)(cid:244)(cid:243)(cid:170) <0(cid:38)
3
≥0⇔−1≤𝑎≤ −1≤𝑎
(cid:221)(cid:56)(cid:38) (cid:38)
(cid:136)(cid:137)(cid:203)𝑎(cid:13)≥(cid:46)−1(cid:198)(cid:184)(cid:204)(cid:205)(cid:101) (cid:152)
(2)(cid:181)(cid:185)(cid:148)𝑎( ) (cid:68)(cid:197)𝑎(cid:203)≥(cid:13)−1 [ ](cid:58)(cid:213)(cid:156)(cid:214)(cid:38)(cid:130) 2 + + 0(cid:38)
(cid:219)(cid:220) 2 𝑓+𝑥1>≥0−(cid:38)2(cid:238)(cid:13) 𝑎=∈(−21,1+ + (cid:54) ∀𝑎[ ∈[−]1(cid:56),1(cid:326)],((cid:327)𝑥 (cid:38)−𝑥(cid:244)(cid:243)1(cid:170))𝑎 𝑥≥ 0(cid:38)(cid:130) 2
+ 𝑥 −𝑥 0(cid:38)(cid:120)(cid:170) =1(cid:38)𝑔(𝑎) 𝑥 −𝑥 1)𝑎 𝑥 𝑎∈ −1,1 𝑔(−1)≥ −𝑥
(cid:136)2(cid:137)𝑥(cid:203)−1(cid:13)≥(cid:46)(cid:198)(cid:184)(cid:204)𝑥(cid:205)(cid:101){1}(cid:152)
(3) (cid:181)(cid:185)(cid:148)𝑥 < 2+ <0(cid:38)
(cid:218) =0(cid:58)(cid:38)𝑓(𝑥<) 1(cid:38)𝑎−1⇔𝑎𝑥 (1−𝑎)𝑥−1
𝑎 𝑥 1 1 1
(cid:218) >0(cid:58)(cid:38)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:131)(cid:16)(cid:135) + <0(cid:38)(cid:243) <0(cid:38)(cid:120)(cid:170) < <1(cid:38)
𝑎 (𝑥 𝑎)(𝑥−1) −𝑎 −𝑎 𝑥
1
(cid:218) <0(cid:58)(cid:38)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:131)(cid:16)(cid:135) + >0(cid:38)
𝑎 (𝑥 𝑎)(𝑥−1)
1
(cid:218) =1(cid:38)(cid:130) = (cid:58)(cid:38) 1(cid:38)
−𝑎 𝑎 −1 𝑥∈𝑅,𝑥≠
1 1
(cid:218) <1(cid:38)(cid:130) < (cid:58)(cid:38) < (cid:172) >1(cid:38)
−𝑎 𝑎 −1 𝑥 −𝑎 𝑥
1 1
(cid:218) >1(cid:38)(cid:130) < <0(cid:58)(cid:38) <1(cid:172) > (cid:38)
(cid:136) − (cid:137)𝑎(cid:38)(cid:218) =0 − (cid:58) 1 (cid:38)(cid:328) 𝑎 (cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46) 𝑥 (cid:120)(cid:117)(cid:135) 𝑥 −𝑎 (cid:38)
𝑎 1 (−∞,1)
(cid:218) >0(cid:58)(cid:38)(cid:328)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135) ,1)(cid:38)
𝑎 (−𝑎
1
(cid:218) <0(cid:58)(cid:38)(cid:328)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135) ,+ (cid:38)
−1≤𝑎 (−∞,1)∪(−𝑎 ∞)
1
(cid:218) < (cid:58)(cid:38)(cid:328)(cid:181)(cid:185)(cid:148)(cid:46)(cid:120)(cid:117)(cid:135) ) (1,+ .
𝑎 −1 (−∞,−𝑎 ∪ ∞)
