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第一章 集合、常用逻辑用语和不等式
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2023·湖南永州·统考二模）已知集合 ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件确定集合 中的元素.
【详解】已知集合 ，
∴ ， ， ，
则集合 .
故选：A
2．（2023·浙江杭州·统考二模）设集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.
【详解】由题意可得： ，所以 ，故 .
故选：C
3、（2023北京朝阳区高三一模）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.【详解】 ， ，即 ，故A正确；
取 ，则 不成立，故B错误；
取 ，则 不成立，故C错误；
取 ，则 ，故D错误.
故选：A
4.（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】 ，
则集合 是集合 的真子集，
所以 ， ， ， ，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
5.2023北京东城区高三一模）已知 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 即 时等
号成立，故选B。
6.（2023·福建厦门·统考二模）不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条
件是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
【答案】D
【分析】先求得不等式 （ ）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.
【详解】不等式 （ ）恒成立，显然 不成立，
故应满足 ，解得 ，所以不等式 （ ）恒成立的充要
条件是 ，A、C选项不能推出 ，B选项是它的充要条件， 可以推出 ，但
反之不成立，故 是 的充分不必要条件.
故选：D
7.（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合 ， ．若“ ”是“
”的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，列出不等式组求解即可.
【详解】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故选：B.
8.（2023贵州同仁高三适应性考试） 若 , , ,则 , , 的大
小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】运用基本不等式,以及放缩技巧,得,
,
故选:D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为4
C．命题 使得 ，则
D．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率
为
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质判断A选项，根据基本不等式取等条件判断B选项，根据命题
的否定判断C选项，根据古典概型概念判断D选项.
【详解】若 ，左右两边乘以 ,可得 ,A选项正确;
,当且仅当 取等号,显然等
号取不到，即 的最小值不是4,B选项错误;
命题 使得 ，则 ,C选项错误;
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种情况：
,
则以这3个数为边长能构成直角三角形有1种情况 ，
则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为 ,D选项正确;
故选:AD.
10．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知 ： ，
恒成立； ： ， 恒成立.则（ ）
A．“ ”是 的充分不必要条件 B．“ ”是 的必要不充分条件C．“ ”是 的充分不必要条件 D．“ ”是 的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】已知 ： ， 恒成立，则方程 无实根，
所以 恒成立，即 ，故“ ”是 的必要不充分条件，故A错误，
B正确；
又 ： ， 恒成立，所以 在 时恒成立，
又函数 的最大值为 ，
所以 ，故“ ”是 的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
11.（2023·山东济宁·统考二模）已知 ，且 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用基本不等式可得 ，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.
【详解】因为 ， ， ，
，所以 ，当且仅当 等号成立，故A正确，
当 , ,则 ,故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确;
当 时,则 ，故D错误；
故选：AC.
12.（2023·广东·统考二模）已知定义在 上的函数 ，对于给定集合 ，若 ，当 时都有 ，则称 是“ 封闭”函数.则下列命题正确的是
（ ）
A． 是“ 封闭”函数
B．定义在 上的函数 都是“ 封闭”函数
C．若 是“ 封闭”函数，则 一定是“ 封闭”函数
D．若 是“ 封闭”函数 ，则 不一定是“ 封闭”函数
【答案】BC
【解析】对A：当 时， ，而 ，
A错误；
对B：对于集合 ， 使 ，即 ，必有 ，
所以定义在 上的函数 都是“ 封闭”函数，B正确；
对C：对于集合 ， 使 ，则 ，
而 是“ 封闭”函数，则 ，即 都有 ，
对于集合 ， 使 ，则 ， ，
而 ， ，...， ，
所以 ，
即 ，故 ， 一定是“ 封闭”函数 ，
C正确；
对D，其逆否命题为，若 是“ 封闭”函数，则 不是“ 封闭”函数
，只需判断出其逆否命题的正误即可，使 ，则 ，
若 ，则 ，
由 解得 ，因为 ，所以 ，
即 使 ，则 ，
满足 是“ 封闭”函数 ，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023 山西吕梁友兰中学开学考）如图,全集 ,集合 ,
,则 __________,阴影部分表示的集合__________.
【答案】 或 ,
【解析】据图分析知,图中阴影部分表示集合 ,
又 , , ,
所以 或 ,
故答案为: 或 ; .
14.（2023·吉林·统考二模）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围
为___________.
【答案】【分析】分析可知命题“ ， ”为真命题，对实数 的取值进行分类讨论，
在 时，直接验证即可；当 时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数 的不等式
组，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“ ， ”为真命题.
当 时，由 可得 ，不合乎题意；
当 时，由题意可得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
15．（2023·山东潍坊·统考二模）若“ ”是“ ”的一个充分条件，则
的一个可能值是__________.
【答案】 （只需满足 即可）
【分析】解不等式 ，可得出满足条件的一个 的值.
【详解】由 可得 ，则 ，
所以， ，解得 ，
因为“ ”是“ ”的一个充分条件，故 的一个可能取值为 .
故答案为： （只需满足 即可）.
16.（2023重庆八中高三月考）已知正实数 , 满足 ,则 的最小值
为__________.
【答案】
【解析】由 ,得 ,
令 ,则 在 上单调递增,所以 ,即 ,又因为 , 是正实数,
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
故答案为: .
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17. （ 2023 陕 西 咸 阳 武 功 高 三 月 考 ） 已 知 全 集 , ,
, 或 ,
(1)求 ;(2)求 ;(3)求 .
【解析】因为全集 , , , 或
,所以(1) ;
(2) 或 ,则 或 ;
(3) ,则 .
18.（2013乌鲁木齐二十中学高三月考）设函数 ,若不等式
的解集为 .
(1)求 的值;
(2)若函数 在 上的最小值为 ,求实数 的值.
【解析】(1)不等式 的解集为
即方程 的两根为
由韦达定理得: ,
解得: .
(2) ,对称轴方程为 ,在 上单调递增,
时, ,
解得 ∵
.
19.（2023 福建泉州剑影实验高中期中考试）已知集合 或 ,
, .
(1)求 , ;
(2)若 ,求实数 的取值范围.
【解析】(1) 或 ,
,∴ .
(2)∵ ,∴ ,
当 时, ,∴ ;
当 时, ,解得 ,
综上, 的取值范围是 .
20. （ 2023 吉 林 四 平 高 三 月 考 ） 已 知 命 题 “ 实 数 满 足
”,
命题 “ , 都有意义”.
(1)已知 , 为假命题, 为真命题,求实数 的取值范围;
(2)若 是 充分不必要条件,求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时,由 ,
得 ,即:若 为真命题,则 ;
若 为真命题,即 恒成立,
则当 时, 满足题意;
当 时, ,解得 ,故 .
故若 为假命题, 为真命题,
则 ,解得 ,
即实数 的取值范围为 .
(2)对于 , 且 .
对于 , ,则 : 或 .
因为 是 的充分不必要条件,
所以 ,解得 .
故 的取值范围是 .
21.（2023江西瑞金二中开学考）某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去,为了
研究市场的反应,该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现,生产此款手机
全年需投入固定成本 万元,每生产 千部手机,需另投入成本 万元,且
假设每部手机售价定为 万元,且全年内生产的手机
当年能全部销售完.
(1)求出全年的利润 (万元)关于年产量 (千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)当全年产量为多少千部时,该企业所获利润最大?最大利润是多少万元?
【解析】(1)当 时,
,
当 时,
,
所以
(2)若 ,则 ,
当 时, ;
若 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,此时 .
因为 ,所以当全年产量为 千部时,该企业所获利润最大,最大利润是
万元.
22. （ 2023 北 京 延 庆 一 模 试 题 ） 已 知 为 正 整 数 , 集 合
具有性质 :“对于集合 中的任意
元素 , ,且 ,其中 , ,…,
”.集合 中的元素个数记为 .
(1)当 时,求 ;
(2)当 时,求 的所有可能的取值;
(3)给定正整数 ,求 .
【解析】(1) 时,集合 中的元素为 , ,
所以 .
(2) 时,首先证明 ,且 .
在 中,令 ,得 ,从而有 .
在 中,令 ,得 .
又 ,故 ,从而有 .
考虑 ,即 , ,
此时 为最大值.
现交换 与 ,使得 , ,此时 .
现将 逐项前移,直至 .在前移过程中,显然 不变,
这一过程称为 次“移位”.
依此类推,每次“移位” 的值依次递减 .经过有限次移位,
一定可以调整为 交替出现.注意到 为奇数,所以
为最小值.
所以 的所有可能取值为 .
(3)由题设,在 中,有 个 , 个 ,显然,从 中选 个 ,其余为 的种数共有 种.
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足
,记该数为 .如果 不满足
,则一定存在最小的正整数 ,使得
,且 .将 统统改变符号,这一对应为:
,
从而将 变为 个 , 个 组成的有序数组.
因此, 就是 个 , 个 组成的有序数组的个数,即 .
所以 .
